4.3.2 等比数列的前n项和公式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

4.3.2等比数列 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型1](2025·江苏常熟中学期中)设等比数 列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则 a?+a8十ag=( A日 R-8C餐 DS 2.[题型1](2025·淅江杭州学军中学调考)设 Sn为等比数列{an》的前n项和且Sm=3+1 A,则A=(). A.-3 B号 C.-3 D.3 3.[题型1、3](2025·湖北黄冈中学期中)（多选） 在公比g为整数的等比数列{an}中，Sm是数列 {an}的前n项和，若a1十a4=18,a2十a3=12, 则下列说法正确的是(). A.q=2 B.数列{S十2}是等比数列 C.Sg=510 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列 4.[题型1(2025·山西运城模拟)已知等比数列 {an}的前n项和为Sm,且满足a2,2a5,3a8成等 差数列，则受=（ A或 B8或3 c是 D吕或号 5.[题型1、3](2025·广东实验中学检测)在等比 1 数列{a}中，若a1=2,a4=一4，则公比g= ,la1|+a2|+…+|am|= 6.[题型2](2025·湖南长郡中学月考)记等比数 列{an}的前n项和为Sm,若S4=3,Sg=9,则 S12= 第四章数列 的前n项和公式 乃综合提能练 测试时间：30分钟 7.[题型1、3]已知数列{an}是等比数列，a3=1, as=g,则aa十aa十…十aat1=( A.16(1-4-m) B.16(1-2-n) c1-4) D.32(1-2) 3 8.[题型3](2025·河南郑州外国语学校期中)设 等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sm,前 n项积为7且a>1,aa>1,2g二<0，则 A.a6a8>1 B.0<q<1 C.S.的最大值为S D.Tm的最大值为T? 9.[题型3]（多选）已知数列{an}满足a2=3, ana+1=3”,Sn为数列{an}的前n项和，则 () A.数列{an}是等比数列 B.数列{a2n}是等比数列 C.S222=2X(31o11-1) D.数列{an}中存在不相等的三项构成等差 数列 10.[题型6](2025·浙江金华一中月考)已知数 1,n=1, 列{an}满足an= 定义使 log.(n十1)，n≥2， aa2g…a%(k∈N*)为整数的k叫作“幸福 数”，则区间[1,2022]内所有“幸福数”的和为 11.[题型5]如图所示的一系列正方形图案称为 谢尔宾斯基地毯.在这4个大正方形中，若着 色的正方形的个数依次构成一个数列{an}的 前4项，则数列{an}的一个通项公式为 ■ 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺A( 12.[题型3、4](2025·湖北武汉十九中高二期 末)设等比数列{a}的前n项和为Sn,且a+1= 2Sm+1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在a,与a+1之间插入n个实数，使这 n+2个数依次组成公差为d,的等差数 列，设数列侵}的前m项和为工，证明： Tg 13.[题型1、3](2025·湖北部分学校高三联考) 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}的前n项 和为Sn,2a1=b1=2,a2十a8=10,」 在①2S。=b,-1,②6.=2这两个条件中任 选一个，补充在上面的横线上，并解答下面的 问题. (I)求数列{am}和{bn}的通项公式； (2)求数列{an十bn}的前n项和Tm. 10 浙江专用)》 C 拓展拔高练 测试时间：20分钟 14.[题型1、3]（经典·北京大学强基计划招生考 试)已知数列{an}满足a1=1,a2=9,且对任 意n≥1，有an+2=4an+1一3an-20,其前n项 和为Sm,则函数Sn的最大值为(). A.28 B.35 C.47 D.以上答案都不对 15.[题型3、6]（经典·清华大学中学生标准学术 能力诊断性测试)已知数列{an}满足a1=1, 且a1a2a3…an=n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； a,m-1)n+1D(m22) (2)设bn= 2m·n 且数列{b.)》 an(n=1), 的前n项和为S.,若S≥3一λ(n十2)恒成 立，求入的取值范围.重难点手册高中数学进择性必修第二尺UA( '.2ln d.-2ln d-1+2 In a-:=In 5. :2(Ina-2hna-)-(Ina--2hna-2)-In5. 令a=-In1-2na,则261-a=lh5, 且6=lha-2aa=lh5. .2(b.-1-ln5)=b.-2-ln5. 又b-ln5=0, b=In 5.In dot In a-In 5. In csI oIn 5. 4.3.2等比数列的前n项和公式 真题演练答案 1.B提示：当a1<0,q>1时，an=a1q1<0,此时数列 {S}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S}递增 时，有S+1-Sn=a+1=a1q">0,若a1>0,则q>0 (n∈N*),即q>0;若a1<0,则q<0(n∈N"),不存 在.所以甲是乙的必要条件 a1q=1, 2.AD提示：由题意得 结合q>0, a十aq+aq=7, [a1=4,「a1=9, 解得 1或 （舍去)，故A正确. 1 (9=2(9=-3 a,=a1g=4X(3)‘=冬，放B错误。 S=1)4×（1-32）头，故C错误 1-q 1号 a=4×(号）=2,5= x[-(-8 1- 2+3, 则an十Sn=23-n十8-23-=8，故D正确. 35,240(3-法3). 提示：依题意得S=120×2= 12 浙江专用) 240,S2=60×3=180. 当n=3时，共可以得到5dm×6dm,号dm×12dm, 5 10dmX3dm,20dmX号d恤4种规格的图形，且5× 6=30,号×12=30,10×3=30,20×号=30，所以 S3=30×4=120; 当n=4时，共可以得到5dm×3dm,号dm×6dm, 号dn×12dn,10dm×号dn,20dn×是dn5种规 格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的 种数为5，且5×3=15，号×6=15，号×12=15,10× 号=15,20×-15，所以5=15×5=75： 所以可归纳为S=婴0×+1)=240+少 2 所以2s=240(1+是+会+…+2+"去) = 2m ① 专×2s=40(会+是+会+…++) 2 ② ①-®得号×2s-201+++安+… 1- 240(号-%+3). 所以2s=240(3-"去）m 4.(1)设等比数列{an}的公比为q(q>1), a2十a4=a19十a1q=20, 则 （a3=a1q=8, 整理得2g-5q十2=0. 因为q>1,所以q=2,a1=2. 故数列{an}的通项公式为an=2·2”-1=2m. (2)由于(-1)1aam+1=(-1)-1×2"×2+1= (-1)m-1X22+1, 故a1a2-a2ag十…十(-1)n1aan+1 =23-25+27-29+…十(-1)m-1X22+1 =21-(-22) 1-（-22) =g-(-1少2 5· 5.(1)由十=6d得1+g=6d,解得g=2(负值 舍去) 所以c+1=4cn.所以cn=4"1. 所以an+1-an=4-1. 利用累加法可得a,=Q十1+4十…十4-2=4+2 3 当n=1时，a1=1符合上式， 故数列{a.)的通项公式为a,=4,十2 3 (2)由c+1= 得g-会，g= On+2 b3’c2 6,…,= Cn 合运用累乘法得6然二-1宁（安一品） (n≥2)， 当n=1时，c=1也符合上式， 所以6=1培（公6）》 所以G十c2十c3十…十cn -) 由6=1，d>0得6>l,所以1-6<1 所以a十a+a十…+c,<1+日m∈N. 练习册答案 1.A提示：方法一由题意知，数列{a}的公比不为 参考答案与提示次超 一1，由等比数列前n项和的性质(4)知S,S6一S3, Sg一S成等比数列，又a十ag十a=S,一S,所以S3, S6一S,a?十a8十ag成等比数列，从而a?十ag十ag= 方法二因为S=S十Sg,所以g=S。S= 日，所以+as+a=S-s=s=8×(-日)月 2.D提示：设等比数列{a.}的首项为a1,公比为g,则Sn= 92片-g片9≠10，汉=1-A= 33-A,所以A=g2=8 3.ABC提示：a1+a4=18,a2+a3=12,.a1(1+ g)=18,a1(q十q)=12,又公比q为整数，故a1=q= 2,故A正确 易得a,=2",S.=2-?)=21-2,S十2= 1-2 2+1,∴.数列{Sn十2}是首项为4，公比为2的等比数 列，故B正确， S8=29-2=510,故C正确. lgan=nlg2,∴数列{lga}是公差为lg2的等差 数列，故D错误。 4.A提示：由已知得a2+3ag=4a5,即a2+3a2g5= 4a:t,即3对-4女+1=0，解得q=1或=3 当g=1时9=1,8=2S,则受= 3a1(1-g9) 3 4 1-q 3 5.-2;21-2.提示：因为a4=a1g,代入数据解得 g3=一8，所以q=一2.因为等比数列{|aI}的公比为 1gl=2,则a=号×2，所以a+ae+a++ 13 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( 1a=21+2+2++21)=22-1)=21-7 6.21.提示：等比数列{an}的前n项和为Sm,S4=3, S8=9,.S4,S8一S4,S2一S8成等比数列，即3,6， S2-9成等比数列，∴.(S2-9)X3=36..S2=21. 7.C提示：由a=1,a6=8得g-g-8,所以g= 合，则a=号=4所以a.=a=4×(合)》”- (2)）.所以aa+1=（3)3×(2)2 (合).所以2=子所以数列(aa1}是一个 an-1an 首项为a1a=8,公比为的等比数列.所以a1a:十 81-(4)] a2a3+…+anam+1 1- _32(1-4Γ). 3 8.B提示：若q<0,因为a1>1,所以a6<0,a>0,则 a6a<0,与a6a>1矛盾；若q≥1，因为a1>1,所以 a>1,a>1,则2g>0,与8二<0矛盾.所以0< 91,放B正确因为2二<0，所以a,>1>a>0,所 以a6a8=a∈(0,1)，故A错误.因为an>0,0<q<1, 所以S=产g递增，放C错误因为≥7时， a.∈(0,1)，1≤n≤6时，am>l,所以Tm的最大值为 Ts,故D错误 9.BC提示：因为2=3，=1，所以数列{a}不是等比 数列，故A不正确；因为a2=3,aa+1=3”,所以a1=1, a+2=0a+1am+2=3m+1 an anan+l 3”=3,所以数列{a2-1}是以a1=1 为首项，3为公比的等比数列，则a2m-1=3w-1,数列 {a2m}是以a2=3为首项，3为公比的等比数列，则a2m= 3m,故B正确；S2o22=(a1十a3十a5十…十a2o21)十(a2十 a4十a6+…十a2m2）=3o1-1+3X(301-1D-= 2 2 14 浙江专用) 2×(31o1一1)，故C正确；假定数列{an}中存在不相等 的三项构成等差数列，令此三项依次为3“，3,3”，且 0≤k<l<m,k,l,m∈N,则有3+3m=2X3台3-‘十 3m-‘=2,而m-≥1，即3m-≥3，又3-1>0，因此3-4 十3m=2不成立，所以数列{an}中不存在不相等的三 项构成等差数列，故D不正确. 10.2036.提示：当n≥2时，an=log(n十1)= kg,所以aaa…a=1×0×贤等×…X lg n lg+1D-loge(k+1).若a1aaga:为整数，则十 lg k 1=2",即k=2一1，所以[1,2022]内所有“幸福数” 的和为2-1+2-1十…十20-1=21一2)-10 1-2 =2036. 11.a.=80-1 S7.提示：由题图分析可知a1=1,a2=41× 8+1=8十1，a3=a2×8十1=82+8+1，依次类推， an=8”-1十82十…十1.因为数列{8m-1}是首项为1， 公比为8的等比数列，所以a,=二g-8”7己 7 12.(1)an+1=2Sn+1,① 当n≥2时，an=2Sa-1十1，② ①-②，得an+1-an=2an,即a+1=3a(n>2), 所以数列{am}是公比为3的等比数列. 又a2=2a1十1=3a1,得a1=1, 所以an=1·3-1=3-1. (2)由题意知d.=m+1一4=3”-3m-1_2.3-1 n+1 n+1 n十1， 所以72品 所以工=2及3+23g+23++2Xg十 2 n+1 2X3,③ 号.=2及g十2g+…+2x3品十2Xg十 2 3 n n+1 2X3m，④ -@，得号.=1+2X3十2X+十2X3 1- -=1+ 2×3n ×()波=被 所以工-点< 13.方案一选择条件①. (1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a2十a8=10,所以2a1+8d=10. 又2a1=2,所以a1=1,d=1. 所以am=1十(n-1)X1=n. 由2S.=6,-1,得S.=26,-1), 当n≥2时，bn=Sn-Sm-1=2(bn-1)-2(bn-1-1),即 bn=20m-1, 所以数列{6}是一个以2为首项，2为公比的等比数列， 所以bn=2X2”1=2m. (2)由(1)知an十bn=n十2m, 所以T.=(1十2)十(2十2)+…十(n十2") =(1+2+…+n)+(21+22+…+2m) =n(n+1)+2(1-2") 2 1-2 =21-2+艺+受 方案二选择条件②， (1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a2+ag=10,所以2a1+8d=10. 又2a1=2,所以a1=1,d=1. 所以an=1+(n-1)X1=n. 因为bn=2a,所以b=2a. 又a1=1,b1=2, 所以入=1，所以bn=2=2". 参考答案与提示么出 (2)同方案一. 14.A提示：因为am+2=4an+1一3am一20，所以a+2一 a+1-10=3(a+1-am-10),故a+1-an=10-2X 31,则当n≥3时，数列为单调递减数列，可求得 a3=13,a4=5,当n≥5时，an<0,则Sn的最大值为 S4=28. 15.(1)已知a1a2a3…an=n(n∈N*), 当n≥2时，有a1a2…an-1=n-1. 两式作商，可得当≥2时，a,一n—气' 又由a=1,得an= 元m≥2， 1(n=1). (2)当n≥2时，b,=21·(n-1)(n十1) -=n+1 2m·n 2m 当n=1时，6=a=1=号. 所以对任意的n∈N~,均有b,=”1 2n 8=景+是+叶，① 2 ①-@，得受=1+++…+是-=1+ 1- 求得S.=3一2六-2， 1n十1 由S≥3-1(n+2)得≥(m+2)·2 n十3 n+3 令g(m0）=(m+2)·2' n+4 则D-n+32-2》+<1 g(n) n+3 2(n+3)2 (n+2)·2m 因为g(n)>0, 所以有g(n十1)<g(n),即随着n的增大，g(n)减小， 15 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( 故≥g(0=g1)=号 故x的取值范用为[号，十∞)。 第四章单元学能测评 1.A提示：公差d9g-63-, 9-54 as=a十4d=6+4X是-9， 2.B提示：因为21-a,=0,a≠0，所以2= an 所以数列(a是首项a=3,公比g=之的等比数列.。 所以a=a91=3x(2）. 所以=3×（合）=是 3.B提示：，a2+a5+as=(a1+a4+a)+3d=33, .d=-2. ∴.a3十a6十ag=(a1十a4十a)+6d=39+6X(-2)=27. 4B提示：令n=1,得a1=号，排除A,D,令n=2,得 aw=合，排除C 5.C提示：由题意可知两个数列{an},{b.}的前n项和 3x满足字-汽尝-器-器-景 6.C提示：由题意知a2十ag十a1=3a1十l8d=3(a1十 6ad0=3a,为定值，则SB=13a,+a)-13a,也为 2 定值 7.C提示：由题意知Sn=log31-log32+log32-log33 +…+log3n一log3(n+1)=-log3(n+1)<一4，解得 n>34-1=80. 8.B提示：设b=0十1十2+…+9，b2=1十2十3+…十 10,…,b10=9+10+…+18, 则{bn}是首项b=45,公差d=10的等差数列， 16 浙江专用) S0=45X10+10X9×10=90. 2 9.AC提示：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 3a1+3d=0,a1=-4, 解得 (a1+3d=8, d=4. .∴.a.=-4+(n-1)×4=4n-8, S,=n×(-4)+nn21D×4=2r-6n. 2 10.ACD提示：在A中，分母为2,3,4，…的分数分别有 1,2,3,个， .以2,3,4,5,6,7为分母的数共有1+2+3+4+5+ 6=21(个). ∴aa=日，a=号au=是，A正确， 1 在B中，a=号a十a=号-1，a十a十a=号 .1 多…六+品+叶如am2. 3 m “71,号，2…，”2构成首项为日，公差为号的 等差数列，B错误。 在C中，由B的结论可得T.=mX令+2”。卫× 2 =心十，C正确。 2 4 在D中，由C的结论可得工--号<10，T 6十6-2>10，∴a的分母为7. 4 2 由7-學>10，-号-咎-9<10， 得a=乏，D正确， 11.BCD提示：在A中，取an=n,则{an}是等差数列，且 a=n2,则a2+1-a品=(n十1)2一n2=2m十1，不是常 数.∴{a}不是“等方差数列”.∴.A错误 在B中，a-a21=[(-1)"]2-[(-1)-1]2=1-1= 0,是常数，{(-1)}是“等方差数列”. B正确。