专题08：集合与常用逻辑用语讲义【15大考点+15大题型】-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以“集合与常用逻辑用语”为核心，通过表格系统梳理元素特性、集合关系、逻辑用语等知识点，结合Venn图直观呈现子集、运算等概念联系，构建“概念-关系-运算-应用”的递进知识框架，突出元素互异性、充要条件等重难点。 讲义亮点在于“题型分层+素养导向”的练习设计，如通过集合新定义题（例8）培养创新意识，充要条件判断（例9）发展逻辑推理能力，每个题型配例题及变式，基础生可掌握通法，优生能深化思维。专题精练涵盖选择、填空、解答题，助力教师实施精准教学，学生自主复习时能明确薄弱点。

专题08：集合与常用逻辑用语 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：集合的的特性 1．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点五.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 知识点六：集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 知识点知识点六：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点七：充要条件：一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点八：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点九：含量词的命题的否定 p 綈p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【题型归纳】 题型一：元素与集合的关系、 【例1】．（25-26高一上·四川成都·期中）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合的包含关系及符号可得到结果. 【详解】集合，所以， 对于A，，是元素与集合之间的关系，符号错误，故A错误； 对于B，，集合的包含关系，符号错误，故B错误； 对于C，，集合的包含关系，故C正确； 对于D，是一个集合，所以，符号错误，故D错误； 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·广东汕头·月考）若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 题型二：元素特性问题 【例2】．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 【变式2】．（23-24高一上·广东惠州·月考）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 题型三：集合的表示方法 【例3】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确集合，根据交集的概念求． 【详解】时，不等式的解集为，即， 令，得，解得，故， 故． 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 【变式2】．（21-22高一上·陕西咸阳·月考）集合用列举法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中元素满足的条件求出的值，再利用列举法表示可得正确选项. 【详解】因为，所以，可得， 因为，所以，集合， 故选：B. 题型四：集合间的基本关系 【例4】．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【详解】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A ． 【变式1】．（2025高一上·江苏·专题练习）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 【变式2】．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据得到的取值范围，再进行判断. 【详解】， 若，则，解得， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 题型五：集合的基本运算 【例5】．（25-26高一上·黑龙江鸡西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：C 【变式1】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知为实数集，设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的补集运算和并集运算，即可求解. 【详解】因为或，所以， 又因为，所以， 故选：A. 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合，利用交集和并集的定义依次判断选项即可. 【详解】因为集合，集合， 所以，. 故选：D 题型六：根据运算求参数问题 【例6】．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合中的整数元素，再分析集合中整数元素的个数，结合共2个整数，分为中的两个整数是和两种情况讨论求解． 【详解】，解得， 集合中的整数元素有：共4个， ， 集合至少包含3个整数， 又集合中恰好只有两个整数， 或， 若，需满足，解得， 若，需满足，， 的取值范围为，故A正确． 故选：A． 【变式1】．（2024·四川凉山·二模）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得. 【详解】集合，而， 由，得，则， 所以的取值范围为. 故选：B 【变式2】．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 题型七：Venn图与集合的应用 【例7】．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 【变式2】．（25-26高一上·湖南·月考）某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是．由图可知，解得． 故选：C.    题型八：集合新定义 【例8】．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 【变式1】．（25-26高一上·安徽合肥·月考）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【分析】先化简集合，根据差集得定义可判断AB选项；根据，，结合题意，转化为集合之间的关系可判断CD选项. 【详解】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·湖南·月考）用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（    ） A． B．0 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的新定义，由判断或3，结合集合的元素组成分类讨论求解并验证，求得实数a的所有可能的值即可. 【详解】根据题意，已知，则， 又由，可知或3，即方程有1个根或3个根； 由，可得或， 若，可得或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和，此时有两类情况： ①有两等根且根不为0和，由，解得， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. ②当是的根时，解得； 若，则，，符合题意； 若，则， ，符合题意. 综上，可得a可取的值为0，，． 故选：D. 题型九：充要条件和必要条件的判断 【例9】．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】已知，则，又因为，所以， 因此由可以推出，充分性成立. 取，则，满足， 但此时，并不满足，所以不能必然推出，必然性不成立. 因此是的充分不必要条件. 故选： 【变式1】．（25-26高一上·江苏·月考）设，已知命题，命题．则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得， 由，得，即， 由于集合是集合的真子集， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·浙江温州·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意， 若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即； 但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即. 因此，是的充分不必要条件. 故选A. 题型十：；逻辑用语求参数问题 【例10】．（25-26高一上·广东深圳·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解，再利用充分不必要条件的要求列不等式求解. 【详解】，解得或， 即是或的充分不必要条件，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·甘肃白银·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解不等式，得或，依题意可得集合是集合或的真子集，即可求出参数的取值范围. 【详解】根据题意，解不等式，即， 解得或，即不等式的解集为或. 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合或的真子集，所以. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求出集合、，再根据题意得，可得答案. 【详解】集合或， 集合， 若是的必要不充分条件，则， 所以，解得. 故选：A. 题型十一：充要条件问题 【例11】．（25-26高一上·江西赣州·月考）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·山西·月考）已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出不等式的解，再利用充要条件的定义直接判断. 【详解】由，得，解得，则“”是“”成立的充要条件. 故选：C 【变式2】．（2025·湖南长沙·模拟预测）设为常数，命题，则为真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的特点及指数函数的性质求解即可. 【详解】由命题为真， 则当时，能成立，即能成立， 所以． 故选：D. 题型十二：含量词的命题的否定问题 【例12】．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，对存在量词命题的否定，需要将存在量词改为全称量词，同时否定结论. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题的否定是：，. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·甘肃白银·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求命题的否定是“”. 故选：C 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有一个全称量词的否定将全称量词改为存在量词，再把结论否定即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 题型十三：根据全称命题的真假求参数 【例14】．（25-26高一上·云南昆明·月考）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，恒成立，从而可得. 【详解】命题“，”是假命题， 则命题“，”是真命题， 当时，恒成立， 即时，都有使得成立， 所以时，都有使得不成立. 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式1】．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 【变式2】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题的真假以及三角函数值域即可求得结果. 【详解】若命题为真命题，可得即可，即； 若命题为真命题，可得，即可得， 因此若均为真命题，可得, 即实数的取值范围为. 故选：B 题型十四：根据存在量词命题的真假求参数问题 【例14】．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式恒成立，借助判别式即可求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】．（25-26高三上·海南海口·月考）若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，为真命题，代入，初步得出的范围，再验证即可. 【详解】由题意，，为真命题， 则时，成立，得； 当时， 的对称轴，则在单调递增，成立； 综上实数的取值范围是， 故选：D. 题型十五：集合和常用逻辑用语综合问题 【例15】．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）把代入集合得，求出，计算，即可. （2）由是的充分条件得出，然后建立不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【详解】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 若命题：“”为真命题，则，得，故实数的取值范围为： （2），由，得，，解得且， 得，因为， 当时，，不满足， 当时，，不满足， 当时，，要使，则， 则若命题：“”为真命题时，实数的取值范围为：， 当命题与命题都是真命题时，则，得， 则命题和命题至少有一个为假命题时，得或， 故实数的取值范围为： 【专题精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， . 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）命题，则的否定（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全称命题的否定形式可得答案. 【详解】命题，则的否定是. 故选：A. 3．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. 4．（25-26高一上·云南·期中）已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的半径与周长、面积的关系，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】设的内切圆半径为，周长为. 因为的面积， 所以当与的面积相等时，与的周长相等； 同理，当与的周长相等时，与的面积相等. 则“与的面积相等”是“与的周长相等”的充要条件, 故选：A 5．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 6．（25-26高一上·云南曲靖·月考）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】确定，通过逐个列举求解即可. 【详解】解：因为集合， 则， 单元素子集需满足，故只有， 两个元素子集需满足，即，有， 三个元素的子集需满足，即，有， 四个元素的子集需满足，即，有， 所以集合的“保均值真子集”有：，共6个. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由交集、并集的概念判断A、C；由补集和子集的概念判断B、D. 【详解】，， 则，，则A、C正确， 又，， 则，则B、D错误 故选：AC. 8．（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 9．（25-26高一上·全国·期末）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 10．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 11．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”成立的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】AC 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，全称命题与存在性命题的关系，以及一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，则一定成立，所以充分性成立； 反之：例如，此时满足，但不成立，即必要性不成立， 所以是成立的充分不必要条件，所以A正确； 对于B，由命题“”的否定是“”，所以B不正确； 对于C，若方程有一正一负根，则，解得， 所以是关于的方程有一正一负根的充要条件，所以C正确； 对于D，令，此时满足，但，所以充分不成立； 反之：令，此时满足，但，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则 D． 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】是有序实数对，且满足，故． 故答案为： 13．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合，若，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 15．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 【答案】1 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 四、解答题 16．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知全集为R，集合. (1)求； (2)求； (3)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3)或 【分析】（1）解不等式得集合，由集合并集的定义求得； （2）由集合交集的定义求得，再由集合补集的定义求得； （3）由集合的补集求得，由集合的关系建立不等式，然后求得的取值范围. 【详解】（1）. 所以. （2）因为， 所以， 所以或. （3）因为，所以或. 因为，且， 所以或， 解得：或. 即的取值范围或 17．（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 18．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不符合题意，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：. 19．（25-26高一上·全国）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据全称命题的性质，结合存在命题的性质进行求解即可； （2）根据题意，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 20．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)、 (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合定义计算即可得； （2）由定义可知，集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍，计算即可得； （3）解出不等式后，设出集合，结合定义可得，，再利用交集与并集定义可得、，解出可得，再证明可取即可得. 