第4章 数列单元学能测评-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

第四章 单 时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.在等差数列{an}中，已知a5=3,ag=6,则a13 等于(. A.9 B.12 C.15 D.18 2.已知在数列{an}中，an≠0，若a1=3,2am+1一an =0,则a6等于(). A是 &影 C.16 D.32 3.在等差数列{an}中，a1十a4十a,=39,a2十a5十 ag=33,则a3十a6十ag等于(). A.30 B.27 C.24 D.21 4数列a}满足a十3a十3a十+3a.-受， 则an等于(). 1 1 A.3X2 B.2X3 c D. 5.若两个等差数列的前a项和之比为双，则 这两个数列的第9项之比是( A号 B号 cs 6.等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sm,当 首项a1和d变化时，a2十ag十a11是一个定值， 则下列各项中也为定值的是(). A.S7 B.Se C.S13 D.S15 7.已知数列{a}的通项公式am=logn十(n∈ 12 N"),设其前n项和为Sm,则使Sn<一4成立 的最小自然数n等于(). A.83 B.82 C.81 D.80 第四章数列 元学能测评 满分：150分 华大基础教育 8.给出数阵： 01…9 12…10 ξξ：： 9… …… 其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有 数的和为( A.495 B.900 C.1000 D.1100 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分) 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sg=0, a4=8,则(). A.S,=2n2-6n B.S =n2-3n C.an=4n-8 D.an=2n 10.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各 1121231 项按如下规律排列：2,3,3,4,4,4’5 号号…品，mnm≥m m N*),….则下列运算和结论正确的是(). A.da B.数列a1,a2十a3,a4十a5十a6,a?十ag十ag十 a10,…是等比数列 C.数列a1,a2十a3,a4十a5十a6,a7十a8十ag十 a10,…的前n项和为T,=n十 4 D.若存在正整数k,使S<10,Sk+1≥10，则 5 ak一7 11 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺A( 1l.在数列{an}中，若a品-a品-1=p(n≥2，n∈N*, p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列对 “等方差数列”的判断中正确的是(). A.若{an}是等差数列，则{a品}是“等方差 数列” B.{(一1)”}是“等方差数列” C.若{an}是“等方差数列”，则{a}(k∈N*,k 为常数)也是“等方差数列” D.若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列， 则该数列为常数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分： 将答案填在题中横线上) 12.已知在等差数列{an}中，a3=7,a6=16,将此 等差数列的各项排成如下三角形数阵： a asasas 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是 13.若无穷数列{an}满足：只要ap=ag（p,q∈ N*),必有ap+1=ag+1,则数列{an}称为“和谐 递进数列”.若{an}为“和谐递进数列”，且a1= 1,a2=2,a4=1,a6十a8=6,则a7= S2022= ·（本题第一空2分，第二空 3分) 14.已知数列{a.}的前n项和为Sm,点（n, 3)在直线y=x上若6，=(-1a, 数列{b.}的前n项和为Tm,则满足|Tm|≤20 的n的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知正项等差数列{an}的前n项和为 Sn, ,an十log3bn=0.请从①a5=14, S=40;②a1=2,且a1,a2一1，ag成等比数列 12 浙江专用)》 这两个条件中任选一个填在上面的横线上， 并完成下面的问题. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列6，的前n项和为工.，证明：工<是 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 答计分. 16.(15分)去年某地产生的生活垃圾为20万吨， 其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃 圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总 量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾 量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活 垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an},每年 以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成 数列{bn). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从 今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾 总量的计算公式，并计算从今年起5年内 通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 0.1万吨). 参考数据：1.054≈1.216,1.055≈1.276， 1.056≈1.340. 17.(15分)已知数列{an}的前n项积Tn=2-m, 数列{bn}为等差数列，且b1=2,b2n=2bn十1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sm· 18.(17分)已知各项全不为0的数列{an}的前n 项和为S,且S=7aa1(n∈N),其中 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)试求所有的正整数m,使得am+1amt2为数 am 列{S}中的项. 第四章散列么出 19.(17分)设数列{am}的前n项和为Sm,且Sm= n十2数列6，}满足6-区，且对任意正整数 春有么V成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式. (2)证明：数列{bn}为等差数列. (3)令cn=2√2bn一3，问是否存在正整数m, ,使得cm,Cm+5,c成等比数列？若存在， 求出m,k的值；若不存在，请说明理由. 13重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( 故≥g(0=g1)=号 故x的取值范用为[号，十∞)。 第四章单元学能测评 1.A提示：公差d9g-63-, 9-54 as=a十4d=6+4X是-9， 2.B提示：因为21-a,=0,a≠0，所以2= an 所以数列(a是首项a=3,公比g=之的等比数列.。 所以a=a91=3x(2）. 所以=3×（合）=是 3.B提示：，a2+a5+as=(a1+a4+a)+3d=33, .d=-2. ∴.a3十a6十ag=(a1十a4十a)+6d=39+6X(-2)=27. 4B提示：令n=1,得a1=号，排除A,D,令n=2,得 aw=合，排除C 5.C提示：由题意可知两个数列{an},{b.}的前n项和 3x满足字-汽尝-器-器-景 6.C提示：由题意知a2十ag十a1=3a1十l8d=3(a1十 6ad0=3a,为定值，则SB=13a,+a)-13a,也为 2 定值 7.C提示：由题意知Sn=log31-log32+log32-log33 +…+log3n一log3(n+1)=-log3(n+1)<一4，解得 n>34-1=80. 8.B提示：设b=0十1十2+…+9，b2=1十2十3+…十 10,…,b10=9+10+…+18, 则{bn}是首项b=45,公差d=10的等差数列， 16 浙江专用) S0=45X10+10X9×10=90. 2 9.AC提示：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 3a1+3d=0,a1=-4, 解得 (a1+3d=8, d=4. .∴.a.=-4+(n-1)×4=4n-8, S,=n×(-4)+nn21D×4=2r-6n. 2 10.ACD提示：在A中，分母为2,3,4，…的分数分别有 1,2,3,个， .以2,3,4,5,6,7为分母的数共有1+2+3+4+5+ 6=21(个). ∴aa=日，a=号au=是，A正确， 1 在B中，a=号a十a=号-1，a十a十a=号 .1 多…六+品+叶如am2. 3 m “71,号，2…，”2构成首项为日，公差为号的 等差数列，B错误。 在C中，由B的结论可得T.=mX令+2”。卫× 2 =心十，C正确。 2 4 在D中，由C的结论可得工--号<10，T 6十6-2>10，∴a的分母为7. 4 2 由7-學>10，-号-咎-9<10， 得a=乏，D正确， 11.BCD提示：在A中，取an=n,则{an}是等差数列，且 a=n2,则a2+1-a品=(n十1)2一n2=2m十1，不是常 数.∴{a}不是“等方差数列”.∴.A错误 在B中，a-a21=[(-1)"]2-[(-1)-1]2=1-1= 0,是常数，{(-1)}是“等方差数列”. B正确。 在C中，由{an}是“等方差数列”，得a品一a层-1=p,从 而a=a+(n-l)p.∴.a+i)一a=[a1+(kn十k -1)]-[a十(kn-1)p]=kp,是常数 .{a}是“等方差数列”..C正确. 在D中，由{an}是等差数列，可设公差为d,则am一 an-1=d.又{an}是“等方差数列”，a品-a品1=力. ∴a2-a2-1=(an十ar-1)(am-a-1)=(an十an-1)d=p, 从而(a+1十an)d=p,① 则(an十am-1)d=p.② ①一②，得2d·d=0,解得d=0. .{an}是常数列. D正确. 12.598.提示：第1行有1项，第2行有2项，第3行有 3项，故前19行共有19×1+19X18×1=190(项)， 2 第20行第10项为数列{an}中的第200项. :a=7,a6=16,÷公差d=as二8=167-=3. 6-3 3 ..am=a3+(n-3)d=7十3(n-3)=3n-2. ∴.a200=3×200-2=598. 13.1;4718.提示：因为a1=a4=1,且a2=2,所以a2= a5=2,a3=a6,a4=a7=1,a5=as=2.又a6十ag=6, 可得a6=4,即a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=2, a6=4,…,所以数列{an}是以3为周期的数列.所以 S2022=674×7=4718. 14.18.提示：由题意知m3导7则5=3”.当 2 n=1时，a1=S1=2;当n≥2时，am=Sm一Snw-1=3n 1,而a1=3×1-1=2,满足此式.所以a.=3n一1.所 以b.=(-1)an=(-1)"(3n-1),所以Tn=-2+ 5一8+11一…+（一1）"(3n一1).当n为奇数时，Tn= 32-(3m-1D=-3m,当n为偶数时，工. 所以要使T.≤20，即3”士1<20或<20，解得 参考答案与提示次出出 n≤13且n∈N*,故满足|Tn≤20的n的最大值为13. 15.方案一选择条件①. (1)设等差数列{an}的公差为d. 由S,=5a,十as）_5X2a=5a,=40,得a4=8. 2 2 因为45=14，所以d=5,0=3, 2 所以am=a3+(n-3)d=3n-1. (2)因为am十logb=0, 所以a=(传)》”-（号）=号×(7)》， 所以数列{6，}是首项为号，公比为7的等比数列， 所以T,=】 -(岁]-（门条 1一27 方案二选择条件②. (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a1=2,且a1,a2一1，a3成等比数列， 所以(a2-1)2=a1a3,即(2+d-1)2=2(2+2d), 解得d=3或d=-1(舍去). 所以am=2+3(n-1)=3n-1. (2)同方案一 16.(1)由题意知，数列{an}是以20×(1+5%)为首项， 1十5%为公比的等比数列，数列{bn}是以6+1.5= 7.5为首项，1.5为公差的等差数列， 则an=20×(1+5%)”,b.=6+1.5n (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量 为Sm, 则Sn=(a1-b)+…+(an-bn) =(a1+a2+…+an)-(b1十b2十…+bn) -20X1.52X01.05）-受.5+6+1.5m 1-1.05 =420×1.05-是0-2a-420, 当n=5时，S5≈63.5， 17 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 所以从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 约为63.5万吨. 17.(1)因为数列{an}的前n项积Tn=2m-2m, 所以a1a2·…·an=22-2m, 当n≥2时，a1a2…an-1=2r--2w-D, 两式相除，得an=2-20-[r-1)-2-1]=22-3 当n=1时，a1=T1=21也满足上式， 所以an=22m-3. 因为数列{bn}为等差数列，且b=2,b2n=2bn十1， 所以b2=2b1+1=5, 所以数列{b.}的公差d=5一2=3. 所以bn=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)得cn=anbn=(3n-1)·22m-3, 所以Sn=2×21+5×2+…+(3n-1)·22m-3, 22Sn=2×2+5×23+…+(3n-1)·22m-1, 所以-3Sn=1+3×(2+23+…+22m-3)-(3n-1)· 22m1=-(3n-2)·22m-1-1, 所以5=3m2.21+子 3 18.1由8=7a0:可知， 当n=1时，a=合a1a,a=2 当心2时，S-51=号a1-2a-1a, 1 'd.-2d.(axtl-dx-1). an≠0，.an+1-ar-1=2(n>2). ∴数列{an}为等差数列. ∴.2d=2,即d=1.∴.an=a+(n-1)d=n. 当n=1时，a1=1也满足a.=n. .数列{an}的通项公式为an=n. (2)a=n,∴S.=1+2+3+…+m=nn1D 2 :datdat2=n+lDm+2_t+3m+2=m叶2+3， am m m m 18 浙江专用) 又：2必为正整数，∴m=1,2. m 当m=1或2时，m十2+3=6. m 由S.=nn,1卫=6，得n=3, 2 即m+1at为数列{S.}中的第3项，故m=1,2. am 19.(1因为数列a.)的前n项和S.一n开2 所以当n=1时a=子； 当n≥2时，a=8-S=升2-号 2 (n十1)(n+2)' 当n=1时，上式也成立， 2 所以数列{a.}的通项公式为a,=(m十1)(n十2) 2)因为对任意正整数m都有6，b成等比 数列， 所以a61=士，即61-a十1Da十2. 所以b+1b+2=n+2)(n+3)】 2 两式相除得会即会斜务 n+3n+1 当”为奇数时，因为命一合， 所以6-合a+1)-号+1D, 当n为偶数时n一号， 因为6bs=2X3,所以g=3y2, 2 2 所以么-号a+1)-号(a+1》. 综上所述，6=受(n+1. 因为61-a-号(+2)-号(a+1)-号。 所以数列{b}为等差数列. (3)由2)知-号(+1D, 所以cm=2√2bn-3=2(n十1)-3=2n-1. 所以cm=2m-1,Gm+5=2(m十5)-1=2m十9，c4=2k-1. 假设存在正整数m,k,使得cm,cm+5,C成等比数列， 则(2m十9)2=(2m-1)(2k-1), 整理得k=m+10十2一 50 因为m,k都是正整数，所以2m一1=1,5,25，即m= 1,3,13,对应的k=61,23,25. m=1, m=3, m=13, 所以存在 或 或 使得cm, k=61 k=23 k=25, cm+5,c成等比数列. 第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 真题演练答案 1.A提示：在五角星的一个角逐步露出水面的过程中， 面积是逐渐增大的，且增长速度越来越快，故瞬时变化 率S(t)也应逐渐增大；接着面积突然增大，然后增长 速度变慢，但仍为增函数，故瞬时变化率S(t)也应突 然变大，再逐渐变小.整个过程都是S(t)>0,当五角 星全部露出水面后，S(t)的值为常数，即S(t)=0,符 合上述特征的只有选项A. 2.D提示：易知直线l的斜率存在，设直线1的方程为y= x+b,则圆心到直线1的距离为b1=5. √k2+15 ① 设直线l与曲线y=√元的切点坐标为(xo,√) (x0>0), y-归8-a △x 1 m/+△x+2E 参考答案与提示么出 则2左@ √=kxo十b,③ 由②图可得6=号V,将6=2石，k=,代入 2x0 ①得西=1或=一号（舍去）， 所以及=6=号，放直线1的方程为y=分x十分 练习册答案 1.C 提示：根据平均变化率的定义可知是 (2a+b)-(a十b=a=3. 2-1 2.C提示：由于(2)=2，则四K2)二2-)- h f2)=2 3.A提示：对于甲，小明离家不久发现自己的作业忘在家 里了，须回到家里取，这时离家的距离为0，对应图象④. 对于乙，小明乘车去学校，车匀速行驶直到学校，但是 途中遇到了一次交通堵塞，则前、后两段时间所对应的 图象为两条平行直线的一部分，交通堵塞时离家的距离 必为一定值，对应图象为水平直线的一部分，对应图象①. 对于丙，小明出发后减速缓慢行驶说明图象上升得越 来越缓慢，对应图象③. 对于丁，小明出发后，缓慢行驶说明图象缓慢上升，后来 赶时间不断加速，此时函数图象上升较快，对应图象②. 4.ABC提示：对于A,B,,f(x)在[a,b]上的平均变化 率是f⑥)二f@,g(x)在[a,b]上的平均变化率是 b-a gb)二g@,由题图可知，fb)=g(b),fa)=g(a), b-a :fb)二f@=b)二g@,A,B错误； b-a b-a 对于C,D,函数f(x)(g(x)在x=处的瞬时变化率 即为函数f(x)(g(x)在x=处的导数，即函数 f(x)(g(x)在该点处的切线的斜率，由题图知，C错 19