4.3.1 等比数列的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

第四章数列 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 基础过关练 测试时间：20分钟 A.数列{an}一定是等差数列 1.[题型1](2025·浙江杭州二模)若等比数列 B.数列{an}一定是等比数列 {an}满足a1十a2=2,a1一a3=3,则数列{an}的 C.数列{an}可以既是等差数列又是等比数列 公比等于( D.数列{an}可以既不是等差数列又不是等比 A-或号 B或-司 数列 7.[题型5](2025·江西新余一中期中)在数列 c- {an}中，对任意n∈N',都有a+二a=k(k antian 2.[题型1、3](2025·山东济南长清一中期中)设 为常数)，则称数列{an}为“等差比数列”.下列 数列{an}是公比为q(q>1)的等比数列，若a2o19 对“等差比数列”的判断正确的是(). 和a2o20是方程4x2一8x十3=0的两个根，则 A.k可能为0 a2021十a2022=(. B.等差数列一定是“等差比数列” A.18 B.10 C.25 D.9 C.等比数列一定是“等差比数列” 3.[题型2](2025·重庆巴蜀中学月考)在各项均 D.通项公式为an=a·b十c(a≠0，b≠0,1)的 为正数的等比数列{a,}中，若十a1≤2，则下列 数列一定是“等差比数列” a 8.题型1、3]（多选）已知等比数列{an}满足a1>0, 结论中正确的是( ) 公比q>1,且a1a2…a23<1,a1a2…a2o24>1,则 A数列{an}是常数列 (). B.数列{a.}是递减数列 A.a2024>1 C.数列{an}是递增数列 D.以上都不正确 B.当n=2022时，a1a2an最小 C.当n=1012时，a1a2…an最小 4.[题型5](2025·江苏华罗庚中学调研)十二平 均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发 D.存在n<1012,使得ana+1=a+2 明的.十二平均律的数学意义是：在1和2之间 9.[题型1]（多选）已知a1,a2,a3,a4成等比数列， 插人11个数，使包含1和2的这13个数依次成 且公比q≠1.将此数列删去一个数后得到的数 递增的等比数列，则插入的第8个数为( 列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的值 可能是(). A号 B.4 c号 D3/128 A1+⑤ B.-1+5 5.[题型3](2025·广东佛山调考)已知在等比数 2 2 列{an}中，asa1=4a,数列{bn}是等差数列，且 C.1+3 2 D.1+3 2 a=b,则bs+b= 10.[题型1、3]已知数列{am}是公差d不为0的 、乃综合提能练 测试时间：40分钟 等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连 6.[题型2]若数列{an}对任意n≥2(n∈N*),满足 (an-am-1-2)(a-2a-1)=0,则(）. 续三项，则士的值为 7 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 11.[题型1、2]各项均为正数的等比数列{an),其 14.[题型2、4幻(2025·湖南师大附中单元检测) 公比q≠1，且a3a?=4,请写出一个符合条件 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n一an. 的数列的通项公式：an= (1)证明：数列{an一1}是等比数列，并写出 12.[题型1、3](2025·淅江萧山中学单元检测) {an}的通项公式； 已知等比数列{an}的公比为q,其前n项的积 (2)设bn=(2-n)(am一1)，如果对任意正整 为Tm,且满足a1>1,a9a1o-1>0,9-1< a1o0-1 数，都有6+子≤，求实数：的取值 0.给出下列结论：①0<q<1;②a9一a1o1<0; 范围. ③T1的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立 的最大自然数n=198.其中正确的结论是 (填序号) 13.[题型2、4幻已知Sn是等差数列{an}的前n项 和，am>0,S3=15,公差d>1,且 .从 ①a2-1为a1-1与a3+1的等比中项，②等 比数列{bn}的公比为q=3,b=a1,b2=a4这 两个条件中选择一个补充在上面的横线上， 使得符合条件的数列{an}存在并作答， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{，1}的前n项和为T.,证明： C拓展拔高练 测试时间：20分钟 15.[题型4]（经典·北京大学强基计划招生考 试)满足对任意n≥1，n∈N有a+1=2m一3a 且严格递增的数列{an}(n≥1)的个数为 (). A.0 B.1 C.无穷多个 D.以上答案都不对 16.[题型4幻（经典·清华大学中学生标准学术能 力诊断性测试)已知数列{an}满足a1=4, a2=10,a品√ar-2=5a-1,n≥3，则lna2o9 in doo 81 1 n(n+1)(n+1)(n+2) 1 +a+2S.=1X2-(n+1)(n+2 <2 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 真题演练答案 1.C提示：因为函数f(x)=a.x2十b,所以f(s一t)= a(s-t)2+b,f(s)=as2+6,f(s+t)=a(s+t)2+6. 为f(s一)，f(s),f(s十t)成等比数列，所以f(s)= f(s-t)f(s+t),(as2+6)2=[a(s-t)2+6][a(s+ t)2+b],化简得-2a2s2+a2t+2abt2=0.所以t=0 或2as2-a=2b,易知点(s,t)的轨迹为一条直线和一 个双曲线。 2.D提示：设等比数列{a}的首项为a1,公比为q,由题 a1+a2+ag=168,a(1+q+2)=168, 意可得 即 a2-a5=42, (a1q(1-q)=42, [a1=96, 解得 所以a6=a1q=3. 1 9=2’ 3.①③④.提示：因为anSn=9,所以a1S1=a=9,又因 为an>0,所以a1=3,所以a2S2=a2(a1十a2)=9,即 8十3a-9=0,得a2=-3+35_3W5,-)<3,所 2 以①正确：当≥2时，由S.=品得S1=（≥ 2),两式作差可得a,=9-9(m≥2)，即a= an an-1 9(a.1一a2(m≥2)，整理得a=9。(n≥2)，若数 anan-1 an-1 9 列（口.）为等比数列，则当n≥2时，。为常数，即数 列{an}从第2项起各项均为同一个常数，易知当n=3 时不成立，所以②不正确；因为anSn=a+1S+1=9,所 以，-之，由数列。的各项均为正数，得安> 参考答案与提示次超 1,所以an>a+1>0,所以③正确；对于④，若数列{an} 的所有项均大于等于0，取m>9000,由a,≥0且 an>an+1>0,得Sn>an>900,所以anSm>9,与已知 矛盾，所以④正确， 4.(1)设数列{a.}的公比为q,由题意得2g=4g+16,即 q-2q-8=0. 解得q=一2（舍去）或q=4. 因此数列{an}的通项公式为an=2×4”-1=22m-1. (2)由(1)得bn=(2m-1)log22=2n-1, 因此数列{b}是以1为首项，2为公差的等差数列， 故数列{6.}的前n项和为n十nn1卫×2=. 2 81油经+=2a十1，得2S+2=2aa+,① 所以2Sn+1+(n+1)2=2a+1(n+1)+(n+1),② ②-①，得2a+1+2n+1=2a+1(n+1)-2ann+1, 化简得a+1一an=1, 所以数列{an}是公差为1的等差数列. (2)由(1)知数列{am}的公差为1. 由a号=a4ag,得(a1+6)2=(a1十3)(a1+8), 解得a1=一12. 所以S。=-12+n(n-1)=-n2-25n 2 =(m)-, 所以当n=12或13时，S.取得最小值，最小值为一78. 练习册答案 1.C提示：因为a十a2=a1(1十q)=2, a1-a3=a1-a1q=a1(1-gd)=a1(1+q)(1-q)= 21-g1=3,所以g=一克 [a2019十a2020=2, 2.A提示：由题意得 9 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( .1 a2019=2 又q>1,解得 故q=3, 3 a202w= 从而a2021+a222=a2020(q十q)=18. 3.A提示：由十a1≤2得a十a1≤2a,设数列{a.) 的公比为q,易知q>0,则a3十a3q≤2a3g,即1十g≤ 2g,即(g4-1)2≤0，则g4=1,解得g=1,故数列{an》 是常数列. 4.B提示：由题意，设这13个数构成的等比数列的公比 为q,则2=1×g,即q=2,则插入的第8个数为1× q-1×(2啦)8=2号=m 5.8.提示：由等比数列的性质知a3a1=a号=4a7,因为 a1≠0，所以a=4,于是b,=a7=4. 又由等差数列的性质知bs十b=2b,=8, 6.D提示：由(an-a-1-2)(an-2an-1)=0,得am am-1=2或an=2am-1.若an=2am-1,当an=0时，数列 {an}是等差数列，当an≠0时，数列{an}是等比数列，故 A错误.若an一an-1=2,则数列{an}是等差数列，故B 错误.由(a.一a.-1一2)(an一2a-1)=0不能得到数列 {an}为非零常数列，则数列{an}不可以既是等差数列 又是等比数列，故C错误.数列{a}可以既不是等差数 列又不是等比数列，如1,3,5,10,20,40，…，故D 正确 7.D提示： 若k=0,则二g=0,即a4-a4=0,则84二2无 aa a3-a2 意义 × 若数列{a.}为常数列，则取a.=1,则数列{an}既是 × 等差数列又是等比数列，但显然不是“等差比数列” 当an=a·b十c(a≠0，b≠0,1)时，a+1一a,=a· D b+1+c一(a·b+c)=ab(b-1)≠0，所以 g2-a出-abrt16-=b am+1一amab(b-1) 10 浙江专用) 8.AC提示：对于A,因为a1>0,q>1,所以an>0.又因 为0<aa2…a223<1,aa2…a224>1,所以a224> 1 一>1，故A正确.对于B,C,由等比数列的性 a1a2"a20 质知a1a2023=a2a202=…=a1012,故a1a2…a2023= af瞪<1，所以a1o12<1.又因为a2a2024=a3a2023=…= af1s,所以azaa4a2024=a第>.因为a1a2a2a a1 <1,a1>0,g>1,所以41<1，即>1.所以a13>1. a 故当n=1012时，a1a2…an最小，故B错误，C正确.对 于D,当n<1012时，am<a1o12<1,故anam+1<a+1< ar+2,故D错误。 9.AB提示：因为公比q≠1，所以不能删去a1或a4.设 等差数列的公差为d.①若删去a2,则有2as=a十a4, 得2a1g=a1十a1g,即2g=1十q,整理得g(q-1)= (q一1)(q十1).因为q≠1，所以q=q+1.因为q>0,所 以g-15.②若刷去a,则2a=a十a,得2a:g= a1十a1q,即2q=1十q,整理得q(q-1)(q十1)=q- 1,因为q≠1，所以q(q+1)=1.因为q>0,所以q= 二1.综上所述91或q1生5 2 2 10.分.提示：由题意得a匠=a1a,可得(a1十2d)2= a1(a1+6d),即a1=2d≠0. 设数列的公比为4，则g出-424-兰-2， a1 a1 晚牛接-会牛号号 11.2m-4(答案不唯一).提示：因为数列{an}为正项等比 数列，所以a3a=a号=4，所以a5=2.又因为q≠1，不 妨令q=2,则an=a5q-5=2X2m-5=2r4. 12.①④.提示：在①中，因为a9a0-1>0,所以a1g97> 10,即90，又因为2号0，且a>1,所以4m> 1,aw<1,即g∈(0,1，所以①正确；在@中，因 为ag9>1,a1m<1且0<q<1,所以a1=amq<1,即 ag一a1o1>0,所以②不正确；在③中，T1=Tga10,且 0<a1o<1,所以T1o<T9,所以③不正确；在④中， T19g=a1a2…a198=(a1a198)(a2a197)…(ag9a1oo）= (ag9ao0)9>1,T199=a1a2…a199=(a1a19)(a2☑18）·…· (a99a1o1)a1o0=(a99a1o1)9a1o0=a18<1,所以④正确. 13.方案一选择条件①. (1)因为a2-1为a一1与ag+1的等比中项， 所以(a1-1)(a3+1)=(a2-1)2. 由数列{an}为等差数列，且S=15,解得3a2=15, 所以a2=5. 所以(4-d)(6+d)=16,解得d=2或d=-4 (舍去). 所以an=5+2(n-2)=2n十1. (2)因为d=2m+m+=专( 1 2n十3)， 所以不.-2(3-}+号-7+…+十 2十)=号（号201）<合，得证 方案二选择条件②。 (1)因为q=3,b=a1,b2=a4, 所以b2=36,即a4=3a1,即a1+3d=3a1,即2a1=3d, 由S,=15得3a1+号×3×2d=15,即a1十d=5, 解得d=2,1=3. 所以am=2n十1. (2)同方案一 14(1当a=1时，a=S=1-a,即a=2 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-an-(n-1-am-1)= an-1-an十1，即2(am-1)=a-1-1, 所以2号=号雨-1专，即数列a,-1是 参考答案与提示次 首项为一号，公比为2的等比数列， 所以a-1=(-2)·(分)=-(3)》”， 故a=1-(分)月： (2)由(1)知6=(2-)(a,-1)=”22, 2n; 所以61-6-2”22- 2n+1 2n 当n<3时，bn+1>bn; 当n=3时，b+1=bn; 当n>3时，b+1<bn. 所以b1<b2<b,b3=b4>b>bs>…>bn, 即么<6=名 因为对任意的正整数m,都有么十}≤， 即6，<e-}, 所以-公日恒成立，得≥2或长-， 即e(-o,-]U[3,+∞) 15.B提示：因为an+1=2m-3an, 所以=一·会+ 所以器号-2（会-）， 则“-=(-)·（受-） 则a=号+(a-号)(-3)， 当a=号时，满足严格递增条件， 当a1≠号时，会出现正、负交替，不满足条件。 16.ln5.提示：a√am-2=5a层-1，n≥3， ∴.当n≥3时，ln(a√am-2)=ln(5a21),即2lna+ In d :=In 5+2In a1. 11 重难点手册高中数学进择性必修第二尺UA( '.2ln d.-2ln d-1+2 In a-:=In 5. :2(Ina-2hna-)-(Ina--2hna-2)-In5. 令a=-In1-2na,则261-a=lh5, 且6=lha-2aa=lh5. .2(b.-1-ln5)=b.-2-ln5. 又b-ln5=0, b=In 5.In dot In a-In 5. In csI oIn 5. 4.3.2等比数列的前n项和公式 真题演练答案 1.B提示：当a1<0,q>1时，an=a1q1<0,此时数列 {S}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S}递增 时，有S+1-Sn=a+1=a1q">0,若a1>0,则q>0 (n∈N*),即q>0;若a1<0,则q<0(n∈N"),不存 在.所以甲是乙的必要条件 a1q=1, 2.AD提示：由题意得 结合q>0, a十aq+aq=7, [a1=4,「a1=9, 解得 1或 （舍去)，故A正确. 1 (9=2(9=-3 a,=a1g=4X(3)‘=冬，放B错误。 S=1)4×（1-32）头，故C错误 1-q 1号 a=4×(号）=2,5= x[-(-8 1- 2+3, 则an十Sn=23-n十8-23-=8，故D正确. 35,240(3-法3). 提示：依题意得S=120×2= 12 浙江专用) 240,S2=60×3=180. 当n=3时，共可以得到5dm×6dm,号dm×12dm, 5 10dmX3dm,20dmX号d恤4种规格的图形，且5× 6=30,号×12=30,10×3=30,20×号=30，所以 S3=30×4=120; 当n=4时，共可以得到5dm×3dm,号dm×6dm, 号dn×12dn,10dm×号dn,20dn×是dn5种规 格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的 种数为5，且5×3=15，号×6=15，号×12=15,10× 号=15,20×-15，所以5=15×5=75： 所以可归纳为S=婴0×+1)=240+少 2 所以2s=240(1+是+会+…+2+"去) = 2m ① 专×2s=40(会+是+会+…++) 2 ② ①-®得号×2s-201+++安+… 1- 240(号-%+3). 所以2s=240(3-"去）m 4.(1)设等比数列{an}的公比为q(q>1), a2十a4=a19十a1q=20, 则 （a3=a1q=8, 整理得2g-5q十2=0. 因为q>1,所以q=2,a1=2.