精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第I卷主观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线：与：互相垂直，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 3. 已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（   ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 椭圆上存在点，使得 D. 若，则的面积为 5. 若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 8. 已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为 A. B. C. 49 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 前项和为 C. D. 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. 当圆截所得的弦长为时，的值为 D. 当圆上有个点到的距离为时， 11. 如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（ ） A. B. C. 离心率 D. 的面积为12 第II卷客观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为__________． 13. 当直线被圆所截得的弦长最短时，实数_____． 14. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 16. 已知直线，． （1）求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程； （2）求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程． 17. 已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标； （2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 18. 已知数列满足,数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）记数列的前项和为,求; （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡． 第I卷主观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线：与：互相垂直，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足. 当时，直线的斜率. 由，得，即，解得. 故选：C 2. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式，计算即可求解. 【详解】由题意知，，得， 所以，即. 故选：C 3. 已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 4. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（   ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 椭圆上存在点，使得 D. 若，则的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的最值列式计算得出，计算判断A，应用椭圆定义计算判断B，结合数量积坐标公式结合椭圆方程计算求解判断C，应用焦点三角形面积公式计算判断D. 【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义有，又两焦点间距离为，故的周长为，正确 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，不正确. 设，因为，所以在中， 而，所以， 正确. 故选：C. 5. 若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案. 【详解】等比数列的前n项和为， 则， ， 所以，则， 即， 所以. 故选：B 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【详解】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 7. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A；通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B；结合B，及焦半径公式可判断C；通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设， 当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B错误； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D，    不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确； 故选：D 8. 已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为 A. B. C. 49 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的通项公式，化简的表达式，利用裂项求和法求得，由此求得的最小值. 【详解】当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故 ， 由于是单调递增数列，，. 故的最小值为，故选B. 【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 前项和为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的前项和求通项判断AC；利用分组求和法求解判断B；利用裂项相消法求和判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，数列前项和为0，则前项和为，B正确； 对于C，当时，，而不满足上式，C错误； 对于D，当时，， 因此 ，D正确. 故选：ABD 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. 当圆截所得的弦长为时，的值为 D. 当圆上有个点到的距离为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用直线恒过的定点在圆内即可判断；B选项圆心到的距离公式即可求解；C选项利用直线与圆相交的弦长公式即可求解；D选项利用当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离即可求解. 【详解】直线可变形为， 令，则，解得，， 则直线恒过定点； 又圆的圆心为，半径为. 则圆心到直线的距离为. 对于A选项，，点在圆内， 对，与相交，故A正确； 对于B选项，令，两边平方化简得，， ，此方程无解， 不存在实数，使得圆心到的距离为，故B错误； 对于C选项，直线与圆相交弦长， 则，解得，，两边平方解得， 当圆截所得的弦长为时，的值为，故C正确； 对于D选项，当圆上有个点到的距离为时，需满足圆心到直线的距离， 即，两边平方解得，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（ ） A. B. C. 离心率 D. 的面积为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 第II卷客观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对式子两边同时除以，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求得结果. 【详解】将两边同时除以，得， ∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，∴． 故答案为： 13. 当直线被圆所截得的弦长最短时，实数_____． 【答案】0 【解析】 【分析】确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解. 【详解】直线的方程变形为， 则由得， 所以直线过定点． 圆，因为， 所以点在圆内． 设直线与圆交于，两点， 则当时，取最小值， 由，得， 解得． 故答案为：0． 14. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故， 所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求得，即可求解； （2）利用等比数列及求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意得， 解得，所以． 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以． 从而， 所以． 16. 已知直线，． （1）求过直线与的交点，且与直线平行的直线l的方程； （2）求过点，，且圆心在直线上的圆C的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出交点坐标，由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理； （2）设出圆的一般方程，代入已知条件列方程组求解． 【小问1详解】 由解得，，即直线与的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率， 直线的方程为，即：． 【小问2详解】 设圆的方程为， 则由题意有，解得，， 所以，圆的方程为 17. 已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5. （1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标； （2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于两点，若点在抛物线上，求的面积. 【答案】（1）抛物线，焦点坐标； （2） 【解析】 【分析】(1)利用抛物线的几何性质即可得到方程和焦点坐标； (2)利用弦长公式和点到直线的距离公式，就可以求面积. 【小问1详解】 由抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5， 则抛物线，焦点坐标； 【小问2详解】 过焦点作斜率为2的直线方程为：， 与抛物线联立方程组，消得：， 设，则， 则， 又点到直线的距离为：， 所以的面积为. 18. 已知数列满足,数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）记数列的前项和为,求; （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出数列前的和，将其与该数列的前项和作差后化简，即可得到数列，再将代入，构造出等比数列，求出其通项后即可得到； （2）运用错位相减法解决“等差数列×等比数列”的求和模型； （3）令，再运用定义法研究数列的单调性，求出其最大值即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 将两式相减，得： 化简为. 当时，，也满足上式. 因此，. 因此有，整理得. 又，是以1为首项，为公比的等比数列. ，因此. 【小问2详解】 ， ， 将两式相减得： ， 故. 【小问3详解】 若对任意恒成立，即求的最大值. 令， . 因此，当且仅当时，，即； 当时，，即数列自起单调递减. 故数列的最大值为. 故. 19. 定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题： （1）写出协同圆圆的方程； （2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值； （3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：是椭圆上的两个动点且，设，则. 直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有. ∴，，且， 由，解得. 若直线的斜率都存在，设，则. 由，得，有；同理，得. 于是，. 由，可得. 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. ∴该定圆的方程为圆. 【解析】 【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程； （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程. 【详解】（1）由椭圆，知. 根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆. （2）设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得. ∴，则，而. ∴，即. 综上，恒有. （3）略 【点睛】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $