直线与抛物线的位置关系课件和学案-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与抛物线的位置关系”核心考点，依据高考评价体系明确了位置关系判定、焦点弦长计算、中点弦问题等考查要求。通过梳理联立方程判别式分析、点差法等核心方法，归纳出位置关系判断、弦长求解、参数范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实例+方法归纳+易错警示”的复习模式，通过典型例题（如抛物线焦点弦长计算、中点弦方程推导）培养学生数学思维和数学语言表达能力。针对“一个公共点≠相切”等易错点，结合韦达定理和弦长公式突破考点，帮助学生掌握解题技巧，提升得分率，也为教师提供系统复习指导。

2026 直线与抛物线的位置关系 1 2 Q 8 9 课堂小结 一、位置关系判定 1. 联立方程：直线l: y=kx+b（斜率存在）抛物线C: y²=2px（p>0） 联立得：k²x² + 2(kb - p)x + b²=0 2. 判断方法： （1）k=0（直线水平）：一次方程→1个公共点（相交） （2）k≠0（二次方程）：①Δ>0 → 相交（2个公共点） ②Δ=0 → 相切（1个公共点） ③Δ<0 → 相离（0个公共点） 3. 特殊情况：直线平行于抛物线对称轴→1个公共点（相交） 二、核心题型 1. 弦长公式：|AB|=·（k≠0） |AB|=|y₁-y₂| （k不存在） 2. 中点弦问题： 方法一：韦达定理 + 中点坐标 方法二：点差法（步骤：设点→代入→作差→求斜率） 三、思想方法 数形结合、转化与化归、分类讨论 四、易错点 1. 一个公共点≠相切；2. 点差法需验证相交；3. 斜率存在性讨论 A C B A C B $※课堂导学提纲 (高三数学) 时间：2025-12-31 组编：火龙部数学组 直线与抛物线的位置关系 【学习目标】 1.能准确表述直线与抛物线的三种位置关系（相交、相切、相离），掌握“联立方程—分析方程类型—利用判别式判断”的核心判定方法，明确直线与抛物线相交时“一个公共点”的特殊情形。 2.掌握直线与抛物线相交时弦长公式的推导过程，能熟练运用弦长公式求解一般弦长和焦点弦长；了解焦点弦的简单性质（如抛物线y²=2px的焦点弦长|AB|=x₁+x₂+p）。 3.能解决与直线和抛物线位置关系相关的简单问题（如判断位置关系、求弦长、求解含参数的交点问题等）。 【重点难点】 重点：直线与抛物线位置关系的判定方法（联立方程+判别式分析） 难点：焦点弦相关性质的推导与应用 【导学流程】 （一）问题导入 思考：直线与圆、椭圆、双曲线这些二次曲线都有哪些位置关系？ 【知识链接】 知识点1 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点2 抛物线的弦长与焦点弦长问题 1．弦长 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==(k存在)或 |AB|=||= (k≠0). 2．抛物线的焦点弦长 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=， 若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p (,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 焦点在x轴标准方程 弦长公式 焦点在y轴标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 3．三角形的面积 ①; (其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. Q 知识点3 抛物线的的中点弦 一.核心公式（点差法推导） 抛物线方程 焦点位置 中点弦所在直线斜率公式（或） 中点存在条件（中点在抛物线内部） x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 二、核心方法：点差法（首选高效方法） 点差法标准步骤（以为例） 1.代入：将A、B两点代入抛物线方程：，。 2.作差：两式相减，利用平方差公式分解：。 3.代中点与斜率：中点关系：，。斜率公式：（）。 4.推导斜率：化简得（）。 三、分类解题策略（高频题型突破） 1.题型1：已知中点，求弦的方程 解题步骤：1.验证中点存在条件：确保中点在抛物线内部（如需满足），否则无此弦。 2.求直线斜率：若（）：代入核心公式。 若（中点在x轴上）：弦垂直于x轴，斜率不存在，直线方程为（需验证，确保有2个交点）。 3.写直线方程：用点斜式，整理为一般式。 4.联立验证：将直线方程代入抛物线，计算，确认有2个交点（避免虚弦）。 2.题型2：已知弦的方程，求中点 解题步骤： 1.联立直线与抛物线方程，得（），确保（弦存在）。 2.用韦达定理求中点横坐标：（，消后）。 3.求中点纵坐标：将代入直线方程，得（直线）。 4.验证：代入中点存在条件，确认中点在抛物线内部。 3.题型3：判断给定中点是否存在对应弦 解题步骤： 1.初步判定：若中点在抛物线内部（满足中点存在条件），则可能存在；若在外部或抛物线上，则不存在。 2.精准验证： 用点差法求出“假设弦”的斜率（或判断斜率不存在）。 写出“假设弦”的方程，联立抛物线方程，计算。 若，则存在；若，则不存在。 4.题型4：斜率不存在的中点弦（弦垂直于对称轴） 解题步骤（以为例）： 1.中点（），直线方程为。 2.代入抛物线方程得，需满足（有2个交点）和（中点存在，此处，即，条件一致）。 3.弦长（若需计算）：。 （1） 基础感知 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 (2) 探究未知 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 2.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【题型3 抛物线的焦点弦及面积问题】 3.（多选题）过抛物线的焦点的直线交于两点，设为的中点，为坐标原点，则（    ） A． 若，则 B．若，则6 C．若直线的斜率为1，则的面积为 D．若，则的面积和的面积之比为2:1 【题型4 抛物线的中点弦问题】 4.过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. (3) 课堂检测 5．过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $※课堂导学提纲 (高三数学) 时间：2025-12-31 组编：火龙部数学组 直线与抛物线的位置关系 【学习目标】 1.能准确表述直线与抛物线的三种位置关系（相交、相切、相离），掌握“联立方程—分析方程类型—利用判别式判断”的核心判定方法，明确直线与抛物线相交时“一个公共点”的特殊情形。 2.掌握直线与抛物线相交时弦长公式的推导过程，能熟练运用弦长公式求解一般弦长和焦点弦长；了解焦点弦的简单性质（如抛物线y²=2px的焦点弦长|AB|=x₁+x₂+p）。 3.能解决与直线和抛物线位置关系相关的简单问题（如判断位置关系、求弦长、求解含参数的交点问题等）。 【重点难点】 重点：直线与抛物线位置关系的判定方法（联立方程+判别式分析） 难点：焦点弦相关性质的推导与应用 【导学流程】 （一）问题导入 思考：直线与圆、椭圆、双曲线这些二次曲线都有哪些位置关系？判断依据是什么？ 【知识链接】 知识点1 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点2 抛物线的弦长与焦点弦长问题 1．弦长 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==(k存在)或 |AB|=||= (k≠0). 2．抛物线的焦点弦长 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 焦点在x轴标准方程 弦长公式 焦点在y轴标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 3．三角形的面积 ①; (其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. Q 知识点3 抛物线的的中点弦 一.核心公式（点差法推导） 抛物线方程 焦点位置 中点弦所在直线斜率公式（或） 中点存在条件（中点在抛物线内部） x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 二、核心方法：点差法（首选高效方法） 1.点差法标准步骤（以为例） 1.代入：将A、B两点代入抛物线方程：，。 2.作差：两式相减，利用平方差公式分解：。 3.代中点与斜率：中点关系：，。斜率公式：（）。 4.推导斜率：化简得（）。 2.点差法优势与适用场景 优势：无需联立复杂方程，直接建立中点与斜率的关系，计算量小、速度快。 适用场景：已知中点求弦的斜率/方程、已知斜率求中点坐标、判断给定中点是否存在对应弦。 三、分类解题策略（高频题型突破） 1.题型1：已知中点，求弦的方程 解题步骤：1.验证中点存在条件：确保中点在抛物线内部（如需满足），否则无此弦。 2.求直线斜率：若（）：代入核心公式。 若（中点在x轴上）：弦垂直于x轴，斜率不存在，直线方程为（需验证，确保有2个交点）。 3.写直线方程：用点斜式，整理为一般式。 4.联立验证：将直线方程代入抛物线，计算，确认有2个交点（避免虚弦）。 2.题型2：已知弦的方程，求中点 解题步骤： 1.联立直线与抛物线方程，得（），确保（弦存在）。 2.用韦达定理求中点横坐标：（，消后）。 3.求中点纵坐标：将代入直线方程，得（直线）。 4.验证：代入中点存在条件，确认中点在抛物线内部。 3.题型3：判断给定中点是否存在对应弦 解题步骤： 1.初步判定：若中点在抛物线内部（满足中点存在条件），则可能存在；若在外部或抛物线上，则不存在。 2.精准验证： 用点差法求出“假设弦”的斜率（或判断斜率不存在）。 写出“假设弦”的方程，联立抛物线方程，计算。 若，则存在；若，则不存在。 4.题型4：斜率不存在的中点弦（弦垂直于对称轴） 解题步骤（以为例）： 1.中点（），直线方程为。 2.代入抛物线方程得，需满足（有2个交点）和（中点存在，此处，即，条件一致）。 3.弦长（若需计算）：。 【导学流程】 （1） 基础感知 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确. (2) 探究未知 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 2.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】∵，∴， 根据题意可知过点的直线有斜率，故设过点的直线l方程为. ∵l与抛物线有公共点，，∴方程组 有解， 即有解．∴即1. ∴或， 当 时，显然符合题意，故 故选：C. 【题型3 抛物线的焦点弦及面积问题】 3.（多选题）过抛物线的焦点的直线交于两点，设为的中点，为坐标原点，则（    ） A． 若，则 B．若，则6 C．若直线的斜率为1，则的面积为 D．若，则的面积和的面积之比为2:1 【答案】BCD A:易知的斜率存在，设，则，得， 因为点在上，所以，不妨设点在第一象限，故，所以， 又，所以，所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． B:易知抛物线的焦点， 由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）； 因此. C:易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则． D:，，解得， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，解得， 直线的方程为：，化为， 联立，化为，解得， 的面积和的面积之比. 【题型4 抛物线的中点弦问题】 4.过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线斜率存在，设，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立后，用韦达定理求得弦长． 【详解】（1）点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交， 又是中点，直线斜率存在， 设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即； （2）由，得，则， 所以． (3) 课堂检测 5．过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C （四）课堂小结 一、位置关系判定 1. 联立方程：直线l: y=kx+b（斜率存在）抛物线C: y²=2px（p>0） 联立得：k²x² + 2(kb - p)x + b²=0 2. 判断方法： （1）k=0（直线水平）：一次方程→1个公共点（相交） （2）k≠0（二次方程）：①Δ>0 → 相交（2个公共点） ②Δ=0 → 相切（1个公共点） ③Δ<0 → 相离（0个公共点） 3. 特殊情况：直线平行于抛物线对称轴→1个公共点（相交） 二、核心题型 1. 弦长公式：|AB|==(k存在) |AB|=|y₁-y₂| （k不存在） 2. 中点弦问题： 方法一：韦达定理 + 中点坐标 方法二：点差法（步骤：设点→代入→作差→求斜率） 三、思想方法 数形结合、转化与化归、分类讨论 四、易错点 1. 一个公共点≠相切；2. 点差法需验证相交；3. 斜率存在性讨论 附加题【题型5 抛物线中的参数范围及最值问题】 6.已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【解答过程】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $