专题2.2 探索直线平行的条件（知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“探索直线平行的条件”核心知识点，系统梳理同位角、内错角、同旁内角的概念，平行线的定义、画法、平行公理及推论，以及直线平行的判定方法，构建从概念认知到公理应用再到判定推理的学习支架，衔接相交线知识并为后续几何证明奠基。 资料以8个题型讲练（含典例与变式）为主线，结合中考真题演练和分层训练（基础夯实、培优拔高），通过具体图形辨析和推理应用，培养学生几何直观和推理意识。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺，提升运用数学语言表达几何关系的能力。

专题2.2 探索直线平行的条件 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角的概念 1 知识点梳理02：平行线的定义及画法 2 知识点梳理03：平行公理及推论 3 知识点梳理04：直线平行的判定 3 题型讲练 4 题型1：同位角、内错角、同旁内角 4 题型2：同位角相等两直线平行 5 题型3：用直尺、三角板画平行线 6 题型4：平行公理的应用 7 题型5：平行公理推论的应用 8 题型6：内错角相等两直线平行 8 题型7：同旁内角互补两直线平行 9 题型8：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10 中考真题 10 分层训练 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 图1 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【易错点拨】 巧妙识别三线八角的两种方法： （1）巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. （2）借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 知识点梳理02：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点梳理03：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【易错点拨】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点梳理04：直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 题型1：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和和各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ 【变式训练2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 题型2：同位角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 题型3：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【变式训练1】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段________的长度表示点到直线的距离； ②________；（填“”“”或“=”） (2)过点画的平行线，点在格点上． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川南充·月考）请按下列步骤画图：（三角板、直尺作图，不写画法、保留作图痕迹）如图，已知平面上的三个点． (1)连接； (2)画射线； (3)画直线； (4)过点作的平行线． 题型4：平行公理的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式训练1】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）下列各个命题中，假命题有（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的； ③a，b，c是直线，若，，则； ④一个数的立方根等于它本身，这个数是1． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型5：平行公理推论的应用 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．互补的两个角是邻补角 D．带根号的数一定是无理数 题型6：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 题型7：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列说法中能够判断的是（   ） A． B． C． D． B． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 题型8：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（24-25七年级下·北京·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【变式训练2】（24-25七年级下·北京·期中）下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③若与互余，与互余，则与相等．其中的真命题是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列说法正确的说法有（    ）个 ①同位角相等②由两条射线组成的图形叫做角③同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离⑤相等的角是对顶角⑥两条相交直线所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·河南焦作·中考真题）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    4．（2024·四川达州·中考真题）如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是 ． 5．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）下列图形中，和不是同位角的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图所示的五个角中，的同位角是 ． 6．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有 组同旁内角． 7．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，直线截，，其中内错角有 对． 8．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与，与各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？ 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，两条直线相交，请再画一条直线c，构成八个角，并分别找出与是对顶角、同位角、内错角和同旁内角的角． 培优拔高 11．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·浙江·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 15．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，直线，直线所截，与是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ． 17．（2023七年级下·全国·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成：画图操作： (1)过点A作直线的平行线； (2)过点B作直线，交直线于点E； (3)作射线，交线段于点F，使得平分的面积； (4)以直线为对称轴作的轴对称图形． 19．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 20．（24-25七年级下·河南·期末）如图，点是内一点． (1)按下列要求画出图形： ①过点画的垂线，垂足为点； ②过点画交于点； (2)点到直线的距离是线段______的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 探索直线平行的条件 （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角的概念 1 知识点梳理02：平行线的定义及画法 2 知识点梳理03：平行公理及推论 3 知识点梳理04：直线平行的判定 3 题型讲练 4 题型1：同位角、内错角、同旁内角 4 题型2：同位角相等两直线平行 5 题型3：用直尺、三角板画平行线 7 题型4：平行公理的应用 11 题型5：平行公理推论的应用 12 题型6：内错角相等两直线平行 14 题型7：同旁内角互补两直线平行 16 题型8：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 18 中考真题 19 分层训练 23 基础夯实 23 培优拔高 28 知识点梳理01：同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 图1 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【易错点拨】 巧妙识别三线八角的两种方法： （1）巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. （2）借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 知识点梳理02：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【易错点拨】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点梳理03：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【易错点拨】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点梳理04：直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错点拨】 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 题型1：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【思路点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【规范解答】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和和各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ 【答案】和是两条直线被直线所截形成，它们是内错角；和是两条直线被直线所截形成，它们是内错角 【思路点拨】本题考查了内错角，根据两直线被第三条直线所截，两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角即可． 【规范解答】解：和是两条直线被直线所截形成，它们是内错角； 和是两条线直线被直线所截形成，它们是内错角． 【变式训练2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【规范解答】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 题型2：同位角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【规范解答】解：当时，， ∵，， ∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是． 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图的应用与设计，平行线的判定及垂线的定义，掌握网格线的特征、平行线的判定及垂线的定义是解题的关键． （1）根据网格线的特征及平行线的判定作图； （2）根据网格线的特征及垂线的定义作图． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； - （2）解：如图所示，即为所求； - 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题与角平分线有关的计算，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键：根据角平分线的定义，得到，等角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得证． 【规范解答】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型3：用直尺、三角板画平行线 【典例精讲】（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据网格图画出图形即可； （2）根据网格图画出图形即可； （3）根据网格图画出图形即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 【变式训练1】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段________的长度表示点到直线的距离； ②________；（填“”“”或“=”） (2)过点画的平行线，点在格点上． 【答案】(1)作图见解析；①；② (2)作图见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，垂线段最短，画平行线、垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可作出垂线，①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （2）取格点E，作直线即可． 【规范解答】（1）解：直线即为所求；直线即为所求； ①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到， 故答案为：①；②； （2）解：直线即为所求． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川南充·月考）请按下列步骤画图：（三角板、直尺作图，不写画法、保留作图痕迹）如图，已知平面上的三个点． (1)连接； (2)画射线； (3)画直线； (4)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路点拨】本题考查了画线段、射线、直线、平行线． （1）用三角板画图，连接即可； （2）用三角板画图，以点为端点，作射线即可； （3）用三角板画图，过点和点，作直线即可； （4）用直尺和三角板画图，过点C作的平行线即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，直线即为所求； （4）解：如图所示，直线即为所求． 题型4：平行公理的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【思路点拨】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【规范解答】解： ， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 【变式训练1】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）下列各个命题中，假命题有（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的； ③a，b，c是直线，若，，则； ④一个数的立方根等于它本身，这个数是1． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了假命题的判断问题，掌握平行线的性质、坐标轴的性质、垂直同一条直线的两条直线平行，以及立方根是解题的关键． 【规范解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，本说法是假命题； ②坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，本说法是真命题； ③a，b，c是直线，若，，则，本说法是假命题； ④如果一个数的立方根等于它本身，这个数是1或或0，本说法是假命题． 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【思路点拨】本题考查对顶角，平行公理及其推论，垂线段最短，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、对顶角相等，正确，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，不符合题意； C、垂线段最短，正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，符合题意； 故选：D． 题型5：平行公理推论的应用 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【思路点拨】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】（1）根据题意画出，垂足为点，根据点到直线的距离等于垂线段的长度即可得出结论，用带有刻度的直尺度量的长度即可； （2）根据题意，画出直线，根据平行线的性质以及垂线的定义即可得出的度数． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， 点到直线的距离是线段的长，约等于 ， 故答案为：，． （2）解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．互补的两个角是邻补角 D．带根号的数一定是无理数 【答案】B 【思路点拨】根据平行线的性质和判定，邻补角的定义，无理数的定义一一判断即可． 【规范解答】解：A、内错角相等是假命题，应该是是两直线平行，内错角相等，本选项不符合题意． B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，本选项符合题意． C、互补的两个角是邻补角，是假命题，两个角不一定有公共顶点，公共边，本选项不符合题意． D、带根号的数一定是无理数，是假命题，比如=2是有理数，本选项不符合题意． 故选：B． 题型6：内错角相等两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【规范解答】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图所示，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可． 【规范解答】解：A．根据，只能判断； B．根据，不能判断； C．根据，不能判断； D．根据，能判断； 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，故①符合题意； 不能推出，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 综上所述，能判定的条件是①③④， 故答案为：①③④． 题型7：同旁内角互补两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得要使直线，则，据此求解即可． 【规范解答】解：∵要使直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列说法中能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：A、，不能判定，该选项不合题意； B、，不能判定，该选项不合题意； C、∵，， ∴ ∴，该选项符合题意； D、∵， ∴不能判定，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理即可解答． 【规范解答】解：①， （同位角相等，两直线平行）； ②， （内错角相等，两直线平行）； ③， （同旁内角互补，两直线平行）； 综上所述，添加条件或或，使得． 故答案为：（答案不唯一）． 题型8：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】根据平行公理、平行线的判定定理、对顶角的概念判断即可． 【规范解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本小题说法是假命题； ③相等的角不一定是对顶角，故本小题说法是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，本小题说法是真命题； 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·北京·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c 【答案】C 【思路点拨】根据平行线的判定定理，领补角的定义，垂直的定义分析选项即可． 【规范解答】解：由题意可知： A. 同旁内角互补，两直线平行；命题正确，是真命题，故不符合题意； B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；命题正确，是真命题，故不符合题意； C. 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；命题错误，例如这两个角都是，故是假命题，符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， a c ，那么b c；命题正确，是真命题，故不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京·期中）下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③若与互余，与互余，则与相等．其中的真命题是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】根据平行线的性质和判定，互余的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：①∵，， ∴ 故①正确； ②∵，， ∴ 故②错误； ③∵，， ∴， 故③正确． 故选：C． 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【思路点拨】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念． 【规范解答】解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列说法正确的说法有（    ）个 ①同位角相等②由两条射线组成的图形叫做角③同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离⑤相等的角是对顶角⑥两条相交直线所得的四个角相等，则这两条直线一定互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质；角的定义；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，根据平行线的性质；角的定义；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：①两直线平行，同位角相等，不是所有的同位角都相等，故①说法错误； ②由共端点的两条射线组成的图形叫做角，故②说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这一点到直线的距离，故④说法错误； ⑤对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故⑤说法错误； ⑥两条相交直线所得的四个角相等，则四个角都等于，故这两条直线一定互相垂直，故⑥说法正确； 综上正确的是③⑥，共有2个． 故选：B. 3．（2024·河南焦作·中考真题）如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .    【答案】① 【思路点拨】根据同位角、内错角、同旁内角的定义意义判断即可，同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角；内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角；如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角． 【规范解答】解：与构成同旁内角的是，有2个，故①正确； 与构成同位角的角的是，有1个，故②错误； 与构成同旁内角的角的是，有5个，故③错误； 故答案为：①． 4．（2024·四川达州·中考真题）如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是 ． 【答案】1 【思路点拨】作直径AC，连接CP，得到△APC∽△PBA，得到，得到，所以，得到当时，有最大值是1． 【规范解答】解：如图，作直径AC，连接CP， ∵AC为直径， ∴∠CPA=90°， ∵AB为切线， ∴CA⊥AB， 又∵PB⊥l， ∴AC∥PB， ∴△APC∽△PBA， ∴， ∵PA=x，PB=y，r=2， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是1， 故答案为：1． 5．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【思路点拨】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【思路点拨】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【规范解答】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【规范解答】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 3．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）下列图形中，和不是同位角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【规范解答】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【规范解答】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图所示的五个角中，的同位角是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键．根据同位角的定义判断即可． 【规范解答】解：由图可得的同位角是． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有 组同旁内角． 【答案】6 【思路点拨】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【规范解答】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 7．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，直线截，，其中内错角有 对． 【答案】 【思路点拨】本题考查内错角，如果两条直线被第三条直线所截，那么位于截线的两侧，在两条被截直线之间的两个角是内错角．两条直线被第三条直线所截，可形成两对内错角，据此解决即可． 【规范解答】解：如图，设直线分别交，于点，， 形成的内错角有①与， ②与， ③与， ④与，共对． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【规范解答】解：如图所示，直线b即为所求． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与，与各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？ 【答案】与是直线AB，CE被直线AD所截而形成的内错角；与是直线AD，BC被直线EC所截而形成的同旁内角． 【思路点拨】根据同位角、内错角、同旁内角的概念，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系． 【规范解答】解：与是直线，被直线所截而形成的内错角；与是直线，被直线所截而形成的同旁内角． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，两条直线相交，请再画一条直线c，构成八个角，并分别找出与是对顶角、同位角、内错角和同旁内角的角． 【答案】图见解析；与是对顶角；与是同位角；与是内错角；与是同旁内角 【思路点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角定义，熟练掌握有关定义是解决问题的关键．先画直线c与b相交，构成八个角，再按同位角、内错角、同旁内角以及对顶角定义写出结论即可． 【规范解答】解：画直线c与b相交，构成八个角，如图所示： 则与是对顶角；与是同位角；与是内错角；与是同旁内角． 培优拔高 11．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【规范解答】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． 12．（24-25七年级下·浙江·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【规范解答】解：A、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，故本选项符合题意； D、与不是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选C． 13．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【规范解答】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【思路点拨】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【规范解答】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 15．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，直线，直线所截，与是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）． 【答案】同旁内角 【思路点拨】本题考查了同位角，内错角，同旁内角定义，根据同位角，内错角，同旁内角定义结合图形进行判断，即可解题． 【规范解答】解：根据与都在直线，之间，并在直线左侧， 所以与是同旁内角， 故答案为：同旁内角． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则的同位角的度数为 ，的内错角的度数为 ，的同旁内角的度数为 ． 【答案】 /80度 /80度 /100度 【思路点拨】本题考查了相交线及其所成的角（同位角、内错角、同旁内角），熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 由同位角、内错角、同旁内角的定义即可直接得出答案． 【规范解答】解：， 的同位角的度数为， 的内错角的度数为， 的同旁内角的度数为， 故答案为：，，． 17．（2023七年级下·全国·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为( )， ( )， 所以( )    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【思路点拨】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 【规范解答】如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成：画图操作： (1)过点A作直线的平行线； (2)过点B作直线，交直线于点E； (3)作射线，交线段于点F，使得平分的面积； (4)以直线为对称轴作的轴对称图形． 【答案】(1)见解答； (2)见解答； (3)见解答； (4)见解答． 【思路点拨】（1）利用网格结合平行线的判定与性质画图即可； （2）利用网格直接画图即可； （3）取的中点F，作射线即可； （4）根据轴对称图形的性质作图即可． 【规范解答】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，取的中点F，作射线， 可得， 即平分的面积， 则射线即为所求； （4）如图，即为所求． 19．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点画直线，与的另一边相交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为点； (3)过点画直线，交于点D； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． (5)线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)＜，垂线段最短 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可； （4）因为直线，所以，再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题； （5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可． 【规范解答】（1）解：直线如图所示： （2）解：的垂线段如图所示： （3）解：直线如图所示： （4）点到直线的距离是线段的长度 （5）解：点A到直线的距离是线段的长度，因为垂线段最短，所以， 故线段和线段长度的大小关系为：，理由：垂线段最短． 20．（24-25七年级下·河南·期末）如图，点是内一点． (1)按下列要求画出图形： ①过点画的垂线，垂足为点； ②过点画交于点； (2)点到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【思路点拨】本题考查画垂线、画平行线，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据垂线的定义画图即可． ②根据平行线的判定画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可得答案． 【规范解答】（1）①如图，直线即为所求． ②如图，直线即为所求． （2）由题意得，点到直线的距离是线段的长． 故答案为： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $