第5章 一元函数的导数及其应用单元学能测评-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

即证1nt-2-D>0. t+1. 设g0)=1nt2卫，>1. t+1 >0 因为g'()=1-，4 所以g(t)在(1，十∞)上单调递增. 因为g(1)=0,所以g(t)>g(1)=0. 所以lnx十lnx2>2. 所以支2>>e即+>2e 第五章单元学能测评 1.C2.A3.D4.B 5.B提示：函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x), 函数f(x)在x=1处取得极大值，所以当x>1时， f'(x)<0;当x=1时，f(x)=0;当x<1时，f'(x)> 0.所以当x<0时，y=一xf(x)>0;当0<x<1时， y=-xf'(x)<0;当x=0或x=1时，y=-xf'(x)= 0;当x>1时，y=一xf(x)>0.综上，B符合题意. 6.A提示：f(x)=x2一2cosx为偶函数， f(-3)=f(3): f(x)=2x十2sinx,∴.当x∈(0,1)时，f(x)>0. .f(x)在(0,1)上为增函数 fo)<f(号)<f(号). ∴fo)<f(-3)<f(号)： 7.A提示：函数fx)=号十(m十1)e+2(m∈R),定 义域为R因为函数f(x)有两个极值点，所以∫(x)= x十(m十1)c有两个不同的零点，故关于x的方程 一m一1=是有两个不同的实数解.令g(x)=是，则 g(x)=12.当x∈(-o∞，1)时，g(x)>0,g(x)在区 参考答案与提示次超 间(-∞，1)上单调递增；当x∈(1，十o∞)时，g(x)<0, g(x)在区间(1，十∞)上单调递减.又当x一∞时， g(x)-∞；当x→+∞时，g(x)0,且g(1)=是，故 0K-m-1<名所以-1-名<m<-1 8.B提示：由EF∥AC且∠B=60°可知三角形BEF为 等边三角形.设EF=x,则等边三角形BEF的高为 ,面积为2.所以五边形ECDAF的面积为2× 9×2-92=2,5-92.故五棱锥B-ECDAF的 体积V()=号×(25-唱)×号x=x-gx (0x2) V)=(z-g/=1-音，令V()=0,得x= 2(负值合去)，且当0<<2时，V(>0,V 3 单调透增，当<<2时，V(<0,V)单洞递 减故当x一2时，V取得极大值，也是最大值。 9.AB提示：设切点坐标为(x,2x8十1).因为f(x)= 6x2,所以f(x)=6x,所以切线方程为y-2x8一1= 6x(x一x0).因为切线过点P(1,3),所以3-2x8-1= 6x(1-x0),即2x8-3.x8+1=0,即(x-1)2(2x+ 1)=0,解得=1或=一号，所以切线方程为6x y一3=0或3x一2y+3=0. 10,ABC提示：因为直线CD的斜率为号-2，所以 直线CD的方程为y一0=一2(x-4),即y=一2x+ 8,A正确.因为f(x)的图象过点A(0,0),D(4,0),所 以f(x)有两个零点，即0和4，故可设f(x)=x(x一4)· (kx十m)(其中k≠0)，则f(x)=kx(x一4)十(kx十m)· (2x-4).又kB=4,m=-2,得f(0)=4,f(4)= 39 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( -2,得m=-1,k=日，所以fx)=日xx-40(x 8),B正确.由B可知，f(x)十f(8一x)=0,所以曲线 y=f(x)关于点(4,0)对称，C正确.当4x6时，有 x-4≥0，x-8<0,所以f(x)≤0，D错误. 11.ABC提示：对于A,f(x)=2x十1十lnx,令h(x)= 2x+1+lhx,则(x)=2+>0,故了(x)在 [是，1]上单调递增，所以f'()≥()=是+ h}-3-216>0,所以f(x)在[子，1]上单调递 增，所以f(x)x=f(1)=3,故A正确.对于B,由A 知，h(x)在(0，+∞)上单调递增，且h()= f()>0,h(侵)-号-1<0，所以存在∈ (侵，})，使得()=0，即2+1血+1=0，则 lnx2=-2x2-1.所以当x∈(0，x2)时，h(x)<0,即 f(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(2，十∞)时，h(x)>0, 即f(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)m=f(x2)= x3+x2lnx2+2=x十x2(-2x2-1)十2=-x +2=-(✉+2)+是>-(4+2)+ 器放B正确对于Cg)=f)-e=r2十h十 2-e,定义域为(0，十o∞)，g'(x)=2x十lnx十1-e, 令m)=2z+lnx+1-e,则m)=2+是-e.令 p)=2+日-，x0,+∞)，则g(x)=-是 e<0,所以p(x)在(0，十∞)上单调递减.又p(1)=3 心0g2)=号-e<0,所以存在a∈(1,2)，使得 p()=2+号-=0，即2+=.所以当x∈ (0,x3)时，p(x)>0,即m'(x)>0,m(x)单调递增；当 x∈(3，十∞)时，p(x)<0,即m'(x)<0,m(x)单调 40 浙江专用) 递减.故m(x)mx=m(x3)>m(1)=3-e>0.又 m(3)=2-ln2-e<0,m(2)=5+ln2-e<0,所 以m(x)有2个零点，即g(x)有2个零点.所以g(x) 有2个极值点，故C正确.对于D,由C知，当x∈(2， +∞)时，m(x)<0,所以当x∈(3,4)时，g(x)<0,于 是g(x)在(3,4)上单调递减.所以当x∈(3,4)时， g(x)<g(3)=11+3n3-e3<0.所以g(x)在(3,4)上 没有零点，故D错误. 12.(0,十o∞).提示：y=a(3.x2-1),令y=0,得x= 士号，由函数y=a(-)的单调递增区间是(-∞， -图），（停，+∞），得导函数y=a(32-1D的图象 是开口向上的抛物线，所以a>0. 13.(-o,日-]提示：f()=2-是，当x[1, 2]时，f'(x)≥0，故f(x)在[1,2]上单调递增，f(x) =f2)=子g-1n,当xe[日e)时g >0,xE(e,e]时，g(o)<0,故g()在[是，e)上单 调递增，在(e,e]上单调递减，g(x=ge=。一m 故<日-m,解得m∈(-o,是-]， 14.(1)②。(2)[-20，+∞），提示：1)①f(x)=1, x0=6+2-2, g'(x)=2x十2，由题意得 此方程组 1=20+2, 无解，故不存在“S点”；②f'(x)=1,g(x)=e,由题意 0十1=e, 得 解得x=0,故0为函数f(x)与g(x) 1=e, 的一个“S点”；③f(x)=cosx,g(x)=一sinx,由题 sin zo=cos o, 意得 此方程无解，故不存在“S点” cOS .Zo=-sin .o, (2)f(a)=2mx+n,g'()=1 (mad+nxo=In xo, 由题意得 1 则m=1-n 2m十n=六 令h(o=1-血c>0),得M()=-3+2血工，令 h(x）=0,得x=e是. 所以当x∈(e是，十o∞)时，h(x)>0,h(x)单调递增； 当x∈（0，e)时，(x)<0,h(x)单调递减， 所以Ae-A(e)-1上-也e主-2，且一0 时，h(x)→十∞， 所以实数m的取值范围为[一是十∞)， 15.方案一选择条件①. 因为(x)=e十a,且f(x)的一个极值点为0，所以 f(0)=e°+a=0,故a=-1,f(x)=e-x-1. f(x)=e-1,令f(x)=e-1=0,得x=0. 当x∈[-1,0)时，f'(x)<0;当x∈(0,1]时，f'(x)>0. 所以f(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增. 所以f(x)的最小值为f(0)=0. 因为f-1)=是<f1)=e-2, 所以f(x)的最大值为f(1)=e一2. 方案二选择条件②. 因为f'(x)=e+a,且曲线y=f(x)在点(1，f(1)处 的切线与直线x+(e一1)y-1=0垂直，所以f'(1)= e十a=e-1,故a=-1,f(x)=e-x-1, f'(x)=e2-1,令f'(x)=e-1=0,得x=0. 当x∈[-1,0)时，f'(x)<0;当x∈(0,1]时，f'(x)>0. 所以f(x)在[一1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增. 所以f(x)的最小值为f(0)=0. 因为-1)=是<f1)=e-2, 所以f(x)的最大值为f(1)=e一2. 参考答案与提示次出 方案三选择条件③. 因为f'(x)=e+a, 所以y=f(-x)-f(x)=ex-e-a.x-1-a. 因为y=f(一x)一f(x)为奇函数， 所以f(一x)一f(x)=f(一x)-f(x),可得a=一1. f(x)=e2-1,令f(x)=e2-1=0,得x=0. 当x∈[-1,0)时，f'(x)<0;当x∈(0,1]时，f'(x)>0. 所以f(x)在[一1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增. 所以f(x)的最小值为f(0)=0. 因为f-1D=6<f)=e-2, 所以f(x)的最大值为f(1)=e一2. 16因为函数f)=hx-a(x>0且x≠1， 所以f'(x)=1+ 2a x(x-1)2 因为曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线平行 于直线y=10x十1， 所以f(3）=2+8a=10,解得a=1, 所以f'(x)=x2+1 x(x-1)2 因为x>0且x≠1，所以f(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，十∞)， 无单调递减区间， (2)在区间(1，十∞)上存在唯一一个满足条件的x0. 因为g()=nx,所以g()=子 所以直线l的方程为y-1山=(x-, 即y=名+h-1.① 设直线l与曲线h(x)=e2相切于点(1，e). 因为()=e,所以e=所以=一ha 所以直线：的方程电可以写成y女士（+h。 41 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA(代 即y=x十h+. To Zo ② 由①②得1n0-1=h+1,所以n=+出 xo-1' 下面证在区间(1，十∞)上存在唯一一个满足条件的xo. 由①可知)=h一在区间1，十o)上单调 递增. 又o=名<0fe)-0, 结合零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(1，十∞) 上有唯一的实数根，即满足条件的x。只有一个 17.如图，连接PO并延长，交MN于点H,则PH⊥MN, 所以OH=10. M H B 过点O作OE⊥BC于点E,则OE∥MN, 所以∠COE=0, OE=40cos 0,EC=40sin 0. 则矩形ABCD的面积为2×40cos0(40sin0+10)= 800(4sin Ocos 0+cos 0), △CDP的面积为号×2×40cos0(40-40sin0)= 1 600(cos 0-sin 0cos 0). 过点N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于 点G和点K,连接OG,则GK=KN=10. 令∠c0K=a,则sm%=},A∈(0，吾)： 当E[,变)时，才能作出满足条件的矩形ABCD, 因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3， 所以设甲种蔬菜的单位面积年产值为4级，乙种蔬菜的 单位面积年产值为3k(k>0). 则年总产值为4kX800(4sin0cos0+cos0)+3k× 42 浙江专用) 1 600(cos 0-sinecos 0)=8 000k(sin 0cos 0+cos 0), 0e[,受)： 设f(0=sin0cos0叶cos0,0e,5), f'(0)=cos20-sin20-sin 0=-(2sin20+sin 0-1)= -(2sin0-1)(sin0+1). 令f(0)=0,得0=吾 当9∈[6，否)时，f()>0,f(8)单调递增； 当e（,)时，f()<0,f)单调递减。 因此，当0=石时，f()取得最大值。 故当=否时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18.(1)函数f(x)的定义域为(0，+o) 当a=0时，f(x)=2x2lnx, 则f(x)=4xlnx十2x=2x(2lnx十1). 令(x)>0,得2lnx+1>0,解得xc>et; 令f(x)<0,得2lnx十1<0，解得0<x<e言， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，e),单调递增 区间为(e量，十o∞). (2)g(x)=(2x2-4a.x)lnx十x2, 则g(x)=(4x-4a)lnx十2x-4a十2x=4(x-a)· (nx+1). 由x∈[1，+o∞)得lnx+1>0. ①若a≤1，则g'(x)≥0，且只有x=a=1时，g(x)= 0,此时函数g(x)在[1，十∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1),即g(x)≥1. 故函数g(x)在[1，十∞)上没有零点，不符合题意. ②若a>1,则当x∈(1，a)时，g(x)<0,当x∈(a, +∞)时，g'(x)>0, 此时函数g(x)在(1，a)上单调递减，在(a,十∞)上单 调递增。 因为g(1)=1>0,g(2a)=4a2>0, 所以要使函数g(x)在[1，十∞)上有两个零点，只需 g(x)m=g(a)=a2(1-2lna)<0,解得a>√e. 综上，实数a的取值范围为(e,十o∞). 19.(1)由题意得a≠0. f)=axln-aznx. ∴.f(x)=-a(1+lnx),x∈(0，+oo). 令了)=0，解得x=日 ①当>0时，令f(x)>0,得0<x<是；令f(x)< 0,得公 ∴f()在(o,)上单调递增，在（日，+∞）上单调 递减。 ∴f心x)在x=。处取得极大值，也是最大值. ∴fx)x=f(日)=是解得a=1. ②当a<0时，易知与题意不符，故舍去. 综上，a=1. (2)由(1)知f(x)=-xlnx,则f(x)=-(1+lnx). 参考苦案与提示么出型 ∴.f(xo)=-(1+lnxo). -(1+ln)=f)-fa) x2一x1 即1n=-f）二f）-1. x2-x1 则1nn-n=-f）二fa）-1-1na C2一2 z2In ca caln xl x2一 taln 1一1 2一x1 -In Z1 2一1 1- x2 设号=t,e(0,1), 则g0=-1=,e0,D. 令a0=-lh-1,e0,1D,则W0=1-<0 ∴.函数h(t)在(0,1)上单调递减. .h(t)>h(1)=0,即t-lnt-1>0. 又1-t>0,.g(t)>0,即lnx-lnx>0. .x0>x. 同理可证x0<x2,∴.<0<x2. 43重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 第五章 单元学能测评 时间：120分钟 满分：150分 华大基础教育 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 y=一xf'(x)的图象可能是( 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.若f'(1)=1,则1im f(1+3△x)-f(1) 等于 △r0 △x (). A.1 B.-1 C.3 D分 2.曲线y=xe十1在点(0,1)处的切线方程是 (). 6.已知函数f(x)=x2-2cosx,则f(0), A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0 C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0 f(-})f(号)的大小关系是( 3.函数f(x)=x十ln(2-x)的单调递增区间为 Afo)<f(-3)f(号) (). A.(1,+∞) B.(1,2) B.f(-3)fo)<f(号) C.(-∞，3) D.（-∞，1) 4.如图，可导函数y=f(x)的图象在点P(xo, c.f(号)<(-号)<fo》 f(x)处的切线方程为y=g(x),设h(x)= D.fo)<f(号)<f(-3)） g(x)一f(x),h'(x)为h(x)的导函数，则下列 结论中正确的是( 2.已知函数f)=苦+(m+1)c+2m∈R) y=g(x) 有两个极值点，则实数m的取值范围为(). y=f(x) 'P(x,f(x,) A.(-1-6,-1 B(-1-6,o) C(-1,-1+6) D.(-1+6,1 A.h'(xo)=0,x是h(x)的极大值点 8.如图①所示，四边形ABCD是边长为2的菱 B.h'(xo)=O,xo是h(x)的极小值点 形，∠B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运 C.h'(xo)≠0，xo不是h(x)的极值点 动（不含端，点），且EF∥AC,沿EF把平面BEF D.h'(xo)≠0，xo是h(x)的极值点 折起，使平面BEF⊥底面ECDAF,如图②，当 5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x), 五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为 若函数f(x)在x=1处取得极大值，则函数 (). 22 第五章一元函教的导教及其应用次出 范围是 13.已知函数f（x)=2x十是-4，函数g(x) lnx-m,若对任意的x1∈[1,2]，存在x2∈ x ② A.1 B26 C.3 D.√2 [日e],使得a)g),则实数m的取 3 值范围为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分， 14.记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导 共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 函数.若存在xo∈R,满足f(xo)= 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的 g(xo)且f(xo)=g'(xo),则称x为函数 得部分分，有选错的得0分) f(x)与g(x)的一个“S点” 9.已知曲线f(x)=2x3十1，则曲线过点P(1,3)的 (1)以下函数f(x)与g(x)存在“S点”的是 切线方程为(). (填序号). A.6x-y-3=0 B.3x-2y+3=0 ①函数f(x)=x与g(x)=x2十2x-2; C.6x+y-9=0 D.3x+2y-9=0 ②函数f(x)=x十1与g(x)=e; 10.在平面直角坐标系内，由A,B,C,D四点所确 ③函数f(x)=sinx与g(x)=cosx. 定的“N型函数”指的是三次函数f(x)= (2)已知m,n∈R,若函数f(x)=mx2+nx与 a.x3十bx2+cx十d(a≠0)，其图象过点A,D g(x)=lnx存在“S点”，则实数m的取值 两点，且f(x)的图象在点A处的切线经过点 范围是 ·（本题第一空2分，第二 B,在点D处的切线经过点C.若将由A(0, 空3分) 0),B(1,4),C(3,2),D(4,0)四点所确定的 “N型函数”记为y=f(x),则( 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) A.曲线y=f(x)在点D处的切线方程为y= 15.(13分)有下列条件：①f(x)的一个极值点为 -2x+8 0;②曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与 Bf)=gz(x-4)(x-8》 直线x十(e-1)y-1=0垂直；③y=f(-x) C.曲线y=f(x)关于点(4,0)对称 f(x)为奇函数.在这三个条件中任选一个， D.当4≤x≤6时，f(x)≥0 补充在下面的横线上，并回答下列问题. 11.已知f(x)=x2+xlnx+2,g(x)=f(x) 已知函数f(x)=e+ax一1，且 ,求 e,则( f(x)在[一1,1]上的最大值与最小值， A函数f)在[子，1]上的最大值为3 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 答计分. BV>0,fe>器 C.函数g(x)的极值点有2个 D.函数g(x)存在唯一零点x∈(3,4) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分 将答案填在题中横线上) 12.若函数y=a(x3一x)的单调递增区间是 (-o,一图)，（号，+∞，则实数a的取值 23 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 16.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax+ 18.(17分)已知函数f(x)=(2x2-4ax)lnx, x-1 2,曲 a∈R. 线y=f)在点（分，f(合）)处的切线平行 (1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间； 于直线y=10x+1. (2)令g(x)=f(x)+x2,若Vx∈[1，+o∞)， (1)求函数f(x)的单调区间. 函数g(x)有两个零点，求实数a的取值 (2)设直线l为函数g(x)=lnx的图象在点 范围。 A(xo,lnxo)处的切线.问：在区间(1， 十∞)上是否存在xo,使得直线l与曲线h (x)=e也相切？若存在，求出满足条件 的o的个数；若不存在，请说明理由， 17.(15分)某农场有一块农田，如图所示，它的边 19.(17分)已知函数f(x)=axln是(a∈R)的最 界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的 中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为 大值为是（其中e为自然对数的底数）， 40米，点P到MN的距离为50米.现计划在此 f'(x)是f(x)的导函数 农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块 (1)求a的值； 形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为 (2)任取两个不等的正数x1,x2,且x1<x2, △CDP,要求A,B均在线段MN上，C,D均 若存在正数xo,使得f'(x)= 在圆弧上.设OC与MN所成的角为0.若大 fx2)一f）成立，证明：a1<x<x· x2一x1 棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬 菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比 为4：3，求当0为何值时，能使甲、乙两种蔬 菜的年总产值最大 ○ 24