2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷（湘教版）

2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.直线x-√3y-2025=0的倾斜角为() A. 6 R c. D.8 2.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,4=17,S,=340,则数列{a}的公差是() A.-4 B.-3 C.3 D.} 3.已知点A(0,2),B(4,4),则以线段AB为直径的圆的方程为() A.(x-2)2+(y-3)2=5 B.(x-2)2+(y-3)2=20 C.(x-3)2+(y-2)2=5 D.(x-3)+(y-2)=20 4.在等比数列{an}中，a2,a是方程x2-8x+m=0两根，若a,4=3a4,则m的值为() A.-9 B.-3 C.3 D.9 5.过点P(-1,2)作两条直线与抛物线C:y2=4x相切于点A,B,则弦长|AB|等于() A.8 B.6 C.4 D.2 6.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8 张，商务座6张，则小张的购票方案种数为() A.14 B.17 C.90 D.144 :已知椭圆C+X1a>b>0的右焦点为P,过点P且斜率为1的直线与C交于4 两点，若SAo4r=2SAoF(O为坐标原点，s表示面积)，则C的离心率为() A.3 B.② c.3 D.2 2 2 3 3 8.某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班 必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有() A.240种 B.120种 C.188种 D.156种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于直线的说法正确的是() A直线2x-3)+6=0的斜率为} B.直线x=5的倾斜角为90 C.过点1,2)且与x轴垂直的直线方程为x=1D.直线y=3x+1与y=3x-2平行 10.已知圆C:(x-2)+(y+4)=9,过点P(-1,5)作圆C的两条切线PA,PB,切点分别是 A,B,则() A.PA=9 B.直线PA,PB的方程为4x+3y-11=0和4x-3y+16=0 C.四边形PACB的面积为27 D.4B=910 5 11.定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三 位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9 共9个数中，选取3个不同的数排成三位数M,则() A.排成的“三位凹数”共有168个 B.排成的三位凸数”和三位凹数”的可能性相等 M中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数 2 D.从所有的M中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为 3 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 3 12.已知正项等比数列a,}满足4，=4，且a+4=手，则公比为一， 13.若圆x2+y2=4,与圆C:x2+y2+2y-6=0相交于A,B,则公共弦AB的长为 14.在(W-1)°的展开式中，x2的系数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分)己知各项均为正数的等差数列{a}的前n项和为Sn,4a,=7,S8=64. (1)求数列{a}的通项公式： 2)设=，，求数列，子的前n项和 an·a+1 16.（15分)已知圆C经过点A(-1,0)和B(3,0),且圆心在直线x-y=0上 (1)求圆C的方程： (2)过点(2,3)作直线L与圆C交于M,N两点，如果W=4,求直线L的方程. 17.（15分)已知双曲线c,答若-1a~0b>0的焦距为2N5,焦点到近线的距离为1 (1)求C的方程； (2)直线l:y=+1与C的左、右两支各相交于点A,B. (i)求k的取值范围： ()O是坐标原点，若三角形A0B的面积为2，求k的值 18.(17分)为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派 出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级 共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛 (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号 位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行训练， 经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种 排列方式？ 1917分》如图.在平而直角坐标系0，已加辅圆C言若1a>60的高心车 为5，点(2,1)在椭圆c上. 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线1与圆O:x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P,Q两点， 0 ①若直线l过椭圆C的右焦点F,求P9的长； ②求证：OP⊥O0. 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（   ） A． B． C．3 D． 3．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 5．