专题十三 函数零点问题 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十三　函数零点问题 命题热度： 本专题是历年高考命题常考的内容，高中低档题目都有考查，三种题型都有所考查，分值约为5~15分. 考查方向： 利用函数的图象与性质或导数研究函数的零点与方程的根，主要考查一是判断函数零点所在的区间；二是判断函数零点的个数；三是已知函数零点的个数或区间求参数范围(值). 考点一　利用函数的图象与性质研究函数的零点 　函数f(x)=-x+1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 例1 考向1　函数零点个数的判断 √ 方法一　易知0不是函数的零点， 故f(x)=-x+1=0⇔-1+=0(x≠0)， 令g(x)=-1+(x≠0)， 则g(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减， 又g(-1)>0，g<0，g(1)>0，g(2)<0， 故g(x)在，(1，2)上各有一个零点，即f(x)的零点个数为2. 解析 方法二　易知0不是函数的零点， 故f(x)=-x+1=0⇔=1-， 分别作出函数y=与y=1-的图象如图所示， 由图可知，两函数有两个交点，即函数f(x)=-x+1有两个零点. 解析 　设函数g(x)=若函数g(x)有三个零点，则实数b的取值范围是　　　　.  例2 考向2　求参数的值或范围 [-1，0) 令g(x)=0可得，-b= 故直线y=-b与函数f(x)=的图象有三个交点， 当x≤0时，f(x)=ex(x+1)， 则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2)， 由f'(x)<0得，x<-2，所以f(x)在(-∞，-2)上单调递减； 由f'(x)>0得，-2<x≤0，所以f(x)在(-2，0]上单调递增， 解析 当x<-1时，f(x)<0，当-1<x≤0时，f(x)>0， 当x→-∞时，f(x)→0， 当x=-2时，f(x)取得极小值f(-2)=-，f(0)=1. 所以函数f(x)的大致图象如图所示. 由图可知，当0<-b≤1时，函数f(x)的图象与直线y=-b有三个交点， 所以实数b的取值范围是[-1，0). 解析 　(2025·临沂模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))有8个零点，则实数a的取值范围为 A.a>1 B.a<0 C.-1<a<0 D.a<-1 例3 考向3　嵌套函数的零点 √ 当a≥0，x≤0时，f(x)=-x2+2ax，其图象的对称轴为直线x=a，又a≥0， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(0)=0，所以函数f(x)的图象如图所示， 令f(x)=t，y=f(f(x))=f(t)=0， 由图象知，t=0或t=1， 即f(x)=t=0或f(x)=t=1， 根据图象知f(x)=t=0有2个解，f(x)=t=1有1个解， 所以此时y=f(f(x))有3个零点，不符合题意； 当a<0，x≤0时，f(x)=-x2+2ax，其图象的对称轴为直线x=a，又a<0， 解析 所以f(x)在(-∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，又f(0)=0，所以函数f(x)的图象如图所示，  令f(x)=t，y=f(f(x))=f(t)=0， 由图象知，t=2a或t=0或t=1， 根据图象及a<0知，f(x)=t=2a有2个解，f(x)=t=0有3个解，又y=f(f(x))有8个零点，所以f(x)=t=1有3个解， 即解得a<-1. 综上，a<-1. 解析 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 规律方法 跟踪演练1　(1)已知函数f(x)=x5+4x+a在(-1，1)内有零点，则实数a的取值范围是 A.(-5，5) B.(-∞，-5)∪(5，+∞) C.[-5，5] D.(-∞，-5]∪[5，+∞) √ 因为y=x5是增函数，y=4x+a也是增函数，所以f(x)是增函数， 因为f(x)在(-1，1)内有零点， 所以解得-5<a<5. 解析 (2)(2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和为 A.9 B.10 C.11 D.12 √ 函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的零点，即为|2x-3|=8sin πx的解， 即g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx图象交点的横坐标，因为h=-8，故直线x=为h(x)=8sin πx图象的对称轴， 而直线x=也是g(x)=|2x-3|图象的对称轴， 又h(x)=8sin πx的最小正周期为=2， 在平面直角坐标系中画出g(x)，h(x)的图象(如图所示)， 因为h=8>2=g，h=8>6=g，g(6)=9>8， 解析 故g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx的图象在直线x=的右侧有且仅有4个不同的交点， 故g(x)=|2x-3|与h(x)=8sin πx的图象的所有不同交点的横坐标之和为4×3=12，即函数f(x)的所有零点之和为12. 解析 考点二　利用导数研究函数的零点 　(2025·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=2x-asin x+sin 2x.若a>0且函数f(x)在(0，π)上没有零点，求实数a的取值范围. 例4 由题意知f(x)=2x-asin x+sin 2x， 显然f(0)=0，f(π)=2π，若a>0，x∈(0，π)， 令f'(x)=2-acos x+2cos 2x=cos x(4cos x-a)=0，其中当cos x=0时，x=， 当a≥4时，由x∈(0，π)知，4cos x-a<0， 则当x∈时，cos x>0，f'(x)<0，此时f(x)在上单调递减； 当x∈时，cos x<0，f'(x)>0，此时f(x)在上单调递增， 解 因此f(x)min=f =π-a<0，可知f f(π)<0，因此f(x)在(0，π)上存在零点，不符合题意； 当0<a<4时，由4cos x-a=0可得， cos x=>0， 所以∃x0∈，使得cos x0=，可得当x∈(0，x0)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增； 当x∈时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减； 解 当x∈时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增， 所以要使函数f(x)在(0，π)上没有零点，需要f =π-a>0，所以0<a<π， 所以实数a的取值范围为(0，π). 解 已知零点求参数的取值范围 (1)结合图象与单调性，分析函数的极值点； (2)依据零点确定极值的范围； (3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 规律方法 跟踪演练2　已知函数f(x)=eax-x(a∈R). (1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 若a=2， 则f(x)=e2x-x，f'(x)=2e2x-1. 又f(1)=e2-1，即切点坐标为(1，e2-1)， 曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f'(1)=2e2-1， 故所求切线方程为y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1)， 即y=(2e2-1)x-e2. 解 (2)讨论f(x)的零点个数. 方法一　由题意得f'(x)=aeax-1. 当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上单调递减， 又f(0)=1>0，f(1)=ea-1≤0， 此时f(x)有一个零点. 当a>0时，令f'(x)<0得x<-， 令f'(x)>0得x>-， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增. 解 故f(x)的最小值为f =. 当a=时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点，当a>时，f(x)的最小值大于0，此时f(x)没有零点， 当0<a<时，f(x)的最小值小于0，->0，f(-1)=e-a+1>0， 当x→+∞时，f(x)→+∞，此时f(x)有两个零点， 综上，当a≤0或a=时，f(x)有一个零点； 当0<a<时，f(x)有两个零点；当a>时，f(x)没有零点. 解 方法二　当x≤0时，f(x)=eax-x>0， 所以f(x)在(-∞，0]上无零点， 当x>0时，令f(x)=eax-x=0， 所以eax=x⇒ax=ln x⇒a=. 令φ(x)=(x>0)，所以φ'(x)=， 所以当x∈(0，e)时，φ'(x)>0，当x∈(e，+∞)时，φ'(x)<0， 所以φ(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，所以φ(x)max=φ(e)=， 解 又当x→0时，φ(x)→-∞，当x→+∞时，φ(x)→0， 所以φ(x)的图象如图所示， 由图可知，当a≤0或a=时，f(x)有一个零点； 当0<a<时，f(x)有两个零点； 当a>时，f(x)没有零点. 解 $