专题02 不等式与复数（含基本不等式的应用）（复习课件）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

不等式与复数 模块一 专题02 考点一 不等式 真题动向 必备知识（3大知识点） 命题预测（4大题型） 考点二 复数 真题动向 必备知识（2大知识点） 命题预测（3大题型） 01 析·考情精解 命题轨迹透视 近三年全国卷中，不等式与复数均为基础必考点，考情稳定且难度适中。不等式作为重点知识点，虽应用贯穿高中数学多章节，但核心围绕大小判断、求最值及取值范围展开，题型以一道选择题为主，分值5分，偶与函数、数列、解析几何交叉综合，侧重基础运算与思想应用。 复数则是必考内容，核心考查代数四则运算、共轭复数、模长及几何意义，题型为选择题或填空题（多位于前2题），分值5分，考题难度低档，命题形式固定无偏题。两者均为高考易得分模块，分值与考查内容稳定，是基础分的重要保障。 考点频次总结     考点 2025年 2024年 2023年 不等式 二卷T4，5分 乙卷（理）T16，5分，I卷T1，5分 复数  二卷T1，5分 二卷T2，5分 甲卷（文）T1，5分 甲卷（理）T1，5分 I卷T2，5分，II卷T1，5分 甲卷（文）T2，5分，甲卷（理）T2，5分 乙卷（文）T1，5分，乙卷（理）T1，5分 I卷T2，5分，II卷T1，5分 2026命题 预测 2026年全国卷不等式与复数考情将延续稳定态势。复数仍为5分客观题，聚焦代数四则运算、模长及几何意义，难度维持低档；不等式以选择题为主，5分左右，核心考查大小判断、最值求解，或与基础知识点轻度结合。二者均为易得分模块，备考需夯实基础运算与核心性质。 02 构·知能框架 特别注意 【解析】 【答案】 C 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 真题动向 【解析】 【答案】 C 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 真题动向 【解析】 【答案】 BC 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 真题动向 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 必备知识 知识1 不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 知识2 二次不等式及常见不等式的求解 （1）解一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 必备知识 ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． （2）解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 必备知识 03 破·题型攻坚 考点一 不等式 必备知识 ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． ①利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件； ②基本不等式做题时要严谨，需满足“一正二定三相等”，很多同学做题时求出最值之后，很多时候没有验证三相等，易出现错误. 易错提醒 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【1】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【2】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【解析】 【2】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【3】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【4】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【5】 【解析】 举特例：x=3，y=0时不正确 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1不等式的性质 【6】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2解常见的不等式 【7】 【解析】 【8】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2解常见的不等式 【9】 【解析】 【解析】 【10】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2解常见的不等式 【11】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【12】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【解析】 故选：AC 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【13】 【解析】 注意基本不等式成立的条件 特别提醒 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【14】 【解析】 令a=4，b=2，利用特殊值法可得C错误 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【解析】 故选：AD 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【15】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【16】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【17】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【18】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【解析】 故选：ACD 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用基本不等式求最值 【19】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4基本不等式中的恒成立问题 【20】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4基本不等式中的恒成立问题 【21】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4基本不等式中的恒成立问题 【22】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4基本不等式中的恒成立问题 【23】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4基本不等式中的恒成立问题 【24】 【解析】 考点一 不等式 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4基本不等式中的恒成立问题 【25】 【解析】 【解析】 【答案】 D 03 破·题型攻坚 考点二 复数 真题动向 【解析】 【答案】 A 【解析】 【答案】 C 03 破·题型攻坚 考点二 复数 真题动向 【解析】 【答案】 C 【解析】 【答案】 C 03 破·题型攻坚 考点二 复数 真题动向 【解析】 【答案】 A 03 破·题型攻坚 考点二 复数 必备知识 特别注意 03 破·题型攻坚 考点二 复数 必备知识 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1复数的四则运算 【1】 【解析】 【2】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1复数的四则运算 【3】 【解析】 【4】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1复数的四则运算 【5】 【解析】 【解析】 【6】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2复数的几何意义 【7】 【解析】 【8】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2复数的几何意义 【9】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2复数的几何意义 【10】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2复数的几何意义 【11】 【解析】 【12】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3与复数有关的最值问题 【14】 【解析】 【15】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3与复数有关的最值问题 【16】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3与复数有关的最值问题 【17】 【解析】 考点二 复数 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3与复数有关的最值问题 【18】 【解析】 方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，1，5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 即为即，故， 故解集为. 2．（2025·全国二卷·高考真题，4，5分）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题，12，5分）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． （3）解和型不等式的一般步骤： ①；② 知识3基本不等式常见模型 （1），当且仅当时等号成立. （2），当且仅当 时等号成立. （3），当且仅当时等号成立. 知识3基本不等式常见模型 （4），当且仅当时等号成立. （5）分式相加模型，可进行以下步骤： 对于A，若，则，故A错误； 对于B，由题设，所以，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. （2025·四川绵阳·模拟预测）已知，，均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 （2025·四川巴中·模拟预测）已知，则使得“”成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 对A：当，，则，，此时成立，但是不成立，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对B：取，，则，，所以成立，但不成立，所以“” 不是“”的充分条件，故B错误； 对C：因为，，两边同乘以，得，即，所以“”是“”的充分条件，故C正确； 对D：因为，又，所以，所以“”不是“”的充分条件，故D错误. （2025·四川巴中·模拟预测）已知，则使得“”成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 对于A，因，由，可得，故A正确；对于B，若取，满足，但显然不满足，故B错误；对于C，由可知可以同为正数，一正一负，或者一个为正数一个为0，易得以上情况都能使成立，故C正确；对于D，因，故，即D正确. （2025·江苏淮安·模拟预测）（多选）下列选项正确的有（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D． 