5.2 导数的运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 5.2导数的运算 基础过关练 测试时间：20分钟 乃综合提能练 测试时间：40分钟 1.[题型1]下列导数运算正确的是(). 7.[题型3]已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x) A(2/=x =ex-1一x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的 切线的斜率是( ). B.(2x)'=2rln2 A.1 B.2 C.(ln 2z) C.e D.-e2-1 D.(sin x-cos x)'=cos x-sin x 8.[题型2]已知函数f)=+1)十m工，其 x2+1 2.[题型2](2025·浙江富阳中学月考)已知某物 导函数为f'(x),则f(2022)十f(2022)十 体的运动方程为s=}一4r十162（红表示时 f(-2022)-f(-2022)=(). A.-3 B.3 C.-2 D.2 间，单位：秒；5表示位移，单位：米)，则瞬时速 9.[题型2]设点P是函数f(x)=2e-f'(0)x十 度为0米/秒的时刻是( f(1)的图象上的任意一点，点P处切线的倾 A.0秒、2秒或4秒 斜角为a,则角α的取值范围是(). B.0秒、2秒或16秒 C.0秒、4秒或8秒 A[o,3) B[o,5)U(3,x) D.2秒、8秒或16秒 3.[题型2](2025·上海徐汇区期末)设a∈R,若 c(受，) D.[o,)U[,x] 函数f(x)=e十aer的导函数是f'(x),且 10.[题型1](2025·重庆八中月考)（多选）若函 f(x)是奇函数，则a的值为( 数f(x)可导，我们通常把其导函数f'(x)的导数 叫作f(x)的二阶导数，记作f"(x).以下函数的 A.1 B-7 c.司 D.-1 二阶导数在区间(0，)上恒小于0的是 4.[题型3]设曲线y=ax-ln(x十1)在点(0,0) （). 处的切线方程为y=2x,则a=(). A.0 B.1 C.2 A.f(x)=-x3+3x+4 D.3 5.[题型3](2025·浙江杭州二中单元检测)若曲 B.f(x)=In x+2x C.f(x)=sin x+cos x 线x)=司2-ax+lnx存在垂直于y轴的 D.f(x)=xe 切线，则实数a的取值范围是 11.[题型2]已知定义在R上的函数f(x)满足 6.[题型3](2025·湖北襄阳五中月考)曲线y f(x)+f(2-x)=2022,f(x)的导函数为 e在x=2处的切线方程为 ,过原点 f(x),则f(-2020)-f(2022)= 的切线方程为 16 第五章一元函教的导教及其应用次出 12.[题型1](2025·华南师大附中高二单元检 (1)求函数f(x)的解析式； 测)当f(x)>0时，函数y=[f(x]s田在求导 (2)求f(x)的图象在x=1处的切线与两坐 时可运用对数法：在解析式两边同时取对数， 标轴围成的三角形的面积， 得到lny=g(x)lnf(x),然后两边同时求导得 多-ghfx)+s✉)，于是y- [f][gnfa)+g·f8], 用此法可得函数y=(x十1)本(x>0)的导数 为y= 13.[题型1、3](2025·江苏扬州中学期中)设函 数f(x)=ax-(x≠0)，曲线y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为7x一4y一12=0. (1)求f(x)的解析式； 拓展拔高练 测试时间：20分钟 (2)证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线 与y轴和直线y=x所围成的三角形的面 15.[题型4幻（经典·清华大学自主招生暨领军计 积为定值，并求此定值. 划试题)（多选）已知函数f(x)=x2一1， g(x)=lnx.下列说法正确的是(). A.f(x)与g(x)的图象在点(1,0)处有公切线 B.存在f(x)的图象的某条切线与g(x)的图 象的某条切线互相平行 C.f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点 D.f(x)与g(x)的图象有且只有两个交点 16.[题型1]（经典·武汉大学中学生冬令营试 题)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx十 d(a,b,c,d∈R,a≠0)有如下定义：设f(x) 是函数f(x)的导数，f”"(x)是函数f(x)的导 数，若方程f"(x)=0有实数解m,则称点(m, f(m)为函数y=f(x)的“拐点”.若点(1， 14.[题型1、3](2025·浙江杭州学军中学期中) -3)是函数g(x)=x3-ax2十bx-5(a,b∈ 在①f(x)是三次函数，且f(0)=3,f'(0)=0, R)的“拐点”，也是函数g(x)图象上的点，则 f'(1)=一3，f'(2)=0,②f(x)是二次函数， 且x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1这两个条件中 函数h()=号asin十2bcos2x的最大值是 任选一个作为已知条件，并回答下列问题. 171的斜率k1=f'(1)=0, 所以所求直线1的方程为y=一2. (2)设切点坐标为(xo,x一3x)(x0≠1)， 则由(1)知直线1的斜率k2=f'(x0)=3x话一3， 所以直线1的方程为y一(x话一3)=(3-3)(x一). 又直线l过点P(1,一2)， 所以-2-(x8-3)=(3.x-3)(1-x), 解得=1（合去）或。=一分 故所求直线的斜率2=3x6-3=-9 所以所求直线1的方程为y-(一2》=一是(x-1D, 即9x十4y-1=0. 14.①f)=lm+2f@-2+4红-3. Ax 由一x2+4x-3=-3,解得x=0或x=4. 又f0=1,K0=-子 所以所术切线方程为y一1=一3x或y十日=一3红一0， 即3x十y-1=0或9.x+3y-35=0. (2)因为f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1， 所以当x=2时，切线的斜率取得最大值1， 此时点P的坐标为(2，}). 设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), 则直线L的方程为后十若=1(a>0,6>0, 所以名十品=1 5m=合b=6(+)°-+岛+号≥ a 当且仅当2=总即a=66时取“=” 将a=6代人名+品=1，解得a=4,6=号 参考答案与提示么出出 所以△AOB面积的最小值为等， 15.B提示：已知函数f(x)=x3-x和点P(1,-1), 因为f(1)=13-1=0, 所以点P(1,一1)不在函数f(x)的图象上. 设切点坐标为(x0,%),则%=x8一x0. 因为f(x)=limz+A)°-(z+Ax)-2+z △x =画2+32：a+3za+aP-2-A-2+E △x =lim3x2·A+3z(Az+(△x-△g △x △x =lim[3x2+3x·△x+(△x)2-1] =3x2-1, 所以过切点的切线的斜率k=3x品一1， 因为过点P(1,一1)和切点(x0,%)的切线的斜率= +1 x0-1’ /y%=8-0, 所以 0十1 化简可得6(2x-3)=0, (-1-3x6-1, 解得0=0或=2， 3 则切点有2个，因而满足题意的切线有2条. 5.2导数的运算 真题演练答案 1C提示：因为f(号-2x)为偶函数，所以f(多 2x=f(号+2x),所以函数f(x)的图象关于直线 x=号对称，f(号-2×)=f(号+2×)， 即f(-1)=f(4),所以C正确.因为g(2+x)为偶函 数，所以g(2十x)=g(2-x),函数g(x)的图象关于直 线x=2对称.因为g(x)=f(x),所以函数g(x)的图 象关于点（号，0）成中心对称.所以g(x)的周期T 21 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA( 4×(2-3)=2.所以f(-1)=-(4),即 g(-1)=一g(4)=一g(2),所以D不正确.因为 f'(-)=-f(),所以g(-2)=-g() g(2×2-2)=-g(-2)所以g(-3)=0.所 以B正确.不妨取f(x)=1(x∈R),经验证满足题意， 但f(0)=1,所以A不正确. 2.y=5x+2. 提示：因为y=(+司) 2(x+2)-(2x-1)_ 5 (x+2)2 （x+2)2, 5 所以y11--1+2=5 所以切线方程为y十3=5(x十1)，即y=5.x十2. 3.2x一y=0.提示：设切点为(xo,%),对y=lnx十x十 1求导，得y=士十1，则曲线的切线斜率为+1=2， 解得x=1. 所以%=ln1十1十1=2，则切点为(1,2)，切线方程为 y-2=2(x-1),即2x-y=0. 4y= ex;y=-1 x.提示：先求当x>0时，曲线y= nx过原点的切线方程，设切点为(xo,№)，则由y 二得切线的斜率为公，又切线的斜率为受所以士 兴，解得0=1，代人y=血x,得=e,所以切线的斜 率为，切线方程为y=。同理，当x<0时，切线方 程为y一马x综上可知，两条切线方程为y=已 y=-et. 5.4.提示：对于y=c十x十a,其导数为y=c+1. 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y=e十1=2，即e=1,解得x=0. 将x=0代人切线方程y=2x十5，可得y=2×0+5= 22 浙江专用) 5,所以切点坐标为(0,5). 因为切点(0,5)在曲线y=e十x十a上， 所以5=e°十0十a,即5=1十a,解得a=4. 练习册答案 1B提示：()/=-之=-x,“A错误： (2)=2ln2,.B正确； :h2a/-是子，C错误： ,(sinx-cosx)'=cosx十sinx,.D错误. 2.C提示：s=t3-12+32t,令s=t3-12+32t=0, 解得t=0或t=4或t=8. 3.A提示：f(x)=e一aex,由奇函数的性质可得 f(0)=1一a=0,解得a=1. 4D提示：y=a-则y1。=a-1.又切线方程 为y=2x,所以a一1=2，解得a=3. 5[2,十o).提示：“f(x)=合t-ax+n, f'(x)=x-a+1」 x ,曲线f(x)存在垂直于y轴的切线， (x)存在零点. x+1一a=0(x>0)有解， x a=x十1≥2（当且仅当x=1时取等号），即a的取 x 值范围是[2，十∞). 6.y=e2x-e2;y=ex.提示：因为曲线y=e在x=2 处的切线的斜率为y|x=2=e|x=2=e2,切点坐标为 (2,e2),所以所求切线方程为y-e2=e2(x-2),即y= ex一e2.设切点坐标为(xo,eo),在该点处的切线的斜 率为yz==o,故切线方程为y一中=的(x x),当切线过原点时，有0一e=e·(0一xo),解得 x=1,因此所求切线方程为y-e=e(x一1)，即y =ex. 7.B提示：当x>0时，-x<0,f(-x)=e-1+x.因为 f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)=f(-x)=e1+ x,对应导函数为f(x)=e-1+1,所以f(1)=2,即所 求的切线的斜率为2. 8D提示：由已知得 f-)=1-z)2+sim(-2-1-x）2-sinx x2+1 x2+1 则f+f-0=+1+mx+-2smx=2, x2+1 x2+1 (-[2(xH1)+cos zl(z+1)-2x(xH1)+sin (x2+1)2 (2+cos x)(2+1)-2z(2x+sin z) (x2+1)2 则(-)=2+cosx)(z2+1)-2z(2x+sin (x2+1)2 即f(x)=f(-x), 则f2022)+f'(2022)+f(-2022)-f′(-2022)= f2022+f(-2022)+f'(2022)-∫'(2022)=2. 9.B提示：因为f(x)=2e-f(0)x十f(1),所以 f(x)=2e-f'(0).所以f'(0)=2-f'(0),即f'(0)=1. 所以f(x)=2e-1>-1.因为点P是曲线上的任意 一点，点P处切线的倾斜角为a,所以tana>一l.因为 a∈[0，)，所以a∈[0，受)U(,x). 10.ABC提示： f(x)=-3x十3，f"(x)=-6x,当x∈ A (0,妥)时，f(<0恒成立 f'x)=士+2，f)=当x(o,买)时， B√ f”(x)<0恒成立 f'(z)=cos z-sin x,f"(x)=-sin z-cos x= 2m(x+)当xe(o,年)时，m(x+) >0,所以f"(x)<0恒成立 f(x)=(x十1)e,f"(x)=(x十2)e,当x∈ (0,)时f()>0 参考答案与提示次 11.0.提示：因为f(x)十f(2-x)=2022,所以对两边 同时求导可得f'(x)一f'(2-x)=0,故f'(-2020)一 f(2022)=0. 12.[1-ln(x十1)刀·(x十1)h.提示：在函数y=(x十 1)市(>0)中，令f)=x+1(x>00,g)= (x>0),由题意可得y=[f(x)]sa·g(x)lnfx) +e8]-e+ht[c+i+ h‘]=-a(x+1]+1D六 13.(1方程7x一4y-12=0可化为y=子x-3 当x=2时，3y=2 又了x)=a+名，且点(22)在曲线)y=fx)上， 2a--, a=1, 所以〈 解得 b=3, 故f)=x-≠0. (2)设点P(w)为曲线上任意一点，由y=1十是 知，曲线y=f(x)在点P(xo,o)处的切线方程为y一 0=（1+是)x-. 即y-()=(1+)x-. 令x=0,得y=-6, 即曲线y=f(x)在点P(xo,o)处的切线与y轴的交 点坐标为(0，一日)》 将y=x与曲线y=f(x)在点P(x,№)处的切线方 [y=x, x=2x0, 程联立，得 x一6解得 =(1+是)x- y=2xo, 即曲线y=f(x)在点P(xo,%)处的切线与直线y=x 23 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 的交点坐标为(2x0,2xo). 所以曲线y=f(x)在点P(x,o)处的切线与y轴和 直线y一x所围成的三角形的面积为宁·一县引： |2o=6. 即曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线 y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 14.方案一选择条件①. (l)依题意，设f(x)=ax3+bx2十cx十d(a≠0)， 则f(x)=3ax2+2bx十c. f(0)=d=3, (a=1, f(0)=c=0, b=一3， 由已知得 解得 f(1)=3a+2b+c=-3, c=0, (f(2)=12a+4b+c=0, d=3, 所以f(x)=x3-3x2+3. (2)由(1)知f(1)=-3,f(1)=1, 则切线方程为y-1=-3(x-1). 当x=0时y=4:当)y=0时，x=专 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=?× 4X导-8. 方案二选择条件②。 (1)依题意，设f(x)=ax2十bx十c(a≠0)， 则f'(x)=2ax十b. 由x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1, 得x2(2a.x+b)-(2x-1)(a.x2+bx十c)=1, 化简得(a-b)x2+(b-2c)x十c=1. 因为上式对任意x都成立， a=b, (a=2, 所以b=2c,解得b=2, c=1, c=1, 所以f(x)=2x2+2x十1. (2)由(1)知f'(x)=4x+2,则f(1)=6. 24 浙江专用) 又f(1)=5,所以切线方程为y-5=6(x-1). 当x=0时，y=-1;当y=0时，x=6: 1 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=号× 合×1=2 15.BD提示：f()=2,g()=士则了(1)=2， g'(1)=1,二者不相等，即在点(1,0)处，f(x)与g(x) 的图象的切线斜率不相等，故在点(1,0)处没有公切 线，A错误；两切线平行即两切线斜率相等，令2x三 ,解得a=号，=-号（合去），因此f(x)与 g(x)的图象有互相平行的切线，B正确；在同一平面 直角坐标系中，作出f(x),g(x)的图象如图所示，观 察图象可知C错误，D正确. 1f(x)=x2-1 一g(x)=lnx 16,名.提示：由题意可得g)=32-2ax十b,g) 6x一2a,因为点(1，一3)为g(x)的“拐点”，所以g(1)= 0,解得a=3.由g(1)=一3，得b=4,所以h(x)= sinx十2cos2x=sinx-2sinx十2.令sinx=t,则t∈ [-1,1],即求y=-2:+t+2,t∈[-1,1]时的最大 值.由二次函数开口向下及对称轴=}∈[一1,1]可 知，当：=十时，y有最大值名故函数A(x)的最大值 为好 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 真题演练答案 1C提示：设()=e(0<<0.1D,()=乙0<