精品解析：吉林省普通高中友好学校联合体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角之间的关系计算即可. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，即. 解得. 故选：A. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 3. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 5. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：D 6. 设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 7. 已知数列为等比数列，，且是与的等差中项，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是与的等差中项，得，进而解得，代入等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意， 所以，故选C． 【点睛】本题主要考查了等差中项的概念及等比数列的运算，属于简单题. 8. 设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线：恒过定点 B. 圆与圆公共弦所在直线的方程是 C. “”是“直线与直线平行”的充要条件 D. 圆：关于直线对称的圆为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据分离参数法，解方程组得到定点坐标；选项B：判断两圆相交，作差即可得到公共弦所在直线方程； 选项C：根据两直线平行的充要条件求解判断即可；选项D：求出圆心关于直线的对称点，得到对称圆圆心，结合半径不变求出圆的方程. 【详解】选项A：直线：， 即，令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 选项B：圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 又，所以，即两圆相交， 所以公共弦所在直线方程为， 整理得：，故B正确； 选项C：若两直线平行，则有，解得或， 经检验均满足要求，故充分性成立而必要性不成立， 所以“”是“两直线平行”的充分不必要条件，故C错误； 选项D：圆C的标准方程为， 设圆心关于直线对称点为， 则中点在直线上，，即， 又，即，联立解得，， 所以圆关于的对称圆为， 即圆的方程为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，根据椭圆性质求得椭圆方程，计算离心率即可；对于，利用以为直径的圆与椭圆的位置关系进行判断；对于，利用点差法求直线的斜率，继而求得方程；对于，根据焦点三角形的性质直接求周长. 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且， 即，所以， 则椭圆的方程为， 则其离心率 故错误； 对于,由椭圆方程可知， 以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得， 则正确； 对于，设， 因为的中点为， 则， 又在椭圆上， 则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点， 则直线为， 即，故错误； 对于直线过点， 则的周长为， 故正确， 故选： 11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出各点坐标，转化几何问题为向量问题，再通过向量运算解决几何问题，验证选项的正确性. 【详解】 过作，垂足为，则，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则： ，，，，，，即： ，，，，，所以： 选项A：，故，故A正确； 选项B：， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 选项C：设平面的法向量为，则： 令，得：， 设直线与平面所成角，则： ， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 选项D：设点到的距离为， 因为， ，， 则：， 即点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标关系计算可得结果. 【详解】由，可得，即，解得. 故答案为：. 13. 已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为______. 【答案】3 【解析】 【分析】首先得到抛物线的准线方程，再设点的横坐标为，即可得到方程，解得即可. 【详解】抛物线的准线为，设点的横坐标为， 由抛物线上的点到准线的距离为4，可得，解得. 故答案为： 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于，两点且，求的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）方法一：求出线段AB的中垂线方程，与联立，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；方法二：设圆心，根据半径相等得到方程，求出，进而求出半径，得到圆的方程； （2）根据弦长得到方程，求出的值. 【小问1详解】 方法一：由题可知，AB的中点坐标为， 所以线段AB的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以，由，解得，即. 又点在圆上，所以， 所以圆的方程为. 方法二：设圆心，则 解得，半径， 所以圆的方程为 【小问2详解】 由得圆心到直线的距离. 则，即 解得或 16. 开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. （1）求抛物线的标准方程及准线方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】（1）标准方程为.准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据求面积即可. 【小问1详解】 由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 17. 如图所示，直三棱柱，，，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面BCE夹角的余弦值和点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析； （2）平面与平面BCE夹角的余弦值为，点到平面BCE的距离为 【解析】 【分析】（1）解法一：得到平面，得到，结合，得到线面垂直； 解法二：建立空间直角坐标系，由数量积为0得到，，从而得到线面垂直； （2）求出平面的法向量，利用面面角的向量夹角公式和点到平面距离公式进行求解. 【小问1详解】 解法一：因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，， 又，，且，AB、平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，且、平面， 所以平面 解法二：设，由及勾股定理得， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得，， ，，，， 则，， 所以，因此. 又，所以， 又，且、平面， 所以平面. 【小问2详解】 设平面的法向量，而，， 所以可得，解得，令，得，故， 设平面的法向量，而，， 所以可得，解得，令，得，， 设平面与平面BCE的夹角为， 则二面角余弦值. 因为平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 18. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. （3）设求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本性质运算求解通项公式； （2）运用错位相减法求和； （3）运用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 解得，， . 【小问2详解】 由（1）， 所以①. ②. ①②得 . 【小问3详解】 因为， 所以数列的前项和. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则由题意得，解得. 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值. 【小问3详解】 由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 6. 设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为等比数列，，且是与的等差中项，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线：恒过定点 B. 圆与圆公共弦所在直线的方程是 C. “”是“直线与直线平行”的充要条件 D. 圆：关于直线对称的圆为 10. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，且，则________． 13. 已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为______. 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于，两点且，求的值. 16. 开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. （1）求抛物线的标准方程及准线方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积. 17. 如图所示，直三棱柱，，，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面BCE夹角的余弦值和点到平面的距离； 18. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. （3）设求数列的前项和. 19. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $