27.2.3　相似三角形应用举例 课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形应用，通过“山高河宽”实际问题导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实践的学习支架，帮助学生掌握测高、测距等实际问题的解决方法。 其亮点在于以真实情境为载体，引导学生抽象几何模型培养数学眼光，通过例题推理发展数学思维，分层作业与方法归纳强化数学语言。如镜子反射测树高、标杆测旗杆等实例，提升学生应用能力，为教师提供分层教学资源，助力高效教学。

27.2.3　相似三角形应用举例 单击此处编辑母版文本样式 27.2.3　相似三角形应用举例 单击此处编辑母版文本样式 1.会用相似三角形的知识,解决一些不能直接测量物体的长度和高度的实际问题. 2.能把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决问题的能力. ◎重点:利用相似三角形的相关知识解决实际问题. ◎难点:从实际背景中抽象出几何图形,构造相似三角形解决问题. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 世界上有许多高山,有许多大河,在我们无法到达其顶端,无法跨越到对岸时,如何才能知道“山有多高,河有多宽”呢?今天我们来用我们所学习的知识——相似三角形来解决这类问题. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 利用太阳光(影长)测量物体的高度    认真阅读课本本课时“例4”,填空: 归纳总结　用标杆、太阳光下的影长求物体的高度,根据相似三角形的性质可得关系式: 　 .  温馨提示　不同时刻,物体的影长会发生变化,所以利用影长测量物体高度时,一定要在同一时刻测量所涉及的量. =  单击此处编辑母版文本样式 利用相似测量河的宽度    认真阅读课本本课时“例5”,解决下面的问题. 为测量河宽,构造了相似三角形,请画出所构造的图形. 答: 单击此处编辑母版文本样式 利用标杆等测量物体的高度    认真阅读课本本课时“例6”,从“图27.2-17”的(2)中抽象出解题所用的几何图形,并画出来. 答: 单击此处编辑母版文本样式 利用太阳光(影长)测量物体的高度 1.数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下: ①如图,树与地面垂直,在地面上的点C处放置一块镜子,小明站在BC的延长线上,当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时,测得小明到镜子的距离CD=2米,小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米; 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 ②将镜子从点C沿BC的延长线方向移动10米到点F处,小明移动到点H处时,小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子的距离FH=3米; ③计算树的高度AB. 请根据测量的数据计算树的高度. 单击此处编辑母版文本样式 解:设AB=x米,BC=y米. ∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC∽△EDC, ∴=, ∴=. ∵∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH, 单击此处编辑母版文本样式 ∴△ABF∽△GHF,∴=, ∴=,∴=, 解得y=20. 把y=20代入=中,得x=15, ∴树的高度AB为15米. 单击此处编辑母版文本样式 利用相似测量河的宽度 2.为了保障市民出行方便,某市在流经该市的河流上架起一座桥.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC.经测量,BC=80米,DE=140米,且点E到 单击此处编辑母版文本样式 河岸BC的距离为75米.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点E作EG⊥BC于点G, ∵DE∥BC, ∴△ABC∽△ADE, ∴===, ∴=. ∵AF⊥BC,EG⊥BC, 单击此处编辑母版文本样式 ∴∠CFA=∠CGE=90°. ∵∠ECG=∠ACF, ∴△ACF∽△ECG, ∴=,即=, 解得AF=100, ∴桥AF的长度为100米. 单击此处编辑母版文本样式 利用相似三角形测高 3.如图,利用标杆测旗杆的高度,当观测者的眼睛与标杆的顶端、旗杆的顶端“三点共线”时(标杆与地面垂直),观测者到标杆的水平距离是2 m,到旗杆的水平距离是6 m,观测者的眼睛到地面的距离是1.5 m,标杆的高度是2.5 m,求旗杆的高度. 单击此处编辑母版文本样式 解:过观测者的眼睛做旗杆的垂线,即作直角梯形的高. 根据题意得到图形(如图), 则AB⊥BF,CD⊥BF,AB=1.5 m,CD=2.5 m,BD=2 m,BF=6 m. 过A作AM⊥EF,垂足为M,则AM⊥CD,垂足为N. ∵AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF, 单击此处编辑母版文本样式 ∴四边形ABDN、ABFM是矩形, ∴DN=MF=AB=1.5 m,AN=BD=2 m,AM=BF=6 m, ∴CN=2.5-1.5=1 m. ∵CD⊥BF,EF⊥BF,∴CN∥EM, ∴△ACN∽△AEM,∴=,即=,∴EM=3 m, ∴EF=EM+FM=3+1.5=4.5 m.故旗杆的高度为4.5 m. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小红在操场上点C处直立高3 m的竹竿CD,然后退到点E处,此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小红又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小红的眼睛离地面的高度EF=1.5 m,量得CE=2 m,EC1=8 m,C1E1=4 m,求电线杆AB的高度. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:∵DC⊥AE,D1C1⊥AE,BA⊥AE, ∴DC∥D1C1∥BA,∴△F1D1N∽△F1BG, ∴=. ∵DC∥BA, ∴△FDM∽△FBG, ∴=. 单击此处编辑母版文本样式 ∵D1N=DM,∴=,即=, ∴GM=10 m. ∵=, ∴=,∴BG=9 m, ∴AB=BG+GA=10.5(m). 答:电线杆AB的高度为10.5 m. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　利用相似三角形知识解决实际问题的核心是构造　 　,并利用相似三角形的对应边成比例进行计算.  相似三角形 单击此处编辑母版文本样式 1某同学的身高为1.6米,某一时刻他在阳光下的影长为1.2米,与他相邻的一棵树的影长为3.6米,则这棵树的高度为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5.3米 B.4.8米 C.4.0米 D.2.7米 B 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2如图,这是测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为12 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管的口径DE是 ( ) A.8 cm B.10 cm C.20 cm D.60 cm A 单击此处编辑母版文本样式 3如图,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂端点下降0.5米时,长臂端点升高了　 　米.  8 单击此处编辑母版文本样式 4如图,小佳同学用自制的直角三角形纸板EFG测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边EG保持水平,并且边EF所在的直线经过点A.已知纸板的两条直角边EF=60 cm,FG=30 cm,测得小佳与树的水平距离BD=8 m,边EG离地面的高度DE=1.6 m,则树的高度AB等于　 　m.  5.6 单击此处编辑母版文本样式 5 如图,为了估计河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,使AB与河岸垂直,在近岸取点C,E,使BC⊥AB,CE⊥BC,AE与BC交于点D.测得BD=30米,DC=10米,EC=11米,求河宽AB. 单击此处编辑母版文本样式 解:∵BC⊥AB,CE⊥BC,∴∠ABD=∠ECD=90°. ∵∠BDA=∠CDE,∴△ADB∽△EDC, ∴=, ∴=, ∴AB=33, 即河宽AB为33米. 单击此处编辑母版文本样式 6一个钢筋三角形框架三边长分别为20厘米、50厘米、60厘米,现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架,而只有长是30厘米和50厘米的两根钢筋,要求以其中一根为边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有 ( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 B 单击此处编辑母版文本样式 7如图,这是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米,那么该古城墙CD的高度是　　米.  8 单击此处编辑母版文本样式 8如图,小明发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m,CE=0.8 m,CA=30 m(点A,E,C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m) 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点D作DG⊥AB,分别交AB、EF于点G,H,则EH=AG=CD=1.2,DH=CE=0.8,DG=CA=30. ∵EF∥AB,∴=, 单击此处编辑母版文本样式 由题意可知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5, ∴=,解得BG=18.75, ∴AB=BG+AG=18.75+1.2≈20.0. 故楼高AB约为20.0米. 单击此处编辑母版文本样式 9 一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:设CD长为x m. ∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA, ∴AM∥CD,BN∥CD,∴EC=CD=x, ∴△ABN∽△ACD,∴=,即=, 解得x=6.125≈6.1, ∴路灯高CD约为6.1 m. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 38 $