5.3.2 函数的极值与最大(小)值-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

第五章一元函数的导教及其应用么型 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 重点和难点 课标要求 重点：函数的极值和最值的含义以及 1.借助函数图象了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 与导数的关系 2.能利用导数求不超过三次多项式函数的极大值、极小值以及给定 难点：用导数求函数的极值与最大 闭区间上不超过三次多项式的最大值、最小值： (小)值 3.体会导数与单调性、极值、最值的关系. -01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1函数的极值与导数 1.极小值点与极小值 刀划重点7 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附 (1)函数的极值点和函数 的零点一样，都是一个实数， 近其他点的函数值都小，f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 是使函数取得极值时自变量 f(x)<0,右侧f(x)>0,我们把a叫作函数y=f(x)的极小值 的值，不是点。 (2)函数的极值点一定在 点，f(a)叫作函数y=f(x)的极小值. 函数的定义域内，定义域的端 (1)特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点 点不能成为极值点 x=a附近其他，点的函数值都小，并且f(a)=0. (3)一个函数未必存在极 (2)符号：在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f(x)>0. 值点，若存在极值点也未必是 唯一的，也可能有多个极值 (3)结论：a叫作函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫作函数 点，如图，x1,x3都是函数y= y=f(x)的极小值， f(x)的极大值点，x2,x4都是 2.极大值点与极大值 函数y=f(x)的极小值点.一 个函数可以有无穷多个极值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 点，如函数y=sinx既有无穷 近其他点的函数值都大，f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 多个极大值点，也有无穷多个 f(x)>0,右侧f(x)<0,我们把b叫作函数y=f(x)的极大值 极小值，点。 y =f(x) 点，f(b)叫作函数y=f(x)的极大值， (1)特征：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点 x=b附近其他点的函数值都大，并且f(b)=0. aa (4)极大值与极小值之间 (2)符号：在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f(x)<0. 无确定的大小关系，即极大值 (3)结论：b叫作函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫作函数 未必大于极小值，极小值也未 y=f(x)的极大值， 必小于极大值，如图，函数y =f(x)在，点x1处的极大值小 极小值点、极大值点统称极值点，极小值和极大值统称极值： 于在，点x4处的极小值 3.可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 (5)常数函数不存在极 (1)必要条件：可导函数y=f(x)在x=x处取得极值的必 值点. 109 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 要条件是f'(x)=0. 司敲黑板7 (2)充分条件：可导函数y=f(x)在x=x处取得极值的充 (1)“x是函数f(x)的一 个极值点”是“f(x)=0”的 分条件是f(x)在x=xo附近两侧异号. 既不充分也不必要条件.如函 4.函数极值的求解步骤 数f(x)=|x|,则x=0是函 数f(x)的一个极小值点，而 一般地，求函数y=f(x)的极值的步骤是： f(0)不存在；f(x)=x3,则 (1)求出函数的定义域及导数f(x). f(0)=0,但x=0却不是函 (2)解方程f(x)=0,得方程的根x(可能不止一个). 数f(x)的极值，点. (2)“x是可导函数f(x) (3)用方程f(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个 的一个极值点”是“f(x0) 开区间，可将x,f(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在同一 0”的充分不必要条件，反之 “f(xo)=0”是“xo是可导函 个表格中. 数f(x)的一个极值点”的必 (4)由f(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f(x)=0 要不充分条件 记结论 的各个根处的极值情况： 相关结论如下表所示： ①如果根的附近左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得 x f'(x) f(x) 极大值； (-∞，x0) 单调递增 ②如果根的附近左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得 极大值 To 0 f(xo) 极小值； (x,十∞) 单调递减 ③如果导数值在这个根附近左右两侧同号，那么这个根不是 x f'(x) f(x) 极值点。 -∞，x0) 单调递减 极小值 知识点2函数f(x)在区间[a,b]上的最值 To 0 f(xo) 1.基于极值概念的再认识 (zo,+oo) 单调递增 结合函数极值的定义，我们有如下结论： 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连 宣敲黑板 续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必 函数的最大值和最小值 是一个整体性概念，是相对函 在极值点或区间端点处取得， 数定义域整体而言的，最大值 2.函数最值的求解步骤 必须是整个区间上所有函数 对于在闭区间上图象连续不断的函数，要求函数的最大（小） 值中的最大者，最小值必须是 整个区间上所有函数值中的 值，首先应求出函数的极大（小）值，然后将所有极大（小）值与区间 最小者.如果存在最大值（或 端点的函数值进行比较，其中最大（小）的值即函数的最大（小）值 最小值)，那么最大值（或最小 值)唯一. 所以，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 P作比铰 如下： 函数的极值与最值的 (1)求函数y=f(x)在(a,b)上的极值； 区别和联系 (1)极值是对某一，点附近 (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b) (局部)而言，最值是对函数的 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 整个定义区间[a,b]而言的. 110 第五章一元函教的导教及其应用气出型 重难拓展 (2)在函数的定义区间 [a,b]内，极大（小）值可能有 重难点】利用函数的极值研究方程根的个数 多个（或者没有），但最大（小） (1)对于求方程a=f(x)的根的个数问题，我们可将问题转 值只有一个 化为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数问题，在解题 (3)函数f(x)的极值点 不能是区间的端，点，而最值点 时，可遵循以下步骤： 可以是区间的端点. ①利用导数判断函数y=f(x)的单调性及极值等情况，综合 各种信息画出函数y=f(x)的大致图象； ②研究函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数； ③根据交点个数写出方程根的情况. (2)对于含参数a的方程F(x)=0,我们可以通过分离参数， 图记结论 将方程变为a=f(x)的形式来处理.如果不能分离参数，可遵循 对于三次函数f(x)=ax3十 以下步骤处理： bx2十cx十d(a≠0)，为了描述 方便简洁，这里只给出a>0 ①求导数y=F(x),解不等式F(x)>0和F(x)<0,确定 的情形.令x1,2为f(x)的极 函数的单调性及极值的情况，进一步得到反映函数F(x)的大致 值，点，用“△”表示f'(x)=3ax2十 趋势图象； 2bx十c对应方程的根的判别 ②由趋势图象结合交点个数或根的个数写不等式（组），主要 式，则结合函数零，点存在定 看极大值和极小值与0的关系； 理，有如下结论： ③解不等式（组）即可. (1)y=f(x)有一个零，点台 例1(2025·湖南师大附中测评)已知函数f(x)=x3一x2一 △≤0或f(x1)·f(x2)>0; x十a,若曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，则实数a的取值范 (2)y=f(x)有两个零，点台 △>0， 围是 f(x1)·f(x2)=0; [解析f(x)=3x2一2x一1. (3)y=f(x)有三个零，点台 令f(x)=0,则x= 3或x=1. A>0, f(x1)·f(x2)<0. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示. 相应函数图象的情况如下： (-∞，-3 1 (-3) (1,+∞) (1)三次函数有一个零点 3 意味着函数单调或者极大值和 f(z) + 0 一 0 极小值同号，如图①②所示 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 (2)三次函数有两个零点 意味着函数有两个极值点，且 所以x)的极大值是f(-号)=员十a,权小值是f①)= 其中一个极值点为零点，如图 a-1. ③所示. (3)三次函数有三个零 由x→十∞，f(x)十∞，x一∞，f(x)→一∞，综合f(x) 点，则函数的极大值和极小值 的单调性可知，当f)的板大值(-号)-十a<0,即a(-∞， 异号，如图④所示 111 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 易)时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f)与x轴仅有- 个交点；当f(x)的极小值f(1)=a-1>0,即a∈(1，+∞)时，它 的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。 所以当a∈（一∞，一易）U1,十o∞)时，曲线y=)与x轴 仅有一个交点 ③ 答案 )U1,+∞). 重难点2利用最值解不等式恒成立的问题 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一 巴拓视野 般利用等价转化思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求 双变量恒成立与能成立问题的 解，此时常需要构造辅助函数 四种类型及解法 (1)若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)mn和最大值 记区间D1,D2分别是函数 f(x)max,则对不等式恒成立或有解问题有以下结论： y=f(x),y=g(x)的定义域 的子区间，双变量的恒成立与 不等式 恒成立 有解 无实解 能成立问题包含以下四种基 a>f(x) a>f(x)max af(x)min a≤f(x)mmn 本类型： a≥f(x) a≥f(x)max a≥f(x)mim a<f(x)min 类型-H∈D,V2∈ a<f(x) a<f(x)min a<f(x)mx a≥f(x)max D2,fa)>g(2)台f(x)mi> g(x)max·其等价转化的基本思 a≤f(x) a≤f(x)im a≤f(x)mmx af()max 想是函数y=f(x)(x∈D)的 (2)若函数f(x)在区间D上的值域为(m,n),则对不等式恒 任一函数值均大于函数y= 成立或有解问题有以下结论： g(x)(x∈D2)的任一函数值， 只需f(x)in>g(x)max即可. 不等式 恒成立 有解 无实解 同理有Hx1∈D1,Hx2∈D2, a>f(x) an am a≤m f(x1)<g(x2)台f(x)mx< a≥f(x) a≥n a>m a≤m g(x）min a<f(x) a≤m a<n a≥n 类型二H∈D,]x2∈ D2,f(x)>g()台f(x)m> a≤f(x) a≤m a<n a≥n g(x)min.其等价转化的基本思 例2(2025·华南师大附中单元检测)已知函数f(x)= 想是函数y=f(x)(x∈D)的 合-2alnx+a-20z 任一函数值大于函数y= g(x)(x∈D2)的某些函数值， (1)当a=一1时，求函数f(x)的单调区间. 但并不要求大于y=g(x) (2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)一ax在(0，十∞)上单 (x∈D2)的所有函数值，故只 调递增？若存在，求出实数α的取值范围；若不存在，请说明理由. 需f(x)min>g(x)min即可.同 解析(1)函数的定义域为(0，十∞). 理有Hx1∈D1,]x2∈D2, 112 第五章一元函教的导教及其应用生出盟 当a=-1时，f(x)=2x+21nx-3x, f(x1)<g（x2)曰f(x)x< g(z)max 则f(x)=x十2-3=Y-3z+2_(z-1)(x-2 类型三了∈D,H∈ D,f(x)>g(x2)f()mx> 当0<c<1或x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增； g(x)max·其等价转化的基本思 当1<x2时，f(x)<0,f(x)单调递减. 想是函数y=f(x)(x∈D)的 ∴.f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2，十∞)，单调递减区间 某些函数值大于函数y= 为(1,2). g(x)(x∈D2)的任一函数值， (2)假设存在实数a,使g(x)=f(x)一ax在(0，十∞)上单调 只要求y=f(x)(x∈D)中有 递增 函数值大于y=g(x)(x∈D2) ,g(x)在(0，十∞)上单调递增， 的所有函数值即可，故只需 g(.x)=f(.x)-a=x-2a-2≥0在(0，十∞)上恒成立 f(x)max>g(x)max即可.同理 有3a∈D,Hx2∈D2,f(x)< (只存在个别x使等号成立或等号总不成立)， g()f(x)min<g()min. 即之-2x-2a≥0在(0，十0)上恒成立. 类型四3∈D,32∈ D:,f(x)>g(z2)f(x)x> ∴.x2-2x-2a≥0在(0，十∞)上恒成立. g(x)mm·其等价转化的基本思 ∴a≤2（x2-2x)=2(x-1)2-2在(0，+∞)上恒成立. 想是函数y=f(x)(x∈D)的 某些函数值大于函数y=g(x) 又：（红-1）2-xE(0,+o)的最小值为-司， (x∈D2)的某些函数值，都只 要求有这样的函数值，不要求 当a≤-2时，g(x)≥0在0，十∞)上恒成立. 所有的函数值，故只需f(x)ma >g(x)mim.同理有]x1∈D1, 又a≤-时，g(x)不恒为0，故春在实数a∈(-9，一]， 3x2∈D2,f(x1)<g(x2)曰 使g(x)=f(x)一ax在(0，+∞)上单调递增. f(x）min<g(x)max: -02关键能力提升。 题型方法 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上 题型1极值概念的理解及应用 [解析由选项A知a一b十c=0;由选项B 1.由给定函数的特征判定极值（点）问题 知f(x)=2ax十b,f(1)=2a十b=0;由选项 C知f(x)=2ax+b,令f(x)=0,得x= 例③(2025·辽宁沈阳高三调考)对二次 函数f(x)=ax2十bx十c(a为非零整数)，四位 名则f一品）)=3，则如a#-3;由选项D Aa 同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结 知4a+2b十c=8.假设选项A结论错误，则 论是错误的，则错误的结论是(). (a-b+c≠0， 2a+b=0, a=5, A.一1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 4ac-8=3, 得b=一10，满足题意，故选项 Aa c=8, C.3是f(x)的极值 4a+2b+c=8, 113 重难包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) A结论错误。 同理易知，当选项B或C或D错误时不符 合题意 答案A 2.由导函数f(x)的图象特征判定极值 解析当x>0时，f(x)单调递增，此时 (点)问题 f(x)≥0，可排除A,C.当x<0时，f(x)有两 例④(2025·北京西城区期中)已知函数 个极值点，即f(x)在（一∞，0）上有两个变号 f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图 零点，可排除B. 所示，则函数f(x)(). 答案D A.无极大值点，有四个极 小值点 4.利用极值的概念确定函数的图象 B.有三个极大值点，两个 例6(2025·浙江慈溪中学高二月考)函 极小值点 数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所 C.有两个极大值点，两个极小值点 示，则函数y=f(x)的图象可能是( D.有四个极大值点，无极小值点 f(x) 解析设y=f(x)的图象与x轴的交，点 从左到右的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,由导 数与函数极值的关系知，f(x)在x=x1,x=x3 处取得极大值，在x=x2,x=x4处取得极 小值. 答案C 点评对于可导函数，导数值为0的点不 一定是极值，点.可导函数f(x)在x=xo处取得 极值的充要条件是f(x0)=0且在x=x附近 两侧的导数值符号相反 解析因为f(x)的符号变化为“一” 3.利用极值的概念确定导函数的图象 “十”→“一”→“十”，对应f(x)的单调性为减→ 例5(2025·山东潍坊一中高二期中)已 增→减→增，且极大值点为正，故D中图象符合 知函数y=f(x)的图象如图所示，则它的导函 数y=f(x)的图象可以是( 答案D 点评(1)对于导函数的图象，重点考查 导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上 为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附 近导函数的值是怎样变化的， (2)对于函数的图象，重点考查函数在哪 个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减， 哪个点是极大值点，哪个点是极小值点. 114 第五章一元函教的号教及其应用酱出型 题型2函数极值的探求 检查导数值为0的，点的附近左右两侧的导数 1.求不含参的常见函数的极值 值是否异号，若异号，则该点是极值，点，否则不 例7求下列函数的极值 是极值点. aa)=22年1-2：2x)-n 2.求基于分类讨论的含参函数的极值 例8(2025·浙江宁波镇海中学月考)求 解析(1)函数f(x)的定义域为R, 解下列问题. f(=2+1D)4x--2x-1Dx+1D (1)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R),求 (x2+1)2 (x2+1)2 函数f(x)的极值； 令f(x)=0,得x=-1或x=1. (2)已知函数f(x)=16x3-20a.x2+8a2x 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下 a3,其中a≠0，求f(x)的极值， 表所示 留折(1)油f)=1是=2(>0》知， x 0∞，-1)-1 (-1,1) 1 (1,+∞) ①当a≤0时，f(x)>0,函数f(x)为(0， f(a) 0 0 十∞)上的增函数，函数f(x)无极值； f(x) 单调递减极小值单调递增极大值单调递减 ②当a>0时，由f'(x)=0,解得x=a, 由表格可以看出，当x=一1时，函数有极 又当x∈(0，a)时，f(x)<0, 小值，且极小值为f(一1)=一3； 当x∈(a,十o∞)时，f(x)>0, 当x=1时，函数有极大值，且极大值为 .函数f(x)在x=a处取得极小值，且极 f(1)=-1. 小值为f(a)=a一alna,无极大值 (2)函数f()=l血x的定义域为(0，十∞)， 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当 a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a f(a)=1-Inz alna,无极大值. (2).f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其 令f(x)=0,解得x=e. 中a≠0， 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下 ∴.f(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2 表所示 5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a) (0,e) e (e,+oo) 令f()=0,得=受西=号 f(x) + 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 ①当a>0时，号<登，则随着x的变化， 因此，x=e是函数的极大值，点，极大值为 f(x),f(x)的变化情况如下表所示. f(e)=。,漫有极小值 3 2 《号+ [点评求函数的极值需严格按照求函数极 (x) 十 0 0 值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数 f(x) 单调递增极大值单调递减极小值 单调递增 的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在 定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是 当x=号时，函数f(x)取得极大值，为 115 重雕包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) f)-玩： 值点，则f(x)的极小值为(). A.-1 B.-2e3 当x=受时，函数f(x)取得极小值，为 C.5e3 D.1 [解析因为f(x)=(x2十ax一1)e21,所以 f（)=o. f(x)=(2x+a)e-1+(x2+a.x-1)e-1= @当a<0时，受<号，则随着x的变化， [x2+(a+2)x+a-1]e-1 因为x=-2是函数f(x)=(x2十ax-1)· f(x),f(x)的变化情况如下表所示 e-1的极值点，所以-2是x2+(a+2)x十a (受号) a (号+∞ 1=0的根. 2 所以a=一1，易知a=一1满足题意， f(x) 十 0 0 所以f'(x)=(x2十x-2)e1=(x+2)· f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 (x-1)e2-1. 当x= 时，函数f()取得极大值，为 令f(x)>0,解得x<-2或x>1; 令f(x)<0,解得-2<x<1. f受)=0 所以f(x)在（一∞，一2)上单调递增，在 当x=号时，函数f(x)取得极小值，为 (一2,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以当x=1时，f(x)取得极小值，极小值 为f(1)=-1. 答案A 综上，当a>0时，函数f八x)在x=号处取 2.已知函数在区间上的极值（点）求参数 得板大值号7在x=号处取得极小值0： 的取值范围 例10(2025·浙江五校联考)若函数 当a<0时，函数f(x)在x=号处取得极 f)=号一号+x+1在区间（合4）上有极 大位0，在一号处取得权小位号 值点，则实数a的取值范围为 点评求解析式中含有参数的函数极值时， 锦物因为函教f()-号-号2+x+1 有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨 在区间（行4）上有极值点，所以f()=2 论的依据有两种：一是看参数是否对f'(x)的零 点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看 十1在区间（行4上有零点，且在零点左右 f(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数 两侧导数值异号 有关，若有关，则需要分类讨论 题型3与函数极值有关的求参问题 令f(x)=x2-ax十1=0，则a=x2+1 1.已知函数的极值（点）求参数的值 x+2在区间(34上有解、 例9(2025·河北石家庄二中月考)若 x=一2是函数f(x)=(x2十ax-1)e2-1的极 由函教8《)=x十上的性质可知，当x 116 第五章一元函教的号教及其应用酱出型 (日4)时g(x)∈[2，)，所以a∈[2，) 令g(x)=0,解得x1= (2-1-m), 3 当a=2时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥ a-32+v1-m. 0,f(x)单调递增，则f(x)无极值，不符合题 当m<1时，随着x的变化，g'(x),g(x) 意，舍去 的变化情况如下表所示。 综上可知，实数a的取值范国为2，) ∞，x1) ZI (x1,x2) x2 (x2,十∞） 案(2，) g(x 0 0 十 g(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 3.已知函数在定义域内存在极值（点）求 故当m∈（-oo,1)时，函数g(x)有极值. 参数的取值范围 例11已知函数f(x)=x3+2bx2+cx一2 当x=(2-一m)时，g)有极大值； 的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x 当z=(2+m时，g)有板小位 -10. (1)求函数f(x)的解析式； 点评三次函数有极值，意味着其导函数 (2)设函数g(x）=f(x)+}m,若g(x） 对应的一元二次方程有相异实根，即一元二次 方程根的判别式为正，这便是三次函数存在极 的极值存在，求实数m的取值范围及函数g(x) 值的条件，本题就是为研究这个问题而设计的. 取得极值时对应的自变量x的值. 4.与极值相关的求参问题的综合应用 解析(1)由题意知，函数f(x)的图象与x 例12(2025·北京朝阳区模拟)已知函 轴的切，点为(2,0)，故有f(2)=0,即4b十c十 数f(x)=(m+1)x+lnx(m∈R): 3=0,① (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1， f(x)=3x2+4bx十c,由已知，得f(2)= f(1))处的切线方程； 12+8b+c=5,即8b十c+7=0,② (2)求函数f(x)的单调区间； 联立①②，解得c=1,b=-1, (3)若函数g(x）-72+是一fx)在区间 于是函数的解析式为f(x)=x3一2x十x一2. (1,2)内有且只有一个极值点，求m的取值范围. (2)g）=2-2x2+x-2+3m,g(）- 解析(1)当m=1时，f(x)=2x十lnx, 3x-4x+1+号 x∈(0，十∞)， 若函数g(x)有极值，则g(x)在（一∞， 则广()=2+所以曲线y=x)在 十∞)上有两个不同的零点， x=1处的切线斜率为f(1)=3. 又f(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1， 即方程3x-4红+1+号-0有两个不同的 f(1)处的切线方程为y一2=3(x一1)，即 实数根 3x-y-1=0. 由A=16-4×3×1+g）=41-m)>0, (2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 得m<1. f(x)=m+1+1=m+1)x+1 117 重雕包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) ①当m+1≥0，即m≥-1时， 存在零点， 因为x∈(0，十∞)，f(x)>0恒成立， h(1)<0 所以f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，无 所以(2)>0 ”解得-2<m<是 单调递减区间， 显然h(x)在(1,2)内有唯一零点，记为. ②当m+1<0,即m<-1时，令f(x)= 当x∈(1，x1)时，h(x)<0;x∈(x1,2)时， 0,得x= h(x)>0.所以h(x)在点两侧异号，即g'(x) m+1: 在x1点两侧异号，1为函数g(x)在区间 当0<x<m时，f(x)>0:当x心 (1,2)内的唯一极值，点 m十1时，f(x)<0. 所以当m的取值范围是（一2，）时，函数 所以f)的单洞递增区间为0，一m十， g(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点. 题型4利用函数的极值解函数的零点问题 单羽适减区同为m+∞ 1.三次函数的极值与零点的问题 综上，当m≥-1时，f(x)的单调递增区间 例13求解下列问题， 为(0，十∞)，无单调递减区间； 1若号x+a2+1=0有一个实数根， 当m<一1时，f(x)的单调递增区间为 求实数a的取值范围； (0,m）,单调适减区间为十c (2)若了x+ax+1=0有两个不同的实数 (3)因为g(x)-号2+是-(m+1)z- 根，求实数a的取值范围。 lnx,x∈(0，十∞)， (1)令fx)=专x+ar+1,则 所以g(x)=x-是-(m+1)-士= f(x)=x2十ax.由f(x)=0有一个实数根，得 x3-(m十1)x2-x-1 △≤0（△是方程f'(x)=0的根的判别式）或 f(x1)·f(x2)>0(x1,x2是f(x)的极值，点). 令h(x)=x3-(m+1)x2-x-1,x≥0， ①由△≤0，得a=0; h'(x)=3x2-2(m十1)x-1. ②令f(x)=0,得x1=0,x2=一a,则 若函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个 极值点， fa）·fg)=-号4+4+1>0，即哈a2> 则函数h(x)在区间(1,2)内存在零点. -1,所以a>3-6. 又h'(0)=-1<0, 综上，实数a的取值范围是（一6，十∞）. 所以h'(x)在(0，十∞)内有唯一零，点xo, 且x∈(0，xo)时，h'(x)<0, (2)令f)=3x2+ar+1,则f)=2+a x∈(xo,+∞)时，h'(x)>0. 由f(x)=0有两个不同的实数根，得 则h(x)在(0，x)上单调递减，在(xo, △>0（△是方程f'(x)=0的根的判别式）， 十∞)上单调递增. f()·f(x2)=0(,2是f(x)的极值，点). 又因为h(0)=-1<0且h(x)在(1,2)内 由△>0，得a<0,令f(x)=0,得x1= 118