专题八 不等式 课件-2026届高三数学二轮复习

专题八　不等式 命题热度： 本专题是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分. 考查方向： 一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基本不等式的应用. 考点一　不等式的解法 　(1)设集合A={x||x-a|<1}，B=.若A∩B=∅，则实数a的取值范围是 A.{a|0≤a≤6} B.{a|4≤a≤6} C.{a|a≤0或a≥6} D.{a|2≤a≤4} 例1 √ 由|x-a|<1得，-1<x-a<1， 即a-1<x<a+1， 所以A={x|a-1<x<a+1}， 由<-1得，<0，解得1<x<5， 所以B={x|1<x<5}， 因为A∩B=∅，所以a+1≤1或a-1≥5， 解得a≤0或a≥6，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥6}. 解析 (2)(2025·济南模拟)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围为 A.[-5，3) B.[2，3) C.[2，3)∪[4，5) D.[-5，3)∪(4，5] √ 由x2-2x-8>0，即(x-4)(x+2)>0，解得x<-2或x>4， 由2x2+(2k+7)x+7k<0，即(2x+7)(x+k)<0， 当k=时，不等式(2x+7)(x+k)<0即为2<0，无解； 当k>时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以-5≤-k<-4，即4<k≤5； 解析 当k<时，不等式(2x+7)(x+k)<0的解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则-3<-k≤5，即-5≤k<3. 综上所述，实数k的取值范围为[-5，3)∪(4，5]. 解析 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 规律方法 跟踪演练1　(2025·南通模拟)已知关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)，+<2，则实数b的取值范围是　 　　　.  因为关于x的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0的解集为(x1，x2)， 即关于x的一元二次方程x2-bx+2b-3=0的两根为x1，x2， 则所以 解得b<或b>6. 故实数b的取值范围是. 解析 考点二　基本不等式 　(1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b满足a+2b=1，则 A.ab的最大值为 B.a2+4b2的最小值为 C.+的最大值为2 D.2a+4b的最小值为2 例2 √ √ √ 对于A，因为a，b是正数，所以1=a+2b≥2⇒ab≤，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，所以ab的最大值为，A正确； 对于B，因为a，b是正数，≤⇒a2+4b2≥，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，a2+4b2的最小值为，B正确； 解析 对于C，因为(+)2=a+2b+2=1+2≤1+2=2，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，+≤，+的最大值为，C错误； 对于D，2a+4b=2a+22b≥2=2=2，当且仅当2a=22b，即a=2b，即a=，b=时取等号，2a+4b的最小值为2，D正确. 解析 (2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为 A.6 B.-6 C.8 D.-8 √ 由x2+y2=2x2y2(xy≠0)， 两边同时除以x2y2，得+=2， x2+9y2=(x2+9y2)× = ≥=8， 解析 当且仅当=，即x2=3y2=2时取等号， 所以2-x2-9y2=2-(x2+9y2)≤2-8=-6， 故2-x2-9y2的最大值为-6. 解析 基本不等式求最值 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法. 规律方法 跟踪演练2　(1)若x>0，y>0，x+2y=5，则的最小值为 A. B. C. D. √ 因为x>0，y>0，x+2y=5， 所以5=x+2y≥2， 所以xy≤，当且仅当x=，y=时等号成立， 所以≥，即的最小值为. 解析 (2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且+=1，则3x+4y的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.8 √ 因为x≥0，y≥0，则x+1≥1，2x+4y≥0， 由题意可知2x+4y≠0，则2x+4y>0， 3x+4y=(3x+4y+1)-1 =[(x+1)+(2x+4y)]-1 =2++-1 ≥2+2-1=3， 解析 当且仅当 即时等号成立， 所以3x+4y的最小值是3. 解析 考点三　不等式的综合应用 　(2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8) ≥0在(0，+∞)上恒成立，则b+的最小值为　　.  例3 8 因为关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0在(0，+∞)上恒成立， 所以是方程x2+bx-8=0的根， 则+b·-8=0，即b=8a-，且a>0， 所以b+=8a+≥2=8，当且仅当8a=，即a=，b=2时取等号，故b+的最小值为8. 解析 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 规律方法 跟踪演练3　(多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点P(m，n)是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法正确的是  A.曲线C关于直线y=x对称 B.m+n的最大值为2 C.该椭圆的离心率为 D.n的最大值为2 √ √ √ 将曲线C方程中的x与y对调后，该方程不变，所以曲线C关于直线y=x对称，A正确； 由题意知m2+n2-mn=6，因为m2+n2≥， mn≤，所以m2+n2-mn=6≥，则m+n≤2，当且仅当m=n=时等号成立，所以m+n的最大值为2，B正确； 解析 联立方程解得顶点坐标为(，)和(-，-)，所以椭圆的长轴长为2a=4⇒a=2，同理可得另外两个顶点坐标为(，-)和(-，)，所以椭圆的短轴长为2b=4⇒b=2， 所以c===2，所以该椭圆的离心率e===，C错误； 将m2+n2-mn=6看作关于m的一元二次方程，令Δ=n2-4(n2-6)≥0， 解得-2≤n≤2，所以n的最大值为2，D正确. 解析 $