27.2.2　相似三角形的性质 课件 2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，涵盖对应线段、周长的比等于相似比及面积比等于相似比平方。通过“已有性质延伸”提问导入，衔接相似定义，搭建旧知到新知的探究支架。 其亮点在于以“思考”驱动自主探索培养抽象能力，例题推理过程强化逻辑思维，分层作业结合实际问题（如正方形剪法）渗透模型意识。助力学生提升分析推理能力，为教师提供系统教学资源与分层练习设计。

27.2　相似三角形 单击此处编辑母版文本样式 27.2.2　相似三角形的性质 单击此处编辑母版文本样式 1.知道相似三角形对应线段(中线、高线、角平分线)的比与相似比之间的关系. 2.知道相似三角形的周长比和面积比与相似比之间的关系. 3.能灵活运用相似三角形的判定和性质解决简单的问题,提高分析、推理能力. ◎重点:探索并掌握相似三角形的性质,并进行简单地应用. ◎难点:探索相似三角形性质的过程. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 根据三角形相似的定义以及前面所学的知识,我们知道相似三角形有“对应角相等,对应边成比例”的性质,那么,除了这些性质之外,相似三角形还有哪些其他的性质呢?今天我们就来研究这个问题. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 相似三角形的对应线段的比与相似比的关系   认真阅读课本本课时第二个“思考”之前的内容,理解证明“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法,填空: 归纳总结　相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于　 　.相似三角形的周长比等于　 　.    相似比 相似比 单击此处编辑母版文本样式 相似三角形的面积比与相似比的关系     认真阅读课本本课时第二个“思考”之后的内容,填空: 归纳总结　相似三角形的面积比等于　 　.  相似比的平方 单击此处编辑母版文本样式 相似三角形对应线段的比的应用 1.如图,已知△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应的中线.求证: ==k. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴==k,∠B=∠B'. ∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的中线, ∴B'D'=B'C',BD=BC, ∴====k, ∴△ABD∽△A'B'D',∴==k. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.已知两个相似三角形对应中线之比为1∶4,那么它们的对应高之比为( ) A.1∶2 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶5 2.已知△ABC∽△A'B'C',对应角平分线的比是1∶,且BC边上的高是3,则B'C'边上的高是　　.    C 9 单击此处编辑母版文本样式 相似三角形的周长比 2.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的周长. 单击此处编辑母版文本样式 解:∵△ABC的三边长分别为6,8,10,且62+82=102, ∴△ABC是直角三角形, ∴△ABC的最大角是90°. ∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30, ∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10∶30=1∶3, ∴另两条边的长分别为6×3=18,8×3=24, ∴△A'B'C'的周长为18+24+30=72. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1. 如图,已知DE∥BC,且AD∶BD=1∶2,则△ADE与△ABC的周长比为  　.  单击此处编辑母版文本样式 2.两个相似三角形的相似比是1∶2,其中较小三角形的周长为6 cm,则较大三角形的周长为　 　.  12 cm 单击此处编辑母版文本样式 相似三角形的面积比的应用 3.两个相似三角形的相似比为2∶3,面积之差为25 cm2,则这两个三角形的面积分别是　 　.  20 cm2和45 cm2 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且==,则的值为  　.  单击此处编辑母版文本样式 2.DE把△ABC分成面积相等的两部分,则△ADE与△ABC的面积比为  　,因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以相似比为  　. 单击此处编辑母版文本样式 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC的面积. 单击此处编辑母版文本样式 解:∵∠C=∠QPB,∠B=∠B,∴△BPQ∽△BCA. 又∵=, ∴S△BPQ∶S△BCA=1∶5,∴=. ∵AB=5,∴QB=. ∵PB=2,∴QP==1, ∴△BPQ的面积=×2×1=1,∴S△BCA=5. 单击此处编辑母版文本样式 1如果△ABC∽△A'B'C',且=,那么AB与A'B'边上的高的比为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.9∶25 B.25∶9 C.3∶5 D.5∶3 A 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2两个相似多边形的一组对应边分别为2 cm和3 cm,它们的面积之和是117 cm2,那么较大多边形的面积为 ( ) A.55.6 cm2 B.36 cm2 C.49 cm2 D.81 cm2 3如果两个相似三角形对应中线之比是9∶16,那么它们的周长之比是　 　.  D 9∶16 单击此处编辑母版文本样式 4如图,在△ABC中,DE∥BC,BC=6 cm,且S△ADE∶S△ABC=1∶4,那么DE的长为　 　.  3 cm 单击此处编辑母版文本样式 5已知两相似三角形对应角平分线的比为3∶10,且大三角形的面积为400 cm2,求小三角形的面积. 单击此处编辑母版文本样式 解:设小三角形的面积为S. ∵两相似三角形对应角平分线的比为3∶10, ∴两相似三角形的相似比为3∶10, ∴= 2=, ∴S=36, 即小三角形的面积为36 cm2. 单击此处编辑母版文本样式 6 如图,在▱ABCD中,点E为CD上一点,连接AE,BD,且AE、BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC的值为( ) A.2∶5 B.2∶3 C.3∶5 D.3∶2 B 单击此处编辑母版文本样式 7如图,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为 ( ) A.a B.a C.a D.a C 单击此处编辑母版文本样式 8如图,在△ABC中,DF∥EG∥BC,且AD=DE=EB,则△ABC被分成的三部分面积比S△ADF∶S四边形DEGF∶S四边形BEGC=　　.  1∶3∶5 单击此处编辑母版文本样式 9如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,AF平分∠BAC,交DE于点G,如果AE=3,EC=1,AD=2,BD=4,求AF∶AG的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:∵AE=3,EC=1,AD=2,BD=4, ∴AC=4,AB=6, ∴AB∶AE=AC∶AD=2∶1, 又∵∠BAC=∠EAD, ∴△ABC∽△AED, ∴AF∶AG=AC∶AD, ∴AF∶AG=2∶1. 单击此处编辑母版文本样式 10已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm和14 cm. (1)已知它们的周长相差60 cm,求这两个三角形的周长. (2)已知它们的面积相差588 cm2,求这两个三角形的面积. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵相似三角形的对应边长分别是35 cm和14 cm, ∴这两个三角形的相似比为5∶2, ∴这两个三角形的周长比为5∶2. ∵它们的周长相差60 cm,∴设较大的三角形的周长为5x cm,较小的三角形的周长为2x cm, ∴3x=60,∴x=20 cm,∴5x=5×20=100 cm,2x=2×20=40 cm, ∴较大的三角形的周长为100 cm,较小的三角形的周长为40 cm. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵这两个三角形的相似比为5∶2, ∴这两个三角形的面积比为25∶4. ∵他们的面积相差588 cm2, ∴设较大的三角形的面积为25x cm2,较小的三角形的面积为4x cm2,∴(25-4)x=588, ∴x=28 cm2∴25x=25×28=700 cm2,4x=4×28=112 cm2. ∴较大的三角形的面积为700 cm2,较小的三角形的面积为112 cm2. 单击此处编辑母版文本样式 11如图,已知直角三角形铁片ABC的两直角边BC,AC的长分别为3 cm和4 cm,分别采用(1)、(2)两种剪法,剪出一块正方形铁片,为使所得的正方形面积最大,问哪一种剪法好?为什么? 单击此处编辑母版文本样式 解:设(1)中正方形的边长为x cm, 则AD=(4-x)cm,∵DE∥BC, ∴=, ∴=,x=; 单击此处编辑母版文本样式 如图,过点C作CH⊥AB于点H,交DE于点M,设图中正方形边长为y cm,利用勾股定理及三角形的面积得CH=, 又△CDE∽△CAB,∴=,=,∴y=. ∵>, ∴图(1)中的剪法好. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 35 $