第四单元 比 寒假培优（讲义） -2025-2026学年六年级上册数学人教版

第四单元 比 -2026年六年级上册人教版寒假培优讲义 知识精讲 1.比的意义 （1）定义 两个数相除又叫做两个数的比，它表示两个量之间的倍比关系（注意：数学中的比后项不能为0，与体育比赛的比分概念不同）。（2）各部分名称 在比 （或 ）中， 是比的前项， 是比号， 是比的后项（ ），前项除以后项的商叫做比值。比值可以是整数、分数或小数。 例： 中，前项是12，后项是8，比值为 （或 ）。（3）比与除法、分数的关系 比的各部分 前项 比号（:） 后项 比值 除法对应 被除数 除号（÷） 除数 商 分数对应 分子 分数线（—） 分母 分数值 2.比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这一性质与除法商不变规律、分数基本性质本质一致。 例： ，比值仍为 ； ，比值不变。 3.比的化简 根据比的基本性质，将比化为最简整数比（前项和后项是互质数的比），常见类型及方法：（1）整数比的化简 前项和后项同时除以它们的最大公因数。 例： （5是20和25的最大公因数）。（2）分数比的化简 先把比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，转化为整数比后再化简。 例： （20是4和5的最小公倍数）。（3）小数比的化简 先把前项和后项同时乘10、100…转化为整数比，再化简。 例： 。 4.比的实际应用（按比例分配） （1）核心思路 把一个数量按照一定的比分配给几个部分，实质是将比转化为各部分占总量的分率，用分数乘法或平均分思路求解。 （2）常用方法 方法一（平均分法）：①求总份数；②每份量=总量÷总份数；③各部分量=每份量×对应份数。 方法二（分率法）：①求各部分占总量的分率；②各部分量=总量×对应分率。 （3）关键要点 找准被分配的“总量”，明确各部分对应的比，避免比的前后项混淆。 例题讲解 【例题1】比的意义与各部分认识 （1）小明走了150米用了3分钟，写出路程与时间的比，并求出比值。 （2）指出比 的前项、后项，并求比值，说明比值的意义。 解析： （1）路程与时间的比为 ，化简后为 ；比值为 ，表示小明行走的速度（50米/分钟）。 （2） 中前项是7，后项是21；比值为 ，表示前项是后项的 。 答案： （1）比为 ，比值为50； （2）前项7，后项21，比值 。 【例题2】比与除法、分数的转化 （1）把 转化为除法算式和分数形式。 （2）已知 （ ），写出 的最简整数比；若 ，求 、 的值。 解析： （1）根据比与除法、分数的关系， 。 （2）分数的分子相当于比的前项，分母相当于后项，所以 ；总份数为 ，每份量 ，则 ， 。 答案： （1） ， ； （2） ， ， 。 【例题3】比的化简 化简下列各比： （1） （2） （3） 解析： （1）整数比化简： （12是36和48的最大公因数）。 （2）分数比化简： （63是7和9的最小公倍数）。 （3）小数比化简： 。 答案： （1） ；（2） ；（3） 。 【例题4】连比的化简 已知甲数与乙数的比是 ，乙数与丙数的比是 ，求甲数、乙数、丙数的最简整数连比。 解析： 要统一连比，需将公共项“乙数”的份数化为相同。4和6的最小公倍数是12，调整两个比： 甲数:乙数 乙数:丙数 因此甲数:乙数:丙数 答案： 【例题5】比的实际应用（按比例分配） （1）学校把600本图书按 分给五、六年级，两个年级各分得多少本？ （2）一种混凝土由水泥、沙子、石子按 配制，现在要配制20吨这样的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ 解析： （1）方法一：总份数 ，每份量 本，五年级分得 本，六年级分得 本。 方法二：五年级占总量的 ，分得 本；六年级占总量的 ，分得 本。 （2）总份数 ，每份量 吨。 水泥： 吨；沙子： 吨；石子： 吨。 答案： （1）五年级240本，六年级360本； （2）水泥4吨，沙子6吨，石子10吨。 提升练习 一、填空题 1． 把12千克∶0.24吨化成最简整数比是　 　 ， 比值是　 　。 2．一个长方形的长和宽的比是5：3，长是30厘米，宽是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 3．一个车间男工人数比女工人数多 ，男工人数是女工人数的　 　，女工人数与全车间人数的比是　 　。 4．一份稿件，甲要4 小时打完，乙要5 小时打完，甲和乙所用的时间的比是　 　，工作效率的比是　 　。 5．请你帮天天完成《三国志》简介卡的制作。请根据图中信息将括号中的信息补充完整，并将计算过程写在下面。 《三国志》简介 《三国志》，二十四史之一，由西晋史学家陈寿所著，通过记载魏、蜀、吴三国的历史，反映东汉末年至西晋初年近百年间，中国从分裂走向统一的全过程。《三国志》全书共65卷，其中《魏书》　 　卷，《蜀书》 　卷，《吴书》　 　卷。 ①《魏书》卷数是全书卷数的； ②《蜀书》与《吴书》卷数的比是3：4。 二、判断题 6．小明和小华身高的比是5∶6，小华比小明高。（　　） 7．一杯糖水，糖与水的比是1：48，喝了一半后，糖与水的比还是1：48。（　　） 8．如果甲数的等于乙数的（甲、乙两数均不为0），那么甲数∶乙数＝16∶15。（　　） 9． 如果把甲杯果汁的倒入乙杯，甲、乙两杯果汁的质量就同样多，原来这两杯果汁的质量比是4∶1。（　　） 10． 在1.25∶3中，如果前项加上1.25，要使比值不变，后项也应该加上1.25。（　　） 三、选择题 11．甲、乙、丙三个数的比是2：3：4，三个数的平均数是18，乙数是（　　）。 A．6 B．12 C．18 D．24 12．某工厂从甲车间调出 的人到乙车间，甲、乙两车间的人数正好相等，原来甲、乙两车间的人数的比是 （　　）。 A．10∶9 B．5：4 C．11：10 D．10∶11 13．配制一种礼品糖，所需奶糖和巧克力的质量比为5 ：3。现有奶糖和巧克力各100kg，那么当奶糖全部用完时，巧克力会（　　）。 A．剩余40kg B．不够40kg C．剩余60kg D．无法判断 14．如果把5：6的前项加上15，要使比值不变，后项应（　　）。 A．乘3 B．乘5 C．加上15 D．加上18 15．一条公路，修了全长的，那么已经修的长度与未修的长度的比是（　　）。 A．5∶9 B．9∶5 C．5∶4 D．4∶5 四、计算题 16． 求比值。 （1） （2）0.27：0.9 （3）20分： 时 17．化简比。 （1） （2）3：0.5 （3）0.25：1.25 五、解决问题 18．一个长方体所有棱长之和是84厘米，长、宽、高的比是4∶2∶1，这个长方体的体积是多少立方厘米? 19．甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，剩下的路程按4：5的比分配给下午和晚上行驶，下午要行驶多少千米？ 20．学校有一块260m2的科技种植园，其中的种植“太空黄瓜”，其余的按9∶7的比种植“航豇2号”和“太空番茄”，种植“航豇2号”和“太空番茄”的面积各是多少平方米? 参考答案 1．1：20； 2．18；540 3．；7：15 4．4： 5；5： 4 5．30；15 6．正确 7．正确 8．正确 9．错误 10．错误 11．C 12．B 13．A 14．D 15．C 16．（1）解： = = = =1：5 =1÷5 =0.2 （2）解： 0.27：0.9 =（0.27×100 ）：（0.9×100） =27：90 =（27÷3）：（90÷3） =3：10 =3÷10 =0.3 （3）解： = =20分：15分 =（20÷5）：（15÷5） =4：3 =4÷3 =​​​​​​​ 17．（1）＝（×30）∶（×30） ＝25∶3 （2）3：0.5 =30：5 =6：1 （3）0.25∶1.25 ＝0.25÷1.25 ＝0.2 =1：5 18．解：84÷4=21 (厘米) 21÷ (4+2+1) =3 (厘米) 长： 3×4=12(厘米) 宽： 3×2=6 (厘米) 高： 3×1=3 (厘米) 体积： 12×6×3=216 (立方厘米) 答：这个长方体的体积是216立方厘米。 19．解：360×（1-） =360× =144（千米） 144× =144× =64（千米） 答：下午要行驶64千米。 20．解： 160×=90（m2） 160×=70（m2） 答：种植“航豇2号”的面积是90m2，种植“太空番茄”的面积是70m2。 学科网（北京）股份有限公司 $