对于A、，则或，当时，，故A错误；对于B，，，则，故B正确；对于C，，即，故C正确；对于D，，又，所以，则，故D错误． （2025·四川·模拟预测）（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2025·湖南永州·模拟预测）（多选）若实数x，y满足，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 对B： ，所以，故B正确；对C：设，其中，，则，故C正确；对D： ，所以成立，故D正确. A.，则，故A正确； B.若，则，不满足，故B错误； C.若，则，故C错误； D.因为，所以，所以， 即，故D正确. （2025·陕西安康·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 不等式的解集为 . 不等式化为，解得，所以不等式的解集为， 集合，又集合， 所以. 已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 或， 因为成立，但不成立，所以是成立的必要不充分条件. （2025·四川资阳·一模）已知命题，命题，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 由不等式可得，且，所以. 不等式的解集为. （2025·海南·一模）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 在集合中，因为，所以， 则，解得，所以， 因为，故. 故选：B． （2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 （2025·吉林长春·模拟预测）（多选）下列不等式正确的是（   ） A． B．的最小值是4 C．若，则 D． 对于A：，， 因为，所以，即，故A正确； 对于B：，在上单调递减， 所以当时，取得最小值为5，故B错误； 对于C：因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，故C正确； 对于D：，即，，解得， 即，当时，， 又因为为增函数，所以，故D错误. 由，则 .当且仅当时取等号，即，再结合，可得，时取等号. （高三上·陕西商洛·月考）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 （2025·河南·模拟预测）（多选）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 选项B：，，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项D：， ，，即，当且仅当时取等号 ，变形可得， 设，则，故同号， 当时，，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， （2025·湖南·一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 由，，且，得. 当且仅当，即，即，或时，等号成立. 所以，当，或时，取得最小值，最小值为4. （2025·四川德阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．1 D．2 （2025·湖北孝感·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 因为，所以，当且仅当时，取等号. 令得：，由得：，所以：，， 解得：或，又因为，所以， 故，当且仅当，即时，取等号. （2025·辽宁·模拟预测）（多选）设正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． A，正实数，满足， 设，则， 因为，所以，整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则，解得，故，A正确； D，因为，所以，故， 又，故，即，，当且仅当时，等号成立，D正确； B，因为，所以，由D知，故， 当且仅当时，等号成立，解得，故，B错误； C，通过以上分析得，，等号成立的条件均为， 故，当且仅当时，等号成立，C正确. （2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为 . 令，所以，两边平方并化简得，同理，由题知，则， 故，得，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． （2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 因为，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得. （2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 因为，所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当，所以，，故实数a的取值范围是. （2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 因为不等式恒成立，所以，由，，可得，当且仅当时等号成立，所以，解得.所以的取值范围为. （2025·山西晋中·二模）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 因为对任意，恒成立，只需满足，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故实数的取值范围是. 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ）A．12 B．24 C． D． 令，，则转化为， 其中，当且仅当 ，即，时取等号，所以不等式恒成立，只需. 依题意得，，故. 2．（2025·全国二卷·高考真题，2，5分）已知，则（   ） A． B． C． D．1 因为，所以. 1．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）设，则（    ） A． B． C． D．2 因为，所以其虚部为1， 4.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，2，5分）若，则（    ） A． B． C． D． 因为，所以. 3．（2025·全国一卷·高考真题，1，5分）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 若，则. 5．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）若，则（    ） A． B． C．10 D． 由，则. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，1，5分）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 知识1复数的有关概念 （1）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. （2）复数可以分类如下: 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 知识2复数的四则运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； （4）除法： 由题意可得，则，所以． 设复数，所以，又， 所以，即，所以，解得， 所以，则的虚部为. （2025·云南大理·模拟预测）已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 （2025·陕西榆林·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 由，得，所以 因为，所以，因为，所以，故，所以， （2025·浙江·模拟预测）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 （2025·甘肃武威·模拟预测）已知，且，则（   ） A． B． C． D．1 （2025·广东江门·模拟预测）已知复数是的共轭复数，则 . 因为，所以，则故． 由得，可得方程的两个复数根分别为，，所以. （2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 由，复平面内复数z表示的点坐标为，在第四象限. 根据题意有，则， 故. （2025·河南·一模）若复数满足，则在复平面内复数表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 设是纯虚数，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 由于是纯虚数，则设， 由 由于复数在复平面内对应的点位于实轴上， 所以，解得：，即：. 复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则可设， ， 复数在复平面内所对应的点为，又， 复数在复平面内所对应的点位于第四象限． （2025·河南许昌·三模）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 因为，所以复数在复平面内对应的点为，又点在直线上，所以，解得，所以复数，， （2025·陕西·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． （2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第 象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 设，故，则 解得，，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限. 设，故；而， 故的最小值为， 表示以为圆心，为半径的圆，则圆心C到点的距离，则的最大值为. （2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. （2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    （2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为 ． 复数是纯虚数， ，，解得，，其对应的点为，为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上，所以与之间的最小距离. $