4.2.1 等差数列的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 基础过关练 测试时间：20分钟 则。二的值为( ) 1.[题型3]在等差数列{an}中，若a6十ag=16, a4=1,则a1=( ). A号 B-3 c D.-司 A.15 B.16 C.31 D.64 8.[题型4]（多选）已知数列{am}满足a1=2,且当 2.[题型2](2025·浙江台州二模)已知等差数列 n≥2时，anm+2=(√a-1+2+1)2,则(). {a,的公差dD0,a4=2a,则a+寻的最小值 A.a2=7 为( B.数列{an}为递增数列 A.1 B.2 C.3 D.4 C.an=n2+2n-1 3.[题型1](2024·湖北部分学校联考)（多选）下 D.数列{an}为周期数列 列关于等差数列的命题中正确的是( 9.[题型6](2025·黑龙江大庆高三质检)（多选） A.若a,b,c成等差数列，则a2,b,c2一定成等 《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作. 差数列 其中有一句关于二十四节气的记载，大意为： B.若a,b,c成等差数列，则2,2,2可能成等 一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相 差数列 同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所 C.若a,b,c成等差数列，则ka+2,b十2， 测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如 kc十2一定成等差数列 图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相 D若a,6c成等差数列，则日云，可能成等 同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三 尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十 差数列 尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是 4.[题型2](2025·河南南阳一中期末)已知单调 递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=a吃一4， 暑长逐渐变短 则an= 春分 5.[题型1、2]设数列{an},{bn}都是等差数列，且 雨水惊蛰0清明谷雨 立春330 30立夏 a1=25,b1=75,a2十b2=100,则a2023十b223= 大寒300 60小满 小寒、 一芒种 冬至270 90 夏至 小暑 、乃综合提能练 大雪 测试时间：40分钟 120大暑 6.[题型2]已知周长为9的三角形的三边长成公 立4年假80白150立秋 白露处暑 差为1的等差数列，设三角形的最大内角为a, 秋分 每长逐渐变长 则cosa=(). A小寒比大寒的晷长长一尺 A-R-司 4 D.- B.春分和秋分两个节气的晷长相同 7.[题型2](2025·浙江温州中学期末)已知x, C.小雪的晷长为一丈五寸 a,b,c,y成等差数列，d,y,e,x也成等差数列， D.立春的晷长比立秋的晷长长 3 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺A(浙江专用) 10.[题型2](2025·浙江二模)已知数列{an}和 C拓展拔高练 测试时间：20分钟 {bn}满足a1=1,b1=0,4a+1=3am-bn十4， 14.[题型1、2]（经典·北京大学强基计划招生考 4bn+1=3bn一an一4，则a.一bn=」 11.[题型4]若数列{a,}满足1-1=d(m∈ 试)设x,y之均不为（十号）x,其中为整 antl an 数，已知sin(y十z-x),sin(x+z-y),sin(x N*,d为常数)，则称数列{an}为调和数列.已 十y一之)成等差数列，则依然成等差数列的是 知数列2}为调和数列，且十十…十w (). 200,则x3十x8= A.sin x,sin y,sin z 12.[题型5](2025·江苏南京调考)已知等差数 B.cos x,cos y,cos z 列{an}:2,5,8,…与等差数列{bn}:1,5,9,… C.tan x,tan y,tan z 则它们的公共项按从小到大的顺序排列得到 D.以上答案都不对 的数列{cn}的通项公式是 15.[题型2]（经典·清华大学强基计划招生考 13.[题型1、4幻(2025·广东深圳中学单元检测) 试)若有限项等差数列的公差为4，首项的平 在数列{a.}中，a1-号，a.=2-(n≥2， 方与第二项起各项之和的和小于100，则该数 an-1 列可能有几项？ n∈N),数列6，}满足6=a是 an-1 (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项与最小项. 412.4n十2.提示：第1个图案中有白色地砖6块，第 2个图案中有白色地砖10块，第3个图案中有白色地 砖14块…后一个图案总比前一个图案多4块白色 地砖，由累加法可得第n个图案中有4n十2块白色 地砖， 13.(1)因为2Sn=(n+1)am, 所以2S+1=(n十2)am+1, 所以2a+1=(n十2)am+1一(n+1)am, 即a+1=(n+1)a,所以-%， 所以片-号==号=1， 所以an=n. (2)由(1)知bn=3m-λn2, 则b+1-bn=3+1-λ(n十1)2-(3”-λn2)=2·3m- λ(2n+1). 因为数列{b.}为递增数列， 所以2：3-以(2r十1>0，即<六开。 令4-2济则-背·-1. C 所以数列{cn}为递增数列，所以入<c1=2, 即实数1的取值范围为（一∞，2）. 14.A提示：因为a2-a-1a+1=2m1,所以a2+1一 ama+2=2m,所以2a2-2an-1a+1=a2+1-anan+2,则 2a,十a+2_2a-+al=2a+@.因为=a1as十 2,则a4=14,放2a十a=2a十a=4,即a4+1= 4an一2an-1,欲求个位数字，只需让an除以10求其 余数.其结果为1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2， 6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,…,从a2开始周期 为24，则a2020的个位数字是8. 15.C提示：a,-烈二品-1+.5当m<9时，a,< 1;当n≥10时，a>l,且数列{an}递减.从而数列{an》 中最大的项是ao. 参考答案与提示么 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 真题演练答案 1.B提示：由S0-S=a6十a?十ag十ag十a1o=5as=0 得as=0,则等差数列a.}的公差d=g4=一号， 3 故a=as-4d=1-4X(-3)=子 2.C提示：设无穷等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则 a,=a十(n-l)d=dn十a一d.若数列{an}为递增数 列，则d>0,则存在正整数N,使得当n>N时，an= dn十a1一d>0,所以充分性成立；若存在正整数No,使 得当n>N时，a4=dn十a1一dD0,即dDda对任 意的n>N,m∈N:均成立，由于十o∞时，2,2 n 0,且d≠0，所以d>0,数列{an}为递增数列，必要性 成立 3.(1)因为a4=1,所以S=1, a 又因为数列（三}是公差为号的等差数列， 所以经=1+a-1Dx号-是， an 所以S,-2。 3a… 因为当心2时a=5-81=”时。-对a 3a-1, 所以"时。1="写a(≥2》. 所以2≥2》. 所以2XX…Xm-三Xam an-2 an-1 =是×号×号×…n”2× ^n-2^n-1 =n(n寸1D(n≥2， 所以a,=nn1D(m≥2》. 2 3 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( 又因为a1=1也满足上式， 所以a.=n1D(m∈N). 2 (2)因为a.=n(n十1， 2 所以-==2（日h）: 所以+品+…+2=2[(1-2)+(2 3)++()+(分)]=2(1 nh)<2 4.(1)因为b是数列{S}的前n项积，所以当n≥2时， S=6名代入受+=2可得验+-2 整理可得201+1=20，即6.-61=号（≥2》. 又因为+合名-2所以- 故数列亿，}是以号为首项，号为公差的等差数列. (2)由1)可知6=n寸2， 2 则+异2=2 所以8=导. n+1 当a=1时，a=S=受 当m≥2时，a=S.-S1=士号-n十1= n+1 n n(n+1) 「3 ,n=1, 故an= 1 n(n十1)，n≥2. 练习册答案 1.A提示：在等差数列{an}中，由a6十ag=16,a4=1,且 a6十a9=a4十a11,得a11=a6十a-a4=16-1=15. 2.B提示：等差数列{an}的公差d>0,由a4=2a2,得 au+3d=2a+d0,解得a=d,则a+7=d+日≥ 4 浙江专用) 2√a·7=2,当且仅当d=1时取等号，所以a+7 的最小值为2. 3.BCD提示：对于A,取a=1,b=2,c=3,可得a2=1, b2=4,c2=9,显然a2,b,c2不成等差数列，故A错误. 对于B,取a=b=c,可得24=2=2，故B正确 对于C,a,b,c成等差数列，∴.a十c=2b..(ka十 2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),即ka+2,kb+ 2,kc十2成等差数列，故C正确. 对于Da=6c0,则日-合-，故D正确， 4.2n一1.提示：设等差数列{an}的公差为d,则由a3= a2-4得1+2d=(1十d)2-4,解得d=士2.因为数列 {an}为递增数列，所以d=2,故am=a1十(n一1)d= 1+2(n-1)=2n-1. 5.100.提示：因为数列{an},{b}都是等差数列，所以数 列{am十bn}也是等差数列.又因为a1十b=25十75= 100,a2十b2=100,所以数列{an十bn}的公差为0，首项 为100，所以an+b.=100,所以a2023十b2o23=100. 6.D提示：由题意可设三边长分别为a-1,a,a十1，则 a一1十a十a+1=9,解得a=3,所以三边长分别为2， 34由余孩定理得s。表=子 7.D提示：等差数列，a,bc,y的公差d=号(c-a) }（gy-0,等差数列de,x的公差d:=号e-d0= 故器， 8.ABC提示：因为数列{am}满足a1=2,且当n≥2时， am+2=(√a-1+2+1)2,所以√an+2=√aw-1+2+ 1,所以数列{√/am十2}是首项为a1+2=2,公差为1 的等差数列，所以√/am十2=2十(n一1)X1=n十1，所 以an=n2+2n-1,所以a2=22+2×2-1=7,故A,C 正确；因为函数y=x2+2x一1在(-1，十∞)上单调递 增，所以数列{an}是递增数列，故B正确，D错误. 9.ABD提示：由题意可知，夏至到冬至的晷长（单位： 寸)构成等差数列{an},其中a1=15,a13=135,公差为 d1,则135=15+12d1,解得d1=10.同理可知，冬至到 夏至的晷长（单位：寸）构成等差数列{bn},b=135,b13 =15,公差d2=一10.因为小寒与大寒相邻，所以小寒 比大寒的晷长长10寸，即一尺，A正确；因为春分的晷 长为b=b十6d2=135-60=75,秋分的晷长为a7= a1十6d1=15+60=75,所以春分和秋分两个节气的晷 长相同，B正确；因为小雪的晷长为a1=a1十10d=15 +100=115,115寸即一丈一尺五寸，所以小雪的晷长 为一丈一尺五寸，C错误；因为立春的晷长为b4=b1十 3d2=135-30=105,立秋的晷长为a4=a+3d= 15+30=45,b4>a4,所以立春的晷长比立秋的晷长长， D正确 10.2n-1.提示：因为4an+1=3an-bn+4,4b+1=3bn -am-4, 所以两式相减可得4(a+1-bn+1)=4(an-bn)十8， 即an+1一bn+1=(an一bn)十2. 所以数列{an一bn}是以a1一b=1为首项，2为公差 的等差数列，故an一bn=1十2(n-1)=2n一1. 11.40.提示：因为数列{2}是调和数列，所以x+1 xm=d,d为常数，所以数列{x}是等差数列，所以 +x2+…+x10=5(x3十x8)=200,即x3+x8=40. 12.cn=12n一7.提示：由题意得an=3n-1,bm=4m- 3,m,n∈N.令am=bm,得3n=2(2m-1),则2m-1 必为3的倍数（或n必为2的倍数）.设2m一1=3k(k∈ N“),因为2m一1为奇数，所以k必为奇数，再设k= 2t-1(t∈N*),则m=3t-1,n=4t-2,即c:=a4-2 b3-1=12t-7,即cm=12n-7. 13.(1)当n≥2时， 参考答案与提示次出 -=am-1 an-1 am-1-1’ 所以6.-6-1=a 1 a,-1-1a,1-1-1 又因为一， 所以数列6，是首项为一号，公差为1的等差数列。 (2)依题意有a,-1=品 因为a=-是+(wDX1W2 7 所以an一1= 1 7 n2 对于函数y= 1 )’当x≤7时，y<0,当 时，>0，且函数y=17在（名，+∞）上单调递 x一2 减，在(-©，号)上单调递减， 所以当n=4时，an取最大值，最大值为a4=3; 当n=3时，a.取最小值，最小值为ag=一1. 所以数列{an}中的最大项为a4=3,最小项为a=一1. 14.C提示：由题意知2sin(x十z-y)=sin(y十之-x)十 sin(x+y-z),2sin (x+z)cos y-2cos(x+ z)siny=2 sin ycos(x-z),所以sin(x+z)cosy= siny[cos(x十z)十cos(x-z]=2 sin y cos x cos z, sin xcos ycos z+cos xsin zcos y=2sin ycos xcos z, 两边同除以cosz0osy0oszx,y,之均不为(k十 号)天]，得mz十amg=2amy 15.设an=a1+4n-4, 则S.=a+2n2D×4=2r+a1-2m 2 ∴.Sn-a1+a<100, 5 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 即a+(n-1)a+2m2-2m-100<0, .△=(n-1)2-4(2n2-2n-100) =-7m2+6n+401>0. 又.'n∈N*,∴.1≤n≤8. ∴.该数列可能的项数为1~8. 4.2.2等差数列的前n项和公式 真题演练答案 1.B提示：设等差数列{an》的公差为d, 3a1+3d=6, (d=-3, 则 解得 5a1+10d=-5, a1=5, 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. 2.3m2-2m.提示：数列{2m一1}表示首项为1，公差为2 的等差数列，各项均为正奇数，而数列{3一2}表示首 项为1，公差为3的等差数列，各项分别为交替出现的 正奇数与正偶数，它们的公共项为数列{3一2}中的奇 数项，所以{an}是首项为1，公差为6的等差数列，其前 n项和S.=nX1+mn,)×6=3m2-2m 2 3.(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， fa+2d=5a+10d, 由题意得 (a1+d)(a1+3d)=4a1+6d, a1=一4， 解得 d=2. 所以an=a1十(n-1)d=2m-6. (2)S.=nai十a）=2m210）=t-5m, 2 2 则由n2-5n>2n-6,整理得n2-7n+6>0, 解得n<1或n>6. 因为n∈N,所以使Sm>an成立的n的最小值为7. 4.(1)设{an}的公差为d. 由Sg=-a5得a1+4d=0, 由a3=4得a1十2d=4,于是a1=8,d=-2. 因此{an}的通项公式为an=10-2m. 6 浙江专用) (2)由(1)得a1=-4d, an=(n-5)d,S=n(n 9)d 2 由a1>0知d<0,故Sn≥a,等价于n2-11n+10≤0， 解得1≤n10. 所以n的取值范围是{n1≤m≤10，n∈N}. 练习册答案 1.D提示：由S=10a,十a2得70=5(a十10)，解得 2 a4=4,所以d=40-4=10-4=2」 10-1 9 31 1541四 2 2.B提示：6一6+X11Tm2×1+2岁 2 3.AC提示：·数列{an}是等差数列，且S=So, ∴.a10十a11十…十a20=11a15=0,即415=0，故A正确； d>0,.当n≤14时，an<0,当n≥16时，an>0, 故当n=14或n=15时，Sm取得最小值，故B错误； ,a10十a22=2a16>0,.C正确； :S29=29a1s=0,.D错误. 4.3.提示：设等差数列{an}的公差为d, s=3a+324=5, 则 5a=12a+121d=32, 13 3a1+3d=5, a19’ 化简得 解得 6a1+33d=16, d=9, 2 所以a8=a1+7d=3. 5.3.提示：设该数列的公差为d,由等差数列前n项和 的性质，得s一S4-9×d,即30-15=5d,解得d=8 6.（-1,一日).提示：由当且仅当n=8时S最大，知 f7+7d>0 as>0且ag<0,于是 解得-1<dK-名， (7+8d<0