过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 7．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 10．已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 11．定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（   ） A．排成的“三位凹数”共有168个 B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等 C．从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为 D．从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正项等比数列 满足 ，且 ，则公比为 . 13．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为 . 14．在的展开式中，的系数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线L与圆C交于两点，如果，求直线L的方程. 17．（15分）已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若三角形AOB的面积为，求的值. 18．（17分）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 19．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点． ①若直线过椭圆的右焦点，求的长； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】该直线的斜截式方程为，则斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：D 2．已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进而可求出公差. 【详解】因为，解得， 所以公差．故选：C． 3．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】因为AB为直径，则的中点为， 所以圆心为，半径，所以圆的方程为 故选：A． 4．在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果. 【详解】由是方程两根可得， 由等比数列性质可得，解得或（舍）；所以. 故选：D 5．过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可. 【详解】由题意直线斜率存在， 可设过点的切线方程为， 与抛物线方程联立可得：， 所以，解之得，    如图所示，设，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以.故选：A 6．小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．17 C．90 D．144 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为.故选：B 7．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为， 设，由得，因为点在的内部，所以，又，所以， 将代入，可得， 再将代入，可得，又，所以， 故的离心率．故选：D. 8．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【答案】B 【分析】分别分析甲在第一位、第二位和第三位三种情况，结合捆绑法，分析计算，即可得答案. 【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的3个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有（种）方案．故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于直线的说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．过点且与轴垂直的直线方程为 D．直线与平行 【答案】BCD 【分析】对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行． 【详解】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误； 对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确； 对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确； 对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确． 故选：BCD． 10．已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 【答案】ACD 【分析】根据两点间距离求出的长度，计算出的长度判断A；根据直线斜率存在和不存在别设出直线的方程，再根据直线与圆相切求出方程判断B；根据与是全等的直角三角形求出四边形面积判断C；根据求出判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为，因为，，所以，故A正确； 过且斜率不存在的直线方程为， 圆心到直线的距离，故与圆相切， 设过点且斜率存在的直线方程为， 即，若与圆相切，则，即，即， 所以直线，的方程为和，故B错误； 因为与是全等的直角三角形， 所以四边形的面积为，故C正确； 因为，所以四边形的面积为， 解得，故D正确.故选：ACD. 11．定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数，则（   ） A．排成的“三位凹数”共有168个 B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等 C．从所有的中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为 D．从所有的中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为 【答案】ABC 【分析】根据“三位凹数”和“三位凸数”的定义，结合排列数和组合数的计算公式，可判定A正确；求得“三位凹数”和“三位凸数”的个数，可判定B正确；由三位数的个数，结合古典摡型的概率计算公式，可判定C正确；结合古典摡型的概率计算公式和对立事件的概率公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，从9个数中选3个数，有种选法， 将最小的数作为十位数字，剩下两个数随意作为百位和个位上的数字，有种，故共有（个）“三位凹数”，所以A正确； 对于B中，由A知排成的“三位凸数”共有（个）， 所以排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等，所以B正确； 对于C中，由三位数共有个，所以 “三位凸数”的概率为，所以C正确； 对于D中，由三位数共有个， 任取两个三位数有种，其中不同非“三位凹数”的三位数有336个， 任取两个非“三位凹数”有种，所以至少有一个是“三位凹数”的概率为，所以D错误.故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正项等比数列 满足 ，且 ，则公比为 . 【答案】 【分析】由题意知，公比，由得出，最后将转化成进行求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，所以，公比， 由，，得，则，所以，解得.故答案为： 13．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为 . 【答案】 【分析】先求出直线的方程，利用几何法求弦长即可. 【详解】由题意知，两圆的方程相减，得， 即直线的方程为，如图， 所以.故答案为： 14．在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令可得，故展开式中的系数为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合与前8项和列方程组，求解首项与公差，得到数列的通项公式. （2）将裂项为，利用裂项相消法对数列的前项和进行累加计算. 【详解】（1）设的公差为， 由题知，解得或（舍去），所以， 即数列的通项公式为； （2）由（1）知， . 16．（15分）已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作直线L与圆C交于两点，如果，求直线L的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆的性质可得，圆心在AB的垂直平分线上，联立和可得圆心坐标，进而求出圆的方程. （2）由弦长公式求出圆心到直线L的距离，设直线L的方程，讨论斜率存在和不存在两种情况，列出关系式即可求出结果. 【详解】（1）因为A，B的中点为，故AB的垂直平分线所在的直线方程为， 由解得，故圆心为， 半径，故圆C的方程为； （2）当直线L斜率不存在时，直线L的方程为， 此时直线L与圆C交于，此时，符合题意； 当直线L斜率存在时，设直线L的方程为，即， 由，可得圆心到直线L的距离为，解得， 故直线L的方程为或. 17．（15分）已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若三角形AOB的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意列方程直接求出可得方程； （2）（i）联立直线和双曲线的方程消元，利用判别式和韦达定理求解可得；（ii）利用韦达定理表示出，结合面积公式列方程求解即可. 【详解】（1）设焦距为，由题意得，所以， 因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为. （2）（i）设，，联立，化简得， 若，两点分别位于的左、右两支，则，解得 即的取值范围为.    （ii）由题得， 则， 所以三角形AOB的面积为，解得（负值已舍去）， 又，所以. 18．（17分）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男，则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式，所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种.故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场：先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 19．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点． ①若直线过椭圆的右焦点，求的长； ②求证：． 【答案】(1) (2)①，②证明见详解 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点建立方程组，解得，即可写出椭圆方程； （2）①由（1）求得焦点坐标，讨论斜率是否存在，得到直线的方程，由直线与圆相切求得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，整理得到一元二次方程，由韦达定理及交点弦长公式求得的长； ②讨论切线斜率是否存在，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理及向量的数量积证明两直线垂直. 【详解】（1）由题意得，解得，∴椭圆 （2）①点，当直线斜率不存在时，，此时与圆不相切， 所以设直线，即，所以圆心到直线的距离，∴，即或，由对称性不妨取， 联立方程组得，整理得， 设，则， 则. ②当直线斜率不存在时，直线，代入椭圆方程求得， 由对称性，不妨取 则，则，即； 当直线斜率存在时设，∵与圆相切， ∴，即，联立方程，整理得， 设，则， ∵， ∴， 即， ∴∵， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.直线x-√3y-2025=0的倾斜角为() A. 5π B. 6 3 C.3 D. 6 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果 【详解】该直线的斜截式方程为y=5x-2025 一 ,则斜率为5，所以该直线的倾斜角为 3 3 3 6 故选：D 2.己知等差数列{a}的前n项和为S,4=17,S,=340，则数列{a}的公差是() A.-4 B.-3 C.3 D. 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和公式求出a,进而可求出公差 【详解】因为3，=17(4+a）17:24174-340,解得4=20， 2 2 所以公差d=4,-a。=20-17=3.故选：C 3.已知点A(0,2),B(4,4),则以线段AB为直径的圆的方程为() A.(x-2)2+(y-3)2=5 B.(x-2)2+(y-3)=20 C.(x-3)2+(y-2)2=5 D.(x-3)2+(y-2)2=20 【答案】A 【分析】根据圆心和半径即可求解 【详解】因为AB为直径，则A(0,2),B(4,4)的中点为O(2,3), 所以圆心为0(23)，半径，=4-0)+(4-2 5,所以圆的方程为(x-2)+(y-3)2=5. 2 故选：A. 4.在等比数列{a}中，a2,a是方程x2-8x+m=0两根，若a,4=3a4,则m的值为() A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】D 【分析】根据等比数列性质可得a,4,=4,再由根与系数的关系计算可得结果 【详解】由a2,a是方程x2-8x+m=0两根可得 a2+a。=8 a2a=m’ 由等比数列性质可得a,4=G=3a,解得4，=3或4，=0（舍)；所以a,4,=4=m=9 故选：D 5.过点P(-1,2)作两条直线与抛物线C:y2=4x相切于点A,B,则弦长|AB|等于() A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】A 【分析】利用直线与抛物线相切设直线方程求切点，利用两点距离公式计算即可. 【详解】由题意直线斜率存在， 可设过点P(-1,2)的切线方程为y=k(x+1)+2, y2=4x 与抛物线方程联立可得： =kx+1)+2k+(2:+4k-4)x+(k+2}2=0, 所以△=(2k2+4k-4)-4k2(k+2)2=0,解之得k=±2-1， 如图所示，设A(Gy人B(3,4),则x=+2k-2 当k=√5-1时，X=3+2V2,y=2=2+25,即A(3+2V2,2+2V2), 当k=-√2-1时，x2=3-2W2,为=-2E=2-22,即B(3-22,2-22), 所以4B=3-22-3-2√2+2-22-2-3=s故选：A 6.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8 张，商务座6张，则小张的购票方案种数为() A.14 B.17 C.90 D.144 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理运算即可 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为3+8+6=17.故选：B 7.已知椭圆C 示+=1a>b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为1的直线与c交于A,B x2y2 两点，若SAo4B=2SAor(O为坐标原点，s表示面积)，则C的离心率为() A.3 B. D. √2 2 2 3 【答案】D 【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可 【详解】设椭圆C的半焦距为c(c>O),F(c,O),则直线AB的方程为x=y+c, x=y+c, 设A(5,y),B(5,),由x2y21得(a+b)y2+2b'Cy-b=0,因为点F在C的内部， b 所以△>0,4+y2=- 2b'c by=- +B,又9a=25,所以y=-2y, 将为=-2代入+5=-2bc， a2+炉，可得y,= 2b2e 4b'c +b=- 2+b2' 再将，代入y=- +,可得a+b=8c2,又d2=b+c2,所以2=9e, 故C的离心率e=S=V ,故选：D a 3 8.某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班 必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有() A.240种 B.120种 C.188种 D.156种 【答案】B 【分析】分别分析甲在第一位、第二位和第三位三种情况，结合捆绑法，分析计算，即可得 答案 【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有4A?=8(种)，将剩余的三个班全 排列， 安排到剩下的3个位置，有A=6(种)情况，此时有8×6=48（种）安排方案： 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有3A?=6(种)，将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有A=6(种)情况，此时有6×6=36（种）安排方案： 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有3A?=6(种)，将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有A?=6(种)情况，此时有6×6=36（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有48+36+36=120（种）方案.故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分。共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于直线的说法正确的是() A.直线2x-3y+6=0的斜率为 3 B.直线=5的倾斜角为90 C.过点Q,2)且与x轴垂直的直线方程为x=1 D.直线y=3x+1与y=3x-2平行 【答案】BCD 【分析】对于A:将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B:根据倾斜角的定义即可判 断：对于C:过(a,b)与x轴垂直的直线方程为x=a;对于D:斜率相等，纵截距不相等， 两直线平行. 【详解】对于选顶A2-3+6=0=y号+2，斜率为子：并非子放A辐误： 2 3 对于选项B:直线x=5是垂直于x轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为90°，故B正确： 对于选项C:过点1,2)且与x轴垂直的直线方程为=1，故C正确： 对于选项D:直线y=3x+1与y=3x-2的斜率均为3，且纵截距(1和-2)不相等，故它 们平行，故D正确. 故选：BCD 10.己知圆C:(x-2)+(y+4)2=9,过点P(-1,5)作圆C的两条切线PA,PB,切点分别是 A,B,则() A.PA=9 B.直线PA,PB的方程为4x+3y-11=0和4x-3y+16=0 C.四边形PACB的面积为27 D.AB=910 5 【答案】ACD 【分析】根据两点间距离求出PC的长度，计算出PA的长度判断A:根据直线斜率存在和 不存在别设出直线的方程，再根据直线与圆相切求出方程判断B;根据△PAC与△PBC是全 等的直角三角形求出四边形面积判断C;根据PC⊥AB求出AB判断D. 【详解】圆C的圆心为C(2,-4),半径为r=3,因为PA⊥AC, |PC=V(-1-2)'+(5+4)3=3W10,所以PA=VPC-2=V0-9=9,故A正确： 过P(-1,5)且斜率不存在的直线方程为4：x=-1, 圆心C到直线l的距离d=3=r,故l与圆C相切， 设过点P(-1,5)且斜率存在的直线方程为l2:y-5=k(x+1), 题y+5+k=0,若，与圆C相切，则d==r=3,即k=-,即，：4x+3y-110 √k2+1 所以直线PA,PB的方程为x=-1和4x+3y-11=0,故B错误： 因为△PAC与△PBC是全等的直角三角形， 所以四边形PACB的面积为2S。e=2×PAAC=9x3=27,故C正确； 因为014B,所以四边形PAC3的面积为AG4-六人64=27： 解得AB=90,故D正确故选：ACD 5 11.定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三 位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9 共9个数中，选取3个不同的数排成三位数M,则() A.排成的三位凹数”共有168个 B.排成的三位凸数和三位凹数”的可能性相等 C从所有的M中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数~的概率为 D.从所有的M中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为 【答案】ABC 【分析】根据三位凹数和“三位凸数”的定义，结合排列数和组合数的计算公式，可判定A 正确；求得“三位凹数”和三位凸数”的个数，可判定B正确：由三位数M的个数，结合古 典概型的概率计算公式，可判定C正确：结合古典概型的概率计算公式和对立事件的概率 公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，从9个数中选3个数，有C。=84种选法， 将最小的数作为十位数字，剩下两个数随意作为百位和个位上的数字，有A?种，故共有 CA?=168(个)“三位凹数”，所以A正确： 对于B中，由A知排成的三位凸数”共有C。A?=168(个)， 所以排成的三位凸数”和三位凹数的可能性相等，所以B正确： 对于C中，由三位数M共有A5=504个，所以三位凸数r的概率为号所以CE第 对于D中，由三位数M共有A=504个， 任取两个三位数有C种，其中不同非“三位凹数的三位数有336个， 任取两个非“三位四数”有C6种，所以至少有一个是“三位凹数的概率为1- C6 3,所以 D错误.故选：ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知正项等比数列a}满足4=公，且a+a子则公比为 【答案】 3 【分析】由题意知a.>0,公比q>0,由a2=a得出a=q,最后将4+a,=二转化成 3 g+g=4进行求解即可， 【详解】因为数列{a}为正项等比数列，所以a,>0,公比q>0, 由a=,4=49,得41=公则4=9，所以+矿-圣解得g故答案为：号 13.若圆x2+y2=4,与圆C:x2+y2+2y-6=0相交于A,B,则公共弦AB的长为 【答案】2W5 【分析】先求出直线AB的方程，利用几何法求弦长即可 【详解】由题意知，两圆的方程相减，得y=1, 即直线AB的方程为y=1,如图， 所以4B=2WOB2-OD2=2W22-12=2√5.故答案为：2√3 14.在(W-1)°的展开式中，x2的系数为 【答案】15 【分析】写出展开式通项，令x的指数为2，求出参数的值，代入通项即可得解 6-k 【详解】(NF-1)°的展开式通项为I1=C:(R).(←1)广=C（←1)x0≤k≤6keZ) 令6，k=2可得k=2,故展开式中2的系数为C-(1=15.故答案为：15. 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)已知各项均为正数的等差数列{a}的前n项和为Sn,44=7,S=64 (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=1 一，求数列毡}的前n项和T. aa·a 【答案】(1)4，=2-1 ar品 【分析】(1)设等差数列的公差为d,结合44，=7与前8项和S=64列方程组，求解首项 与公差，得到数列的通项公式 11 (2)将b,裂项为22n-12n+1 利用裂项相消法对数列{b,}的前项和进行累加计算. 【详解】(1)设{a}的公差为d, a4=4(4+3d）=7 由题知 8=8a+87d=64'解得 /4=1 9=-49 2 (a2或 114(舍去)，所以4.=2n-1, d= 7 即数列{a}的通项公式为a.=2n-1: (2)由(1)知6=1 1 T=b+b,+.+b1+b 111 16.（15分)已知圆C经过点A(-1,0)和B(3,0),且圆心在直线x-y=0上 (1)求圆C的方程： (2)过点(2,3)作直线L与圆C交于M,N两点，如果MW=4,求直线L的方程 【答案】(1)(x-1)2+(y-1)2=5 (2)x=2或3x-4y+6=0 【分析】(1)由圆的性质可得，圆心在AB的垂直平分线x=1上，联立x=1和x-y=0可得 圆心坐标，进而求出圆的方程 (2)由弦长公式2√R2-d2求出圆心到直线L的距离，设直线L的方程，讨论斜率存在和 不存在两种情况，列出关系式即可求出结果 【详解】(1)因为A,B的中点为(1，O),故AB的垂直平分线所在的直线方程为x=1, 由 。解得， x-y=0, =1,故圆心为C1,1), 半径R=-1-1)2+(0-1)=√5，故圆C的方程为(x-1)+(y-1)=5: (2)当直线L斜率不存在时，直线L的方程为x=2, 此时直线L与圆C交于M(2,-1),N(2,3),此时W=4,符合题意： 当直线L斜率存在时，设直线L的方程为y-3=k(x-2),即-y-2k+3=0, 向N=4,可得圆心到直线L的面离为d--52-1,解得及子 V1+k2 故直线L的方程为x=2或3x-4y+6=0. 17.(15分)己知双曲线C: 产厅-1(a>0b>0)的焦距为2巨，焦点到渐近线的距离为1 x2 2 (1)求C的方程： (2)直线1：y=c+1与C的左、右两支各相交于点A,B. (i)求k的取值范围： (i)O是坐标原点，若三角形A0B的面积为2，求k的值 3 【答案】(1)x2-y2=1: ②(i)(110:(i)±2 【分析】(1)根据题意列方程直接求出a,b,c可得方程： (2)()联立直线和双曲线的方程消元，利用判别式和韦达定理求解可得；(i)利用韦达 定理表示出：，一x,,结合面积公式列方程求解即可 【详解】(1)设焦距为2c,由题意得2c=2√2，所以c=√2， 因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为bx士y=0, 所以焦点(N2.0)到渐近线的距离为d=b V+V21,即b=1. 所以a2=c2-b2=1,所以C的方程为x2-y2=1. [y=+1 (2)(i)设A(5,),B(x2,),联立 2-严-1’化简得(1-2)x2-2-2=0, 1-k2≠0 若A,B两点分别位于C的左、右两支，则{△=42+81-k2)>0,解得-1<k<1 2 ,=1-k<0 即k的取值范围为(-1,1) 2k (i)由题得x+1 -2 1-k2 则5-=V5-5)=V3+x-4x 4k2 8 8-4k222-k2 V-21-- 1-k2· 所以三角形AOB的面积为SAOB= -x=×22-R2 ,解得2=（负值已舍去）， 2 1-k2 又-1<k<1,所以k=± 18.(17分)为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派 出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级 共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛 (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号 位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行训练， 经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种 排列方式？ 【答案】(1)120 (2)348 【分析】(1)分成两组，根据是否平均分组分别写出即可： (2)首先讨论有限制的A、B、E有哪些人上场，其次若A、B同时上场，则利用捆绑法， 求解即可. 【详解】(1)队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男：②一组是1男4女，另一组是3 男2女， O若两组都是3女2男，则先将6女平均分成两组共CC种方式， 再将4男平均分成两组共C A 2种方式，所以两组都是3女2男的情况有 c.2=60种： AA