专题2.4 相交线与平行线（章节复习）（知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建相交线与平行线的知识体系，以8个核心知识点为框架，结合图形模型（如三线八角的F/Z/U型）和几何语言呈现脉络，突出平行线判定与性质的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于24个题型讲练的精准设计，如“平行线判定与性质证明”题型培养推理意识，分层训练（基础夯实+培优拔高）适配不同学生，中考真题演练对接考情，助力教师实施精准教学，提升学生几何直观与应用能力。

专题2.4 相交线与平行线（章节复习） （知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：垂线 2 知识点梳理03：平行线的定义及画法 3 知识点梳理04：三线八角 3 知识点梳理05：平行公理及推论 4 知识点梳理06：平行线判定 4 知识点梳理07：平行线性质 5 知识点梳理08：尺规作图（五种基本作图） 5 题型讲练 7 题型1：平面内两直线的位置关系 7 题型2：相交线 8 题型3：对顶角的定义 9 题型4：对顶角相等 10 题型5：求一个角的余角 11 题型6：求一个角的补角 11 题型7：与余角、补角有关的计算 12 题型8：同(等)角的余(补)角相等的应用 14 题型9：垂线的定义理解 15 题型10：画垂线 16 题型11：垂线段最短 17 题型12：点到直线的距离 18 题型13：同位角、内错角、同旁内角 19 题型14：用直尺、三角板画平行线 20 题型15：内错角相等两直线平行 22 题型16：同旁内角互补两直线平行 23 题型17：两直线平行同位角相等 25 题型18：两直线平行内错角相等 26 题型19：两直线平行同旁内角互补 27 题型20：根据平行线的性质探究角的关系 30 题型21：根据平行线的性质求角的度数 31 题型22：平行线的性质在生活中的应用 33 题型23：根据平行线判定与性质求角度 35 题型24：根据平行线判定与性质证明 37 中考真题 39 分层训练 44 基础夯实 44 培优拔高 46 知识点梳理01：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点梳理02：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点梳理03：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点梳理08：尺规作图（五种基本作图） 题型1：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【思路点拨】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【规范解答】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 【变式训练】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【规范解答】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 题型2：相交线 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．根据直线、射线相交的定义判断即可． 【规范解答】解：如图，直线与射线相交于点O， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【规范解答】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型3：对顶角的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义． 根据对顶角的定义可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线，从而可判定满足条件的选项． 【规范解答】解：A.该图中两个角不满足对顶角的定义，该选项不符合题意； B. 该图中两个角不满足对顶角的定义，该选项不符合题意； C. 该图中两个角不满足对顶角的定义，该选项不符合题意； D. 该图中两个角满足对顶角的定义，该选项符合题意； 故选：D． 题型4：对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·月考）如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了对顶角相等，角的运算．根据对顶角的性质得，根据即可求解． 【规范解答】解：∵直线与相交于点，， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 【变式训练】（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，直线相交于点O，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查对顶角，由对顶角的性质得到，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：A． 题型5：求一个角的余角 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）一个角的度数是，则它的余角的度数为 °． 【答案】47 【思路点拨】本题考查了余角的定义，解题关键是掌握如果两个角的和的，那么这两个角互余，其中一个角就等于减去另一个角，据此即可求解． 【规范解答】解： 故答案为：47 ． 【变式训练】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若一个角的余角是，那么这个角的度数是 ． 【答案】/55度 【思路点拨】此题主要考查了余角，根据余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角进行计算即可． 【规范解答】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是． 故答案为：． 题型6：求一个角的补角 【典例精讲】（24-25七年级下·福建三明·期中）已知，则的补角为 °． 【答案】/度 【思路点拨】此题考查了互为补角的概念，解题的关键是掌握互为补角的概念：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角．根据互为补角的概念进行计算． 【规范解答】解：∵， ∴的补角为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）若和的两边分别平行，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角的运算. 若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，据此求解即可. 【规范解答】∵若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， ∴或 ∴的值为或. 故选C. 题型7：与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为______． (2)若，求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了补角的性质，两条直线垂直，解决本题的关键是根据补角的性质得到． （1）根据补角的性质以及已知条件求出的度数，再结合的度数求出的度数，最后根据与的关系求出的度数，进而求出的度数． （2）根据得到，再结合与的关系以及与的关系列出方程，进而求出的值． 【规范解答】（1）解：∵点O在直线上，与互补，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：设， ∵点O在直线上，与互补， ，， ∴， ， . ， ， . ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）一个角的余角为，则这个角的补角为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．根据余角和补角的性质求解即可． 【规范解答】解： 故答案为：． 题型8：同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按下图方式叠放在一起．可知，理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【思路点拨】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，根据，则，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 故答案为：同角的余角相等． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 题型9：垂线的定义理解 【典例精讲】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图所示，，下面结论中，其中说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【思路点拨】本题考查了余角和补角，垂直的定义，是基础题，根据垂直的定义和同角的余角 相等分别计算，然后对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； 不一定等于，故A错误； ，故C正确； ，故D正确； 综上所述，说法正确的是BCD． 故选：BCD． 【变式训练】（23-24七年级下·河南濮阳·期中）如图，直线、相交于点O，，与的度数之比为，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，，根据对顶角相等可得，再根据垂直的定义得到，利用角的和差关系列出方程，求出的值即可求解． 【规范解答】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∵直线、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型10：画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【规范解答】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直 ，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西延安·期中）2025年1月7日，西藏定日县发生6．8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助，针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查．在地震物资保障中，需要在一条主干道上设立一个临时卸货点，使之距离物资仓库最近，请在图中的主干道上画出观测点的位置． 【答案】见详解 【思路点拨】该题考查了垂线段最短，过点A作直线的垂线即可． 【规范解答】解：如图，点即为所求． 题型11：垂线段最短 【典例精讲】（23-24七年级下·四川泸州·月考）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂线段最短，作于P，根据垂线段最短可知此线段就是最小值，根据三角形的面积公式求出即可． 【规范解答】解：作于P，如图： 由垂线段最短可知，此时最小， ，即， 解得，， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【思路点拨】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 【规范解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故答案为：垂线段最短． 题型12：点到直线的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【思路点拨】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【规范解答】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 题型13：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【规范解答】解：的内错角是 故选：D． 【变式训练】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．根据同旁内角的概念即可得到与是同旁内角． 【规范解答】解：与都在直线a、b之间，且它们都在直线c的同侧， 的同旁内角是． 故选：B． 题型14：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，理由为：垂线段最短 【思路点拨】本题考查了作图画平行线、画垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为F；根据垂线段最短即可判断与的大小． 【规范解答】（1）解：如图，，交于点E； （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期中）如图，P是内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作的垂线，垂足为点D； (2)过点P作的平行线，交于点E； (3)测量点P到的距离是______；（保留一位小数） (4)比较线段和的大小．说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； (4)；垂线段最短． 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图、平行线的性质、垂线、点到直线的距离等知识，熟练掌握垂线的作图方法、作一个角等于已知角的作图方法、平行线的性质、点到直线的距离等知识是解答本题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）延长，交于点，根据作一个角等于已知角的作图方法作，交于点，则所在直线即为所求． （3）点到的距离即为线段的长度，测量即可． （4）根据直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，所在直线即为所求． （3）解：点到的距离即为线段的长度， 测量得，， 故答案为：． （4）解：根据直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短， 可得． 题型15：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，已知，当 时，． 【答案】60 【思路点拨】本题考查了内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据 “内错角相等，两直线平行”进行求解即可． 【规范解答】解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A. 题型16：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【思路点拨】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·期末）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，邻补角的定义，掌握平信线的判定定理是解题关键．根据同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，逐一判断即可． 【规范解答】解：A、由，，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 题型17：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（2025·陕西·模拟预测）如图，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的性质定理和邻补角互补的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据已知条件及，可得，利用“两直线平行，同位角相等”，得出，即可求解． 【规范解答】解：，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质．根据平行线的性质和直角三角形的性质进行判断即可 【规范解答】解： ，故选项正确； 由题意得：，故选项正确； 与的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确， 故选C． 题型18：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了角平分线，平行线的性质，对顶角相等，邻补角互补，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由角平分线可得，．由题意知，．由可得，进而结论得证； （2）由题意可知，由，可求，由对顶角相等可得，由角平分线可得，再根据邻补角互补即可计算． 【规范解答】（1）证明：∵分别平分和， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    【答案】的度数是，理由见解析 【思路点拨】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质得出与的度数，再由角平分线的性质即可得出结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【规范解答】解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 题型19：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（23-24七年级下·山东聊城·月考）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点 在直线或上且不与点、、、重合． (1)若点在图（1）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (2)若点在图（2）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）过点作，利用两直线平行，内错角相等求解即可； （2）过点作，利用两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交于点，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，互余的性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）可证，从而可证，即可得证； （2）可求，可证，从而可求，即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ∴． （2）解：∵， ， ， 平分， ， ， ． 题型20：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，在内部有一点． (1)过点画； (2)过点画； (3)直接写出与的夹角与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)与的夹角与的数量关系：，见解析 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）利用平行线的定义画出图形； （3）利用平行线的性质证明可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）结论：与的夹角与的数量关系：． 理由：∵，， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 【答案】，见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，易得，有，利用，得到，从而得到结果． 【规范解答】解：，理由如下： ， ， ， 又， ， ． 题型21：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，如果，求． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角的定义，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到的度数，即可求出的度数，再由对顶角相等即可解答． 【规范解答】解：标记字母及角度如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得． 【规范解答】解：如图，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型22：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【思路点拨】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【规范解答】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【规范解答】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 题型23：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（23-24七年级下·湖北武汉·月考）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，求的度数． 