【详解】（1）由、、，故； 由，，故； （2）因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小元素的两倍， 所以中的最小元素为， 同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是， 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是“完美自相加集合”； （3）由，解得， 则， 设，其中， 且， 则有， 即可得， 且有，即可得， 又，故， 又集合中最大元素为，最小元素为，则， 则有，即有，解得， 即； 下证可取： 当时，， 此时，， 故满足题意，故可取； 综上可得，的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08：集合与常用逻辑用语 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：集合的的特性 1．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点五.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 知识点六：集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 知识点知识点六：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点七：充要条件：一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点八：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点九：含量词的命题的否定 p 綈p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【题型归纳】 题型一：元素与集合的关系、 【例1】．（25-26高一上·四川成都·期中）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·广东汕头·月考）若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 题型二：元素特性问题 【例2】．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2】．（23-24高一上·广东惠州·月考）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 题型三：集合的表示方法 【例3】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（21-22高一上·陕西咸阳·月考）集合用列举法可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型四：集合间的基本关系 【例4】．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高一上·江苏·专题练习）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：集合的基本运算 【例5】．（25-26高一上·黑龙江鸡西·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知为实数集，设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型六：根据运算求参数问题 【例6】．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024·四川凉山·二模）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 题型七：Venn图与集合的应用 【例7】．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【变式1】．（25-26高一上·宁夏吴忠·月考）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【变式2】．（25-26高一上·湖南·月考）某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共52名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八：集合新定义 【例8】．（25-26高一上·上海·期中）已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．（25-26高一上·安徽合肥·月考）对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【变式2】．（25-26高一上·湖南·月考）用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（    ） A． B．0 C．3 D．2 题型九：充要条件和必要条件的判断 【例9】．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（25-26高一上·江苏·月考）设，已知命题，命题．则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（25-26高一上·浙江温州·期中）“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十：；逻辑用语求参数问题 【例10】．（25-26高一上·广东深圳·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·甘肃白银·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一：充要条件问题 【例11】．（25-26高一上·江西赣州·月考）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西·月考）已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（2025·湖南长沙·模拟预测）设为常数，命题，则为真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型十二：含量词的命题的否定问题 【例12】．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．（25-26高一上·甘肃白银·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 题型十三：根据全称命题的真假求参数 【例14】．（25-26高一上·云南昆明·月考）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十四：根据存在量词命题的真假求参数问题 【例14】．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·海南海口·月考）若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十五：集合和常用逻辑用语综合问题 【例15】．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】．（25-26高一上·重庆铜梁·月考）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【变式2】．（25-26高一上·上海·月考）已知集合，集合，命题：“”，命题：“”． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为假命题，求实数的取值范围． 【专题精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）命题，则的否定（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南·期中）已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高一上·云南曲靖·月考）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 9．（25-26高一上·全国·期末）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 11．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”成立的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 D．“”是“”的必要条件 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则 D． 13．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·安徽合肥·月考）已知集合，若，则实数m的取值范围是 ． 15．（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则 ． 四、解答题 16．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知全集为R，集合. (1)求； (2)求； (3)若，且，求的取值范围. 17．（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 18．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 19．（25-26高一上·全国）已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知集合A为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合；（不必写过程） (2)对于，我们定义为“集合A的1次自相加集合”.在此基础上，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的n次自相加集合”若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”.已知，判断集合B是否是完美自相加集合，并说明理由； (3)若集合，且，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $