精品解析：2026届陕西省西安交大少年班第二次阶段性联考数学试卷

西交大少年班第二次阶段性联考 数学试卷 考试时间：100min 满分100分 1. 若二次函数的图象与轴交于两点，，则________. 2. 在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 3. 在中，已知，，，为边的中点，且与的平分线交于点.则的长为________. 4. 已知10个两两互不相等正整数满足条件 ，， ，， ，. 则最小可能值为________. 5. 如图，已知直线与抛物线交于、两点，点在直线上方抛物线上运动.当的面积最大时，点的坐标为________. 6. 已知函数.则的整数部分为________. 7. 已知关于的方程有两个实根.则的取值范围是________. 8. 已知直角三角形两条直角边、及斜边均为整数，且其内切圆的半径.则这样的直角三角形有________个. 9. 如图，在中，已知是斜边中点，于点，于点.若、、的长都是有理数，则线段、、、中，长不一定是有理数的为________. 10. 设实数，，，，满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，最大的两个数是.则________. 11. 设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足.求出所有这样的数对的个数. 12. 已知实数、、、满足，.求的最大值和最小值. 13. 如图，已知、分别与切于点、，过点的割线与交于、两点，作与弦交于点，的延长线与交于点.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西交大少年班第二次阶段性联考 数学试卷 考试时间：100min 满分100分 1. 若二次函数的图象与轴交于两点，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】直接将二次函数与x轴的交点转化为一元二次方程的根，并结合根与系数的关系化简求值可得结果. 【详解】由二次函数的图象与轴交于两点，， 所以是方程，即的两个根， 所以，，且，即， 所以 ， 故答案为：. 2. 在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简所求式子的形式，结合对应的余弦定理结论，替换式子中的部分项，进而得到式子的结果. 【详解】， 由，得，即. 将代入分子，得 分子与分母相等，故. 故答案为：. 3. 在中，已知，，，为边的中点，且与的平分线交于点.则的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得为直角三角形，以为圆心，设为直径作圆交直线于，连接，，，根据角平分线的性质和直角三角形性质可求的长. 【详解】因为，，，所以，所以为直角三角形， 以为圆心，为直径作圆交直线于，连接，，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以点与点重合，因为为直径， ∴. 故答案为： 4. 已知10个两两互不相等的正整数满足条件 ，， ，， ，. 则的最小可能值为________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据条件可得，要使最小，需使取最小的不同正整数，且保证所有衍生出的数也互不相等，根据最小的正整数组合开始分别考虑，，，，……，逐一检验，直至发现时，的符合要求的组合即可. 【详解】因，则，（*）， 又，则，而， 故，又， 代入（*），可得 . 依题意，是两两互不相等的正整数， 要使最小，需使取最小的不同正整数，且保证所有衍生出的数也互不相等. 先尝试最小的正整数组合（此时），如下表： 组合 检验 ① 3 1 2 4 此时，与重复； ② 3 2 1 4 此时，与重复. 再尝试组合（此时），如下表： 组合 检验 ① 3 1 2 5 此时，与重复； ② 3 2 1 5 此时，与重复 再尝试组合（此时），如下表： 组合 检验 ① 2 1 3 4 此时，与重复； ② 2 3 1 4 此时，与重复. 再尝试组合（此时），如下表： 组合 检验 ① 4 1 2 6 此时，，与重复； ② 4 2 1 6 此时，与重复； ③ 2 1 3 5 此时，与重复； ④ 2 3 1 5 此时，与重复. 再尝试组合（此时），如下表： 组合 检验 ① 2 1 3 6 此时，与重复； ② 2 3 1 6 此时，，， ，， ，符合题意. 由上表可见，当依次为时，符合所有条件，且的值最小. 故答案为：20. 5. 如图，已知直线与抛物线交于、两点，点在直线上方的抛物线上运动.当的面积最大时，点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】因为三角形的一边的长度为定值，要使的面积最大，必有点到直线的距离最大，此时点既在抛物线上又在与直线平行的直线上，即直线与平行且与抛物线相切，所以设出直线的方程并用判别式等于0可得点的坐标. 【详解】由直线与抛物线交于、两点，联立方程，消去y，得， 解得，当时，；当时，. 所以，得. 点在直线上方的抛物线上运动.当的面积最大时，点到直线的距离最大， 此时点既在抛物线上又在与直线平行的直线上，即直线与平行且与抛物线相切，如图： 设此条直线为，与抛物线联立消去y得，， 即，令，得， 此时方程的根为，再代入得，，此时点为. 故答案为： 6. 已知函数.则的整数部分为________. 【答案】 【解析】 【分析】先证，进而得，利用等差数列求和公式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以的整数部分为：， 故答案为：. 7. 已知关于方程有两个实根.则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，画出其图象，结合图象即可求解. 详解】令， 当时，， 当，， 当，， 即， 方程有两个实根， 可转换成的图象和有两个交点， 由的图象可知，， 故答案为： 8. 已知直角三角形两条直角边、及斜边均为整数，且其内切圆的半径.则这样的直角三角形有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】由，结合，得到，进而可求解. 【详解】因为直角三角形内切圆的半径， 由直角三角形内切圆性质可得：， 又， 所以， 化简可得：， 因为、均为整数， 所以或或， 解得，则 或，则 或，则 所以满足条件的直角三角形有3个， 故答案为：3 9. 如图，在中，已知是斜边的中点，于点，于点.若、、的长都是有理数，则线段、、、中，长不一定是有理数的为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可判断为有理数，再利用相关垂直条件，证明三角形相似，可得、为有理数，进而由不能判断其是否为有理数. 【详解】因、、的长都是有理数，且是斜边的中点， 则都是有理数，于是，是有理数； 因，，，易得，， 则都是有理数，而不一定是有理数. 故答案为：. 10. 设实数，，，，满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，最大的两个数是.则________. 【答案】#### 【解析】 【分析】由题意，用表示，并求出从而求得的值. 【详解】因为，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，所以，所以. 因为最大的两个数是，所以，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故答案为：. 11. 设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足.求出所有这样的数对的个数. 【答案】 【解析】 【分析】由数对满足，可得，由均是不超过1000的正整数可求得其取值范围，从而求得满足条件的数对的个数. 【详解】由数对满足，可得. 当时，满足条件的的个数为. 记. 因为，所以. 当时，，所以或. 记满足条件的数对的个数为S， 则. 所以满足条件的数对有个. 12. 已知实数、、、满足，.求最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】设变量将用表示，结合已知条件推导表达式，利用实数平方和的非负性建立不等式，求解不等式得到的取值范围，进而得解. 【详解】设，则. 由，得， 代入、，得， 故. 因，展开得， 又， 代入得，即. 将代入，得， 化简得，解得. 所以的最大值为,最小值为. 13. 如图，已知、分别与切于点、，过点的割线与交于、两点，作与弦交于点，的延长线与交于点.证明：. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据圆周角定理、弦切角、平行线、相似三角形等知识进行推导，由此证得. 【详解】连接,延长交于, 是切线，所以, 而，，. 同理可证得,, 、是切线, ，，即， 、是切线,, ,, ,, ,,而，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $