甘肃省甘南藏族自治州临潭县第二中学2026届高三上学期学业学情调研数学试卷

临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合补集与交集定义计算即可. 【详解】由，则或，又，则. 故选：A. 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则由已知有，所以， 解得 ，所以，故，选A. 3．若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据线面平行的性质得到线线平行，进而由线面垂直得到线线垂直，故. 【详解】A选项，若，则或异面，A错误； B选项，若，则或异面或相交，B错误； C选项，因为，，，所以， 因为，，所以，故，C正确； D选项，若，则与相交或异面，D错误.故选：C 4．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【分析】由，得到，通过即可求解. 【详解】因为，所以，又，则， 所以，所以，所以，故选：C 5．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：B． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】.故选：B. 7．设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理计算，设，，根据余弦定理计算，根据等面积法列方程得出，的关系，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】如图：椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得， ， ， ， 又， ，即，即 故选：C 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数等于平均数 C．方差是 D．第50百分位数是2 【答案】ABD 【分析】根据极差的定义可判断A；根据众数的定义可判断B；根据方差的定义可判断C，根据百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，由已知样本数据的最大值为4，最小值为0，所以极差为4，故A正确； 对于B，样本数据的众数为2，平均数为，所以众数等于平均数，故B正确； 对于C，方差为，故C错误； 对于D，将数据按照从小到大的顺序排列可得0，1，2，2，2，3，4，因为样本数量为7，第50百分位数即为中位数， 位置，第4个数据为2，所以第50百分位数是2，故D正确.故选：ABD. 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法中正确的是（    ） A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为 B． C．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 D．若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】对A：借助抛物线定义计算即可得；对B：设出直线方程，联立抛物线方程，结合向量数量积公式与韦达定理计算即可得；对C：法一：由题意可得抛物线的方程，再设出直线方程，联立抛物线方程，表示出到轴的距离与圆的半径后，可表示出，即可得解；法二：作出相应辅助线，再利用点横坐标表示出，即可得解；对D：法一：结合B中所得方程，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得；法二：借助抛物线焦半径公式计算即可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A，若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3， 由抛物线的定义可得，解得，则抛物线的方程为，故A错误； 对于B，可设，直线的方程为， 与抛物线联立，消去，可得，可得， 则，故B正确； 对于C，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为， （法一）设直线的方程为，设， 联立，可得， 所以， 到轴的距离为， 所以， 当且仅当时，取得等号，故C正确； （法二）作轴，交轴于，交准线于，则为切点， 所以， 所以， 当轴时，取得最小值1，此时取得最小值，故C正确； 对于D，（法一）由B可得，， 由抛物线的定义可得： ， 解得，则直线的斜率为，故D正确. （法二）设的倾斜角为，则， 解得，则或，所以直线的斜率为，故D正确.    故选：BCD. 11．关于函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在正实数k，使得恒成立 B．函数有且只有1个零点 C．是的极小值点 D．对任意两个正实数，且，若， 【答案】BCD 【分析】A.由恒成立，转化恒成立，令，利用导数法求解判断； C.由函数，求导，再利用极值点的定义判断； B.设，利用导数法结合零点存在定理判断；D.由选项C知是的极小值点，可得若时，则，易知，然后根据，利用导数法判断其符号，再利用在上的单调性判断. 【详解】若恒成立，则，令，则，令，则，当时，，当时，，所以，即，所以在上递减，无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故A错误； 对于函数，其定义域为，由于，由可得，当时，，当时，，可知是的极小值点，选项C正确； 设，则，可知在上单调递减，又，所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点，选项B正确； 由是的极小值点，可知若时，，易知，则，令，则，则，则在上单调递减，，故，又在上单调递增，则，故，选项D正确， 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的表达式，进而可得出的表达式，再利用等差数列的求和公式可求得. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以，，所以，， 所以，，故数列为等差数列， 所以，.故答案为：. 13．如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理即可求解． 【详解】连接，如图所示， 因为，所以所成角或其补角为异面直线与所成的角， 因为， 在中，由余弦定理可得.故答案为： 14．展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，分别计算含的项，再合并同类项即可求解. 【详解】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含的项分别为，，，，合并同类项，则含的项为， 所以系数为24.故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是各项均为正数的等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列通项公式为，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设的公比为，利用基本量运算求出公比，可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法计算出数列的前n项和． 【详解】（1）设的公比为，由题意知：，. 又，解得，，所以. （2）.令，则， 因此， 又， 两式相减得 所以. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，即可得平面，进而可证线线垂直； （2）建系标点，求平面的法向量，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接与交于点， 在底面矩形中，可得，， 即，则， 可得，所以， 因为平面， ，则平面， 且，所以， 因为，平面，可得平面，且平面， 所以. （2）以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，   则， 可得，，，设平面的法向量为，则，取，则，设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即. 17．（15分）育才中学在文化节举办了“知识竞答”比赛，满分分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成 组： ，得到频率分布直方图如下：   (1)求的值； (2)以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在 的同学中抽取名同学的成绩进行复盘分析，再从这名同学中不放回抽取份试卷，记成绩在 内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，期望： 【分析】（1）由频率分布直方图，所有组频率和为，求得； （2）确定每组的中间值和频率计算平均值； （3）确定分层抽样的人数，计算区各值的概率列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图，所有组频率和为，得， 解得； （2）各组中间值分别为，对应频率分别为； 平均数； （3）分层抽样后，，分别抽取人、人、人 随机变量可能取值为、、，概率分别为：； ；； 所以分布列为： 数学期望为： ； 18．（17分）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 19．（17分）已知函数，． (1)求函数的最值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)证明不等式：． 【答案】(1)最小值为，无最大值； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）对求导，借助的正负判断的单调性，进而求出的最值； （2）不等式上恒成立，等价转化为，然后分离参数得，设，求即可. （3）由（2）知在上恒成立，令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前项和公式求证. 【详解】（1）由题意可知， 由可得，则函数在上单调递增； 由可得，则函数在单调递减； 所以当时，函数有最小值，最小值为，无最大值. （2）由不等式上恒成立， 得， 因为，所以， 所以在上恒成立， 设，则， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以实数的取值范围为. （3）由（2）得在上恒成立， 令，则有， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 4．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 5．某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（   ） A．极差是4 B．众数等于平均数 C．方差是 D．第50百分位数是2 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法中正确的是（    ） A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为 B． C．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为 D．若，则直线的斜率为 11．关于函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在正实数k，使得恒成立 B．函数有且只有1个零点 C．是的极小值点 D．对任意两个正实数，且，若， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和 . 13．如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 14．展开式中的系数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是各项均为正数的等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列通项公式为，求数列的前n项和. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面.    (1)证明：； (2)若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（15分）育才中学在文化节举办了“知识竞答”比赛，满分分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成 组： ，得到频率分布直方图如下：   (1)求的值； (2)以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在 的同学中抽取名同学的成绩进行复盘分析，再从这名同学中不放回抽取份试卷，记成绩在 内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 18．（17分）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 19．（17分）已知函数，． (1)求函数的最值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)证明不等式：． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.。 1.已知集合A={x0<x<2,B={x1<x<3},则A∩(aB)=() A.(0,] B.(0,1) C.(2,3) D.(2,3] 2.己知复数z满足+1=i,则： 7 a分司 C. n分 3.若m,n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是() A.若m/1a,nca,则l∥n B.若m/a,n//a,则ml∥n C.若/1a,n⊥a,则m⊥n D.若m/1,n⊥a&,则m与n相交 4.已知平面向量a=1,-2),=3,且(a+b)1a,则a-列=() A.2 B.4 C.2W6 D.24 5.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有() A.110种 B.100种 C.90种 D.80种 4厂5，则sin2a=() 6.已知sina+ A.24 7 7 C. 25 B.-25 25 n好 7.设椭圆+少 正+方-1(a>b>0)的焦点为R,R,P是椭圆上的一点，且∠RPR=120, 若△耳PE的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R=4时，椭圆的离心率为() c.9 D. 5 3 8.己知函数f(x)=axnx-x3有两个极值点，则实数a的取值范围是() A.+) B.2+m D. ,+om) e e e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选箭的得0分 9.已知一组样本数据：2,2,0,2,4,1,3，则下列关于该组样本数据说法正确的是() A.极差是4 B.众数等于平均数 c.方茨是9 D.第50百分位数是2 10.己知抛物线y2=2pPx(p>0)的焦点为F,过点F的直线I交抛物线于AB两点，以线段 AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P,则下列说法中正确的是() A.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2=8x B.0A.0B=-3p 4 C.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为) D.若AF BF列=4p2,则直线A的斜率为士5 1.关于函数f)=2+nx,则下列结论正确的是() A.存在正实数k,使得f(x)>x恒成立 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.x=2是f(x)的极小值点 D.对任意两个正实数x1,x2,且x2>:,若f(:)=∫(x),x+2>4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,S,=20,S,=56,则数列 S)的前n项和T=一 13.如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-ABC中，A4=3,AC=1,则异面 直线AB与AC所成角的余弦值为」 C B A C B 14.1-2x)1+x)4展开式中x的系数为 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且4+4=6,44=4. (1)求数列{a}的通项公式： (2)数列{bn}通项公式为b.=2n+1,求数列 的前n项和7 a. 16.(15分)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，S4=AD=2,AB=2V2,M是SB 的中点，SA⊥平面ABCD M B D (I)证明：MC⊥BD: (2)若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的 正弦值为V5o, SC 的值 10 17.(15分)育才中学在文化节举办了“知识竞答”比赛，满 个频率/组距 0.030 分100分，现统计全校参赛学生的成绩，将所得的数据分成0.025 0.020 6组：「40,50)，「50,60)，「60,70)，「70,80)，「8090)，「90,1001 2n 得到频率分布直方图如下： (1)求n的值； 405060708090100成绩 (2)以每组数据的中间值为代表，估计本次比赛成绩的平均值： (3)若采用分层按比例抽样的方法，从成绩在[5080]的同学中抽取6名同学的成绩进行复 盘分析，再从这6名同学中不放回抽取2份试卷，记成绩在「60,70]内的人数为随机变量5， 求ξ的分布列和数学期望 18.(（17分)已知双曲线层：x-广=1b>0)左、右顶点分别为4、4，过点M20的直 线交双曲线E于P、Q两点 (1)若离心率e=√5时，求b的值： (2)若b=2,过点N(0,2)且斜率为t的直线与双曲线E只有一个交点，求t的值； (3)连接OQ并延长交双曲线E于点R,若AR.A,P=1,求b的取值范围 19.(17分)已知函数f(x)=(x+2)ln(x+2),g(x)=x2+(3-a)x+21-a)(aeR). (1)求函数f(x)的最值： (2)若不等式f(x)≤g(x)在(-2，+o)上恒成立，求a的取值范围： (3)证明不等式： 1+++司-1+ecw)临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.己知集合A={0<x<2,B={1<x<3},则A∩(B)=() A.(0,] B.(0,1) C.(2,3) D.(2,3] 【答案】A 【分析】结合补集与交集定义计算即可 【详解】由B={1<x<3},则B={x≤1或x之3，又A={0<x<2,则A④kB=(0,1 故选：A 2.己知复数z满足+1=i,则E A. 1,1 2+2 1 B.22 C. 【答案】A 【详解】设z=a+bi(a,b∈R),则由已知有z+i=zi,a+(b+1)i=-b+i,所以 a=-b b+1=a 1 ，所以，微号选A a= 2 解得 2 3.若m,n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是() A.若m1/a,nca,则m∥n B.若m/1a,n/1a,则m∥n C.若m/1a,n⊥a,则m⊥n D.若ml/a,n⊥a,则m与n相交 【答案】C 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据线面平行的性质得到线线平行，进而由线面 垂直得到线线垂直，故Ln 【详解】A选项，若m/1a,nca,则ml∥n或m,n异面，A错误； B选项，若m/a,n/1a,则m/n或m,n异面或，n相交，B错误； C选项，因为m/1a,mcB,a∩B=b,所以m/b, 因为n⊥，bc&,所以n⊥b,故⊥n,C正确： D选项，若m/a,nLa,则m与n相交或m,n异面，D错误.故选：C 4.已知平面向量a=(1,-2),=3,且(a+b)1a,则a-=() A.2 B.4 C.2√6 D.24 【答案】C 【分析】由（位61a,得到a.6=-5,通过6介-个-2a个66公即可求解 【详解)因为(a+6上a,所以(a+)a=a+a:6=0,又a=0,-2),则后-5， 所以a.6=-5,所以介=2-26+=5+10+9=24，所以a26,故选：C 5.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有() A.110种 B.100种 C.90种 D.80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解。 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有C,(C4+C?+C)=70 种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有CC?=30种； 所以满足条件的不同的派遣方案有70+30=100种.故选：B. 6.已知sin+ 元)3 4厂5，则sin2a=() 24 个 7 A.- C. 25 B.-25 25 D. Γ25 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得si2a的值. 【详解】sin2a= ma引-ae-1 7.设椭圆女+ +不=1(a>b>0)的焦点为月，月，P是椭圆上的一点，且∠RPR=120°， 若△耳P的外接圆和内切圆的半径分别为R,”,当R=4r时，椭圆的离心率为() B. J 6 D. 5 5 7 【答案】C 【分析】利用正弦定理计算R,设PE=m,|PE,=n,根据余弦定理计算m,根据等面积 法列方程得出a,c的关系，从而可求出椭圆的离心率， 【详解】如图：椭圆的焦点为F(-c,0),(c,0),1耳E上2c, 根据正弦定理可得2R=2.4W。 =sin ZFPF∠:sin2 2r3, 3 .R=2V3c,r=IR-e 3 4 6 设1P=m,|PR,=n,则m+n=2a, 由余弦定理得，=m+-2mo否=0侧+n-m=-m, mn=4(a2-c2), .S.mmmsin 2 3 又SAR%= 0m+n+2x)-r=5c(a+g 6 5e-6)=5ca+9,即6a=7c,即e=a7 c、6 6 故选：C 8.已知函数f(x)=axx-x3有两个极值点，则实数a的取值范围是() A.2,） B.(2,t) C.(已，+o) D. ,+0) 【答案】D 【分析】求出函数f(x)的导数∫"(x),由"(x)在(0，+∞)上有两个变号零点求出范围 【详解】函数f(x)=mnx-x3的定义域为(0，+o),求导得f'(x)=a(1+nx)-3x2, 由函数f(x)=axx-x2有两个极值点，得函数∫"(x)在(0，+o)上有两个变号零点， 令8()=a0+nx)-3x2,，求导得g')=a-6x, 当a≤0时，g(x)<0,函数f'(x)在(0，+0)上单调递减，∫"(x)最多一个零点，不符合题意： 当a>0时，由g')>0,得0<x< 后由g)<0.得>V 函数f"(x)在(0， ?上单调递增，在（后+）上单调递减。 则f.f八-a+ 4,而当x从大于0的方向趋近于0时，f')→-0， 当x→+n时，f'(x)→-0， 因此当且仅当a0+n a. )-0>0时，f'()有两个零点， 2 即n, +>0，解得a>6,所以实数a的取值范围是(，+o).故选：D "V62 e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组样本数据：2,2,0,2,4,1,3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（) A.极差是4 B.众数等于平均数 c.方是9 D.第50百分位数是2 【答案】ABD 【分析】根据极差的定义可判断A;根据众数的定义可判断B:根据方差的定义可判断C, 根据百分位数的定义可判断D, 【详解】对于A,由已知样本数据的最大值为4，最小值为0，所以极差为4，故A正确： 对于B,样本数据的众数为2，平均数为2+2+0+2+4+1+32，所以众数等于平均数， 7 故B正确； 对于C,方差为3×(2-2+0-2+4-2犷+0-2j+6-2】-10,故c错误： 7 对于D,将数据按照从小到大的顺序排列可得0,1,2,2,2,3,4，因为样本数量为7， 第50百分位数即为中位数， 位置=(7+1)×0.5=4，第4个数据为2，所以第50百分位数是2，故D正确.故选：ABD. 10.已知抛物线y2=2Px(p>O)的焦点为F,过点F的直线I交抛物线于AB两点，以线段 AB为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段AB的中点为P,则下列说法中正确的是() A.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2=8x B.04.0B=-3p 4 C.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin☑PN的最小值为； D.若AF-|BF=4p2,则直线AB的斜率为± 3 【答案】BCD 【分析】对A:借助抛物线定义计算即可得：对B:设出直线方程，联立抛物线方程，结合 向量数量积公式与韦达定理计算即可得：对C:法一：由题意可得抛物线的方程，再设出直 线方程，联立抛物线方程，表示出P到y轴的距离与圆的半径后，可表示出sn∠PMN,即 可得解；法二：作出相应辅助线，再利用P点横坐标表示出sn∠PN,即可得解；对D: 法一：结合B中所得方程，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得：法二：借助抛物线焦 半径公式计算即可得， 【详解】抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F 号0小准线方程为x号 对于A,若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3， 由抛物线的定义可得2+卫=3，解得P=2,则抛物线的方程为y2=4x,故A错误： 对于B,可设A(G,X),B(:,y),直线AB的方程为x=mw+气 与抛物线y2=2px联立，消去x,可得y2-2py-p2=0,可得yy2=-p2, 则a0丽=+=0 4p2p、3p2 4p2+y= ,故B正确： 4 对于C,抛物线的焦点F到准线的距离为p=2,则该抛物线的方程为y2=4x, (法一)设直线1的方程为x=y+1,设A(S,乃)，B(2,y), x=y+1 联立 y2=4x ，可得y2-4y-4=0,△=162+16>0，y1+y,=4, 所以x+x2=m(y+y2)+2=42+2,AB=x+x2+2=4m2+1), P到y轴的距离为d=5+:=2m㎡+1， 所以sin∠PW= d 2t+1 1 =1 2m2+2 12(m2+1) ≥11、1 22, 21 当且仅当m=0时，取得等号，故C正确： (法二)作PH⊥y轴，交y轴于H,交准线于Q,则O为切点， 所以PH=xp,PM=PQ=xp+1, 所以sin∠PMN=PH=,=1-1 PM xp+1 xp+1' 当AB上x轴时，x,取得最小值1，此时sin∠PMW取得最小值子，故C正确： 对于D,(法-)由B可得55= 4p24 ,+x2=m(y+y2)+p=2pm+p, 由枪物线的定义可有：州B到-号号引》 +x+刘手-其mi+月耳(i间月=4元 4-42 解得m=士V5,则直线AB的斜率为士5，故D正确， 3 =2, (法二)设AB的倾斜角为，则AF外BP=,。2 解得a=±行，则a=石或g,所以直线B的斜率为士5 6 6 ,故D正确 3 y M H 故选：BCD. 11.关于函数f(x)=2+nx,则下列结论正确的是（) A.存在正实数k,使得f(x)>x恒成立 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.x=2是f(x)的极小值点 D.对任意两个正实数x,x2,且6>：，若f(x)=f(x2),x+x2>4 【答案】BCD 【分1A由9>么恒陵立，转化子恒成立，令g)子+，利用学数达求 2+ 断：C由函数心中nx,求导了)=之+，再利用极值点的定义判断 设g(x)=f(x)-x,利用导数法结合零点存在定理判断；D.由选项C知x=2是f(x)的极小值 点，可得若∫(x)=∫(x)时，则x2>2>x,>0,易知4-x>2,然后根据 f(4-x)-f(x2)=f(4-x)f(),利用导数法判断其符号，再利用f(x)在(2，+m)上的单调 性判断. 【详解】若恒成立，则会，令8创=子+，则g=4“ 令h(x)=4+x-xnx,则(x)=-hx,当0<x<1时，(x)>0,当x>1时，h(x)<0, 所以h(x)≤h(1)<0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上递减，无最小值，所以不存在正实 数k,使得fx)>r恒成立，故A错误： hX,其定义减为0+0)，由于f心)名+由 当0<x<2时，f'(x)<0,当x>2时，f'(x)>0,可知x=2是f(x)的极小值点，选项C正 确： 1)2 7 设g)=f)-,则g=1- 2 可知g(x)在(0，+∞)上单调递减，又 <0 2 x g)=1>0,g(2)=血2-1<0，所以方程g(x)=0有且仅有一个根，即函数y=f(x)-x有且只有 1个零点，选项B正确： 由x=2是f(x)的极小值点，可知若∫(：)=∫(x)时，x2>2>x>0,易知4-x>2,则 -小-小后a-之，号 则L41则4-)0= +h>1.re)=+2t-1<0,则F0在 2t 242 4,+w)上单调递减，F()<F)=0,故f(4-x)-f(x2)<0,又f(x)在(2，+∞)上单调递增， 则4-x<x2,故x+x2>4,选项D正确， 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,S,=20,S1=56,则数列 的前n项和T,= 【答案】n2-5n 【分析】设等差数列{a}的公差为d,根据已知条件可得出关于a、d的方程组，解出这两 个量的值，可得出S的表达式，进而可得出的表达式，再利用等差数列的求和公式可求 得T S=5a+ 5x4d=5n+101=20 2 【详解】设等差数列{a}的公差为d,则 41=-4 解得 x6d=7a+21d=56 d=4 S2=7a+ n(n-1d 所以，Sn=n0+ =4n+2n-1)=2h-6,所以， Sn=2n-6, 2 n 所以， S三=[20n+1)-6]-(2n-6)=2,故数列 s. 为等差数列， ntl n 所以， nS+ .故答案为：n2-5n. T n(4+21-6)n25n 2 2 13.如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱ABC-AB,C中，AA=3,AC=1,则异面 直线AB与AC所成角的余弦值为」 【答案】 11 【分析】由AC/1AC,得∠CAB是异面直线AB与AC所成角（或所成角的补角），利用余 弦定理即可求解. 【详解】连接BC,如图所示， 因为AC/1AC,所以∠CAB所成角或其补角为异面直线AB与AC所成的角 因为AB=2+P=V2,AB=B2+(2=1,BC=√P+3=10 B 在△CAB中，由余弦定理可得cos∠CAB= 1+11-1011 故答案为： 11 211 11 11 14.Q-2x)(1+x)4展开式中x的系数为 【答案】24 【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，分别计算含x的项，再合并同类项即 可求解 【详解】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含x的项分别为CCx,C(-2)'C4, C(-2x)Cx2,C(-2x)2Cx,合并同类项，则含x的项为(4-80-60+160)x2=24x, 所以系数为24.故答案为：24 四、解答题：本题共5小题，共77分。解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知{a}是各项均为正数的等比数列，且4+a2=6,44=4. (1)求数列{a}的通项公式： (2)数列{bn}通项公式为b=2n+1,求数列 的前n项和T. 【答案】(1)a=2:(2)T=5- 2n+5 2 【解析】(1)设{a}的公比为9，利用基本量运算求出公比，可得数列{a}的通项公式： (2)利用错位相减法计算出数列 )的前n项和T.: a. 【详解】(1)设{a}的公比为9，由题意知：4(1+q)=6,Gq=4q 又a.>0,解得4=2，q=2,所以a=2 2)b,=2n+1令c.=2,则c=2n+1 2” 因此T,=G+C2++Cn 22+2+4212+1 3,5.7 21 2 -2 20+ 两式相减得-仔一可）- 2n+152n+5 2可厂 2n2+1- 2 2 2 2+H 2n+5 所以T=5- 2” 16.（15分)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，S4=AD=2,AB=2√2，M是SB 的中点，SA⊥平面ABCD B (1)证明：MC⊥BD: 若点P是枝S上的动点，直线4P与平面MC所成角的正弦值为Y30,求兴鱼 10 【答案】(1)证明见解析 (2) SP 1 SC 4 【分析】(1)作辅助线，根据题意可证BD⊥CN,BD⊥MN,即可得BDL平面MNC,进 而可证线线垂直： (2)建系标点，求平面AMC的法向量，设SP=2SC,利用空间向量结合线面夹角运算求 解即可 【详解】(I)取AB的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于Q点， 在底面矩形ABCD中，可得am∠DBC=C-万，am∠BNC= BC BC BN=2. 即tan∠DBC=tan∠BNC,则∠BNC=∠DBC, 可得∠BNC+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，所以BD⊥CN, 因为4⊥平面ABCD,NI/SA,则MN⊥平面ABCD,