解：过点作， ， （__________）， （__________）． （已知）， ． （已作）， （________）． （已知）， （_______）， 【答案】平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行同旁内角互补；两直线平行同位角相等；等量代换． 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质补全理由即可． 【规范解答】解：过点作， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行同旁内角互补）． （已知）， ． （已作）， （两直线平行同位角相等）． （已知）， （等量代换）， 故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行同旁内角互补；两直线平行同位角相等；等量代换． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，，若，求的度数． 【答案】的度数为 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的性质，可得，从而可得，则同旁内角互补，计算即可得的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, 答：的度数为． 题型24：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，一元一次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得，再结合得，由平行线的判定即可证明； （2）设，则，由平行线的性质求得，，；由平分得，利用建立方程即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴，，； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即． 【变式训练】（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：． 证明：（已知）， ______（两直线平行，内错角相等） （已知）， （等量代换）， （______）， ______（______）． ______（ ）， （等量代换）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；对顶角相等 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；熟练掌握平行线的判定与性质，对顶角相等是解题的关键．由平行线的性质可得，等量代换得到，从而证得，再根据平行线的性质得到，最后根据对顶角相等得到，从而即可得证． 【规范解答】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （对顶角相等）， （等量代换）． 1．（2024·山东滨州·中考真题）如图，，直线分别交直线，于点E，F，过点F作，交直线于点G．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行线的性质，垂直的定义，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据垂直的定义可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·黑龙江佳木斯·中考真题）如图，直线 ，直线与直线，相交于点，，点是射线上的一个动点（不包括端点），将沿折叠，使顶点落在点处．若，点恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出的度数（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了翻折变换，平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当点落在上时；当点落在上时；然后分别画出图形进行计算即可解答． 【规范解答】解：分两种情况： 当点落在上时，如图： 由折叠得：， ， ， ， ； 当点落在上时，如图： ， ， ， 由折叠得：； 综上所述：的度数为：或， 故选：C． 3．（2024·福建泉州·中考真题）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【规范解答】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且，则＝ ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差求角，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 由折叠的性质，可得，，设， 利用平行线的性质和，求出，再利用角的和差求． 【规范解答】解：将一张长方形的纸片沿折痕翻折，可知，， 设，则， ， ， ， 由，解得， ， ． 故答案为：． 5．（2024·上海·中考真题）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，推出； （2）过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出； （3）由角平分线定义得到，而，得到． 【规范解答】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【思路点拨】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【规范解答】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【规范解答】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图所示，，直线分别交，于点E，F，平分，，则 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 先根据平行线的性质得到，，再利用角平分线的定义得到，进而可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，是的平分线， ，，你能算出的度数吗？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由是的平分线，得到，再根据平行线的性质即可解答，掌握平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ． 培优拔高 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质．根据折叠前后对应角相等，以及平行线的性质定理，逐项判断即可． 【规范解答】解： ，， ，故选项A结论正确，不合题意； 由折叠知，， ，故选项B结论正确，不合题意； ，， ，故选项C结论正确，不合题意； ，， ， ，故选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【思路点拨】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 8．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【思路点拨】此题重点考查平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．由、、，可知，再分三种情况讨论，一是，则，求得，由，得；二是，则，求得；三是点E在上，则，由，证明，此时，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：、、， ， 如图1，， ， ， ， ， 当或时，都有； 如图2，， ，，， ， ； 如图3，点E在上，则， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 9．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质．分别过点，，作，，，表示出，求出，即可解答． 【规范解答】解：如图，分别过点，，作，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点， ，交于点，若，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，，再由角平分线得到，即可通过角的等量代换求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 相交线与平行线（章节复习） （知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：相交线 2 知识点梳理02：垂线 2 知识点梳理03：平行线的定义及画法 3 知识点梳理04：三线八角 3 知识点梳理05：平行公理及推论 4 知识点梳理06：平行线判定 4 知识点梳理07：平行线性质 5 知识点梳理08：尺规作图（五种基本作图） 5 题型讲练 6 题型1：平面内两直线的位置关系 6 题型2：相交线 7 题型3：对顶角的定义 7 题型4：对顶角相等 8 题型5：求一个角的余角 8 题型6：求一个角的补角 8 题型7：与余角、补角有关的计算 8 题型8：同(等)角的余(补)角相等的应用 9 题型9：垂线的定义理解 10 题型10：画垂线 10 题型11：垂线段最短 11 题型12：点到直线的距离 11 题型13：同位角、内错角、同旁内角 12 题型14：用直尺、三角板画平行线 12 题型15：内错角相等两直线平行 13 题型16：同旁内角互补两直线平行 14 题型17：两直线平行同位角相等 14 题型18：两直线平行内错角相等 15 题型19：两直线平行同旁内角互补 16 题型20：根据平行线的性质探究角的关系 17 题型21：根据平行线的性质求角的度数 17 题型22：平行线的性质在生活中的应用 18 题型23：根据平行线判定与性质求角度 19 题型24：根据平行线判定与性质证明 20 中考真题 21 分层训练 22 基础夯实 22 培优拔高 23 知识点梳理01：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 知识点梳理02：垂线 1.垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 2.点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点梳理03：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角（F型）：图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角（Z型）：图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 （3）同旁内角（U型）：图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理05：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理06：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点梳理07：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点梳理08：尺规作图（五种基本作图） 题型1：平面内两直线的位置关系 【典例精讲】（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 题型2：相交线 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 题型3：对顶角的定义 【典例精讲】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 题型4：对顶角相等 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·月考）如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，直线相交于点O，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型5：求一个角的余角 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）一个角的度数是，则它的余角的度数为 °． 【变式训练】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若一个角的余角是，那么这个角的度数是 ． 题型6：求一个角的补角 【典例精讲】（24-25七年级下·福建三明·期中）已知，则的补角为 °． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）若和的两边分别平行，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．不确定 题型7：与余角、补角有关的计算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为______． (2)若，求n的值． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·月考）一个角的余角为，则这个角的补角为 ． 题型8：同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按下图方式叠放在一起．可知，理由是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 题型9：垂线的定义理解 【典例精讲】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图所示，，下面结论中，其中说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·河南濮阳·期中）如图，直线、相交于点O，，与的度数之比为，求的度数． 题型10：画垂线 【典例精讲】（24-25七年级下·河北张家口·期中）已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西延安·期中）2025年1月7日，西藏定日县发生6．8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助，针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查．在地震物资保障中，需要在一条主干道上设立一个临时卸货点，使之距离物资仓库最近，请在图中的主干道上画出观测点的位置． 题型11：垂线段最短 【典例精讲】（23-24七年级下·四川泸州·月考）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是 ． 题型12：点到直线的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 题型13：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 题型14：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·北京·期中）如图，P是内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作的垂线，垂足为点D； (2)过点P作的平行线，交于点E； (3)测量点P到的距离是______；（保留一位小数） (4)比较线段和的大小．说明理由． 题型15：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，已知，当 时，． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 题型16：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·期末）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型17：两直线平行同位角相等 【典例精讲】（2025·陕西·模拟预测）如图，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型18：两直线平行内错角相等 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    题型19：两直线平行同旁内角互补 【典例精讲】（23-24七年级下·山东聊城·月考）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点 在直线或上且不与点、、、重合． (1)若点在图（1）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (2)若点在图（2）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由． 【变式训练】（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交于点，且，求的度数． 题型20：根据平行线的性质探究角的关系 【典例精讲】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，在内部有一点． (1)过点画； (2)过点画； (3)直接写出与的夹角与的数量关系． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 题型21：根据平行线的性质求角的度数 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，如果，求． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型22：平行线的性质在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【变式训练】（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型23：根据平行线判定与性质求角度 【典例精讲】（23-24七年级下·湖北武汉·月考）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，求的度数． 解：过点作， ， （__________）， （__________）． （已知）， ． （已作）， （________）． （已知）， （_______）， 【变式训练】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，，若，求的度数． 题型24：根据平行线判定与性质证明 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：． 证明：（已知）， ______（两直线平行，内错角相等） （已知）， （等量代换）， （______）， ______（______）． ______（ ）， （等量代换）． 1．（2024·山东滨州·中考真题）如图，，直线分别交直线，于点E，F，过点F作，交直线于点G．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江佳木斯·中考真题）如图，直线 ，直线与直线，相交于点，，点是射线上的一个动点（不包括端点），将沿折叠，使顶点落在点处．若，点恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出的度数（   ）． A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·中考真题）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且，则＝ ． 5．（2024·上海·中考真题）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 2．（2024七年级下·全国·专题练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 4．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图所示，，直线分别交，于点E，F，平分，，则 5．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，是的平分线， ，，你能算出的度数吗？ 培优拔高 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 8．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点， ，交于点，若，求的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $