27.2.1　相似三角形的判定 第3课时 课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理2，核心内容为“两角分别相等的两个三角形相似”及直角三角形相似的判定方法。课堂导入通过类比全等三角形“ASA”“AAS”判定，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到相似判定的探究。 其亮点在于以类比迁移培养数学思维，通过“直角三角形斜边上的高形成多重相似”等实例，挖掘隐性条件（如公共角）发展几何直观。分层作业覆盖基础到拓展，结合变式演练推导等积式，助力学生提升推理能力与应用意识，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

27.2　相似三角形 单击此处编辑母版文本样式 27.2.1　相似三角形的判定 第3课时　相似三角形的判定定理2 单击此处编辑母版文本样式 1.知道“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法,以及“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似”的判定方法. 2.经历用类比、实验操作、分析归纳探求判定两个三角形相似的过程,体会数学知识间的联系. ◎重点:相似三角形的判定定理及其应用. ◎难点:相似三角形的判定定理的推导及证明. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 上节课我们类比三角形全等的判定定理“SSS”和“SAS”,得到了两个三角形相似的判定定理.今天我们将类比另外两个三角形全等的判定定理“ASA”和“AAS”,得到两个三角形相似的另一个判定方法,以及特殊的三角形——直角三角形相似的判定方法. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 两角分别相等的两个三角形相似     认真阅读课本本课时“例2”之前的内容,填空: 归纳总结　两角分别　 　的两个三角形相似,用几何语言描述:∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC　 　△A'B'C'.  相等 ∽ 单击此处编辑母版文本样式 直角三角形相似的判定    认真阅读课本“例2”及以后的内容,总结判断两个直角三角形相似的方法,填空: 归纳总结　(1)有　　组锐角相等的两个直角三角形相似;(2)两组直角边　 　 的两个直角三角形相似;(3)　　边和　 　直角边成比例的两个直角三角形相似.  一 成比例 斜 一条 单击此处编辑母版文本样式 “两角相等的两个三角形相似”的初步应用 1.如图,∠B=∠C,请写出图中相似的三角形,并说明理由. 解:△ABE∽△ACD,△BOD∽△COE.理由如下: ∵∠B=∠C且∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD. ∵∠B=∠C且∠BOD=∠COE,∴△BOD∽△COE. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　在观察图形时,一定要注意隐藏在图形当中的条件,即隐性条件,如公共角或　 　等.  对顶角 单击此处编辑母版文本样式 直角三角形中的多重相似 2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中共有几对三角形相似?请写出来并说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:图中共有三对三角形相似,分别是△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD. 理由如下:如图,∵∠ACB=90°, ∴∠1+∠2=90°. 单击此处编辑母版文本样式 又∵CD⊥AB,∴∠2+∠B=90°,∠1+∠A=90°, ∴∠1=∠B,∠2=∠A. ∵∠1=∠B,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD. ∵∠2=∠A,∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD. ∵∠1=∠B,∠2=∠A,∴△ACD∽△CBD. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　直角三角形斜边上的高把直角三角形分成两个小三角形,这两个小三角形与原三角形都　 　.  相似 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 在上题的条件下,①求证:AC2=AD·AB.②你还有类似的结论吗?试着写一写,证一证. 解:①由上题可得△ABC∽△ACD, ∴=,∴AC2=AD·AB. 单击此处编辑母版文本样式 ②有类似的结论,如CD2=AD·BD,BC2=BD·AB. 证明如下: 由上题可得△ABC∽△CBD, ∴=,∴BC2=BD·AB. 由上题可得△ACD∽△CBD, ∴=,∴CD2=AD·BD 单击此处编辑母版文本样式 相似三角形判定定理的综合应用 3.如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形.(不得添加辅助线) (2)请分别说明两对三角形相似的理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE. (2)①证△ABC∽△ADE.∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, 又∵∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE; ②证△ABD∽△ACE.∵△ABC∽△ADE,∴=, 又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,已知△ABC、△DEF均为等边三角形,D,E分别在AB,BC上. (1)说出图中有几组相似三角形,并把它们表示出来. (2)请找出一个与△DBE相似的三角形,并说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)相似三角形有△ABC∽△DEF, △ADG∽△BDE∽△CEH∽△FGH. (2)△ADG∽△BED. 理由:∵△ABC和△DEF是等边三角形, ∴∠A=∠B=60°,∠FDE=60°, 单击此处编辑母版文本样式 ∴∠ADG+∠BDE=180°-60°=120°, ∠ADG+∠AGD=180°-60°=120°, ∴∠AGD=∠BDE. ∵∠A=∠B,∴△ADG∽△BED. 单击此处编辑母版文本样式 1有一个角等于30°的两个直角三角形,一定 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相似 B.全等 C.既全等也相似 D.无法确定 A 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2有一个角等于50°的两个等腰三角形的关系为 ( ) A.相似 B.全等 C.既不全等也不相似 D.无法确定 D 单击此处编辑母版文本样式 3满足∠A=50°,∠B=60°,∠A'=50°,∠C'=70°的△ABC与△A'B'C'是否相似?请说明理由. 解:相似.理由如下:∵∠A=50°,∠B=60°, ∴∠C=180°-50°-60°=70°. ∵∠A'=50°,∠C'=70°, ∴∠A=∠A'=50°,∠C=∠C'=70°,∴△ABC∽△A'B'C'. 单击此处编辑母版文本样式 4 如图,△ABC是等边三角形,∠DAE=120°,试判断△ABD与△EAD是否相似,并说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:相似. 理由如下:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=60°, 又∵∠ABD=180°-∠ABC=120°, ∴∠ABD=∠DAE=120°, 又∵∠D=∠D,∴△ABD∽△EAD. 单击此处编辑母版文本样式 5下列四组图形中必相似的是 ( ) A.各有一个角是40°的两个等腰三角形 B.两边长之比都是2∶3的两个直角三角形 C.各有一个角是110°的两个等腰三角形 D.两边长之比都是3∶5的两个三角形 C 单击此处编辑母版文本样式 6如图,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16,则CD等于 ( ) A.5 B.4 C.3 D.9 B 单击此处编辑母版文本样式 7如图,在△ABC中,P是AB上一点,连接CP,要使△ACP∽△ABC.只需添加条件　 　.(写出一个即可)  ∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AC2=AP·AB等 单击此处编辑母版文本样式 8如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过E作EF⊥AB于F,则AF=  　.  单击此处编辑母版文本样式 9如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由. (2)BD2=AD·DF成立吗?请说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)相似. 理由如下:∵BD=CE,∠ABC=∠C=60°,AB=BC, ∴△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE. ∵∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ABE=∠FAE. ∵∠AEF=∠BEA,∴△AEF∽△BEA. 单击此处编辑母版文本样式 (2)成立. 理由如下:由(1)知∠BAD=∠CBE, 又∵∠BDF=∠ADB, ∴△BDF∽△ADB, ∴=, ∴BD2=AD·DF. 单击此处编辑母版文本样式 10 如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧,设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式.   单击此处编辑母版文本样式 (2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α、β满足怎样的关系式时,(1)中的y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠ADB=×(180°-30°)=75°. ∵∠DAB+∠EAC=105°-30°=75°,∴∠ADB=∠EAC, 又∠ABD=∠ACE=180°-75°=105°, ∴△ABD∽△ECA, ∴=,即=,∴y=. 单击此处编辑母版文本样式 (2)要使y=还成立,即△ABD∽△ECA, 此时∠ABC=∠ACB=(180°-α), 即∠ADB+∠DAB=(180°-α), ∵∠ADB=∠EAC, ∴∠EAC+∠DAB=(180°-α), 单击此处编辑母版文本样式 ∴∠DAE=∠EAC+∠DAB+∠BAC=(180°-α)+α =90°+α, 故当α、β满足关系式β=90°+α时,(1)中的y与x之间的函数解析式还成立. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 37 $