5.1 导数的概念及其意义-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 重点和难点 课标要求 1.通过实例分析由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数 重点：导数的概念，导数的几何意义， 概念的实际背景，知道导数是对瞬时变化率的数学表达，体会导数的思 难点：导数的概念，曲线切线的概念。 想及其内涵. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1变化率问题 1.平均速度与瞬时速度 P拓视野 把位移s看成关于时间t的函数s=s(t),则物体在时间段 把速度v看成关于时间t [,]上的平均速度=s2)一s(4) 的函数U=v(t),则物体在时间 t2一th 段[i,t2]上的平均加速度a= 如果不断缩短区间[t,t2]的长度，那么物体在时间段[t,t2] (t2)-v(t) 上的平均速度越来越接近t=t时刻的瞬时速度.用△t表示t2 t2一t t(可看作相对于的增量)，即当△t趋近于0时，物体在t=t时 园敲黑板 刻的瞬时速度v(G)=lims(西十△)一s(t) △t △t→0表示的是△t无限 2.割线斜率与切线斜率 趋近于0，意味着△t与0的距 设Po(xo,f(x),P(x,f(x))是曲线y=f(x)上的任意两 离要多近有多近，即|△t一0| 点，记△x=x一，则割线P,P的斜率k=f(m十△)-f() 可以小于给定的任意小的正 △0 数，且△t始终不为0. 如图所示 我们发现，当点P无限趋近于点P。时，割线PP无限趋近于 卫划重点7 一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y=f(x)在点 瞬时速度与平均速度的 P(xo,f(o)处的切线.则切线PT的斜率k=lim f+△x)-f(o) 关系：从物理角度看，当时间 A △C 间隔△t无限趋近于0时，时间 y=f(a) 段[to,t6+|△t门或[to-|△tl, f(x+△x) to]上平均速度元就无限趋近 (x,+△x)-f(x) 于t=to时刻的瞬时速度， f(xo △x xox十△ 71 重难包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 知识点2函数y=f(x)在x=x处的导数（瞬时变化率）】 1.函数的平均变化率 园敲黑板 (1)对于函数y=f(x),设自变量x从xo变化到x0十△x,相 (1)平均变化率的实质是 应地，函数值y就从f(x)变化到f(xo十△x).这时，x的变化量 函数值的改变量与自变量的 改变量之比.它的意义是刻画 为△x,y的变化量为△y=f(十△x)-f().我们把比值Ay △x 函数值在区间[xo,xo十△x]上 即A义f+△）-fw)叫作函数y=f(x)从到十△x 变化的快慢。 △x △x (2)Ay=f十A)-f) △x △x 的平均变化率， 式中△y与△x是相对应的增 (2)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，增量△x 量，即在△x=(x0十△x)-x0 取值越小，越能准确体现函数的变化情况， 时，△y=f(xo+△x)一f(xo). 2.函数y=f(x)在x=xo处的导数 (3)Ay=f十△x)-f) △x △x 如果当△x0时，平均变化率公无限趋近于一个确定的值， 式中△x,△y的值可正可负， 但△x的值不能为0，△y的值 即会有极限，则称)=f()在x=处可导，并把这个确定的值 可以为0，若函数y=f(x)为 叫作y=f(x)在x=xo处的导数（也称为瞬时变化率），记作 常数函数，则△y=0. f(o)或y引x=,即 w)= f(xo十△x)一f(xo) △x 函数y=f(x)在x=x处的导数就是当自变量的改变量无 限趋近于0时，平均变化率无限趋近的值.它刻画了函数在某一 点处变化的快慢， 知识点3导数的几何意义 1.导数的几何意义 卫划重点 如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x),如果当点 (1)一般曲线的切线是用 P(x,f(x)沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P(xo,f(xo)时，割 割线的最终位置来定义的 线PP无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P。T (2)用割线PP的最终 称为曲线y=f(x)在点P。处的切线. 位置定义的切线：①与点P (P。为切点)的位置有关； y=f(x) ②要依据割线PP是否存在 最终位置来判断是否存在切 线；③若曲线在某点处有切 线，则切线是唯一的 f( To 72 第五章一元函数的导教及其应用酱出型 割线P,P的斜率=f)二fo),记△x=x一，当点P沿 刀拓视野习 x-xo 若函数f(x)在x=x0处 着曲线y=f(x)无限趋近于点P。,即△x→0时，k无限趋于函数 的导数f(x)=0,是否说明 y=f(x)在x=x处的导数. 函数图象的上升与下降发生 因此，函数y=f(x)在x=xo处的导数f'(x)就是切线 了转变？ 函数f(x)在x=xo处的 P,T的斜率k,即=1imf+△x）-f）=f(). 导数∫(xo)=0并不能说明 A工-=0 △x 函数图象的上升与下降发生 这就是导数的几何意义， 了转变，若函数在x=x0左右 2.函数图象的变化与导数的关系 的导数都大于0，或者都小于 0,则函数图象的走势并没有 (1)曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo)处的切线的斜率，即函 发生转变.如函数f(x)=x3 数y=f(x)在x=xo处的导数，反映了曲线在点P。处的瞬时变 在x=0处的导数等于0，但 化率，一般地，切线的斜率的绝对值越大，曲线变化得越快，即曲 f(x)=x3的图象一直上升. 线比较陡峭；切线的斜率的绝对值越小，曲线变化得越慢，即曲线 比较平缓.由曲线在点P。处附近的变化程度，可以判断曲线在点 P。处切线的斜率的绝对值的大小 (2)曲线y=f(x)在点Po(xo,f(x)处的切线的斜率是正数 时，函数y=f(x)在x=x处附近的图象是上升的；曲线y=f(x) 在点P。处的切线的斜率是负数时，函数y=f(x)在x=xo处附 近的图象是下降的.斜率的绝对值的大小反映了曲线上升或下降 的快慢。 知识点4导函数的概念 1.导函数的概念 刀划重点司 (1)并不是所有的函数都 从求函数y=f(x)在x=处的导数的过程可以看到，当x=xo 有导数 时，f(x)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f(x)就 (2)∫(x)与原函数f(x) 是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）.y=f(x) 的定义域都是区间(a,b),此 区间一般是一个开区间，这是 的导函数有时也记作y',即f(x)=y=lim f(x+△x)-f(x) △x 因为区间的端点不一定都 2.求导函数的步骤 有△x. 给定函数 计算Ay=fz+△x)-f( y=f(x) △x △x m签-A) f(z)=A(z) 73 重难包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 3.函数f(x)在x=xo处的导数f(xo)、导函数f'(x)之间的 区别与联系 刀记方法7 在x=x处的导数f(xo) 导函数f(x) 求函数在某点处的导数 f(x)是函数f(x)的导函数，是对某- 方法一利用定义f'() f(x)是函数f(x)在x= 区间内任意x而言的，即如果函数y一 =-lim fo十Ax)-fz) △x0 △x xo处函数值的改变量与自f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导 区别 方法二先求出导函数 变量的改变量之比的极限，数，此时对于每一个x∈(a,b),都对应 y=f(x),再将x=x代入 是一个常数，不是变量 着一个确定的导数f(x),从而构成了 导函数中求出f(xo). 个新的函数—导函数f(x) 函数f(x)在x=x0处的导数f(xo)就是导函数f(x)在x=x处 联系 的函数值.这也是求函数在x=x。处的导数的方法之一 重难拓展 重难点1分段函数的求导问题 对分段表示的非初等函数，判断函数在区间的分界点处是否 司敲黑板 可导时，都应该从定义出发求其导数.当分界点的两侧函数的对 函数在某一点处的导 应法则用不同式子表示时，应分别求函数在该点处的左、右导数， 数是指一个极限值，即 看其是否存在且相等，从而决定在该点处函数是否可导. 1imf+△w）-f）.当△ △0 △x 2x+1D,≤1， 0(包括△x→0+，△x→0)，判 例①已知函数f(x) 那么f(x)在x=1 定分段函数在分界，点处的导 2(x+1),x>1, 数是否存在时，要验证其左、 处 (填“可导”或“不可导”) 右极限是否存在且相等，如果 存在且相等，才能判定这一点 解析当x≤1时， 存在导数，否则不存在导数 21+Ax)P+1-2×(1+1) lim △y=1im A0△xx0 △x 当x>1时， lim Ay=lim 2[1+Ax)+1]-2×(1+1) 4x0+△x Ax→0 △x 2 ∴.f(x)在x=1处不可导. 答案不可导. 重难点2导数几何意义下的切线问题 函数y=f(x)在x=xo处的导数f'(xo)的几何意义是曲线 y=f(x)在点P(xo,f(xo)处切线的斜率，在点P。处的切线方 程为y-f(x)=f'(x)(x-xo). (1)求曲线的切线方程时，要先检验所给的点是否在曲线上， 74 第五章一元函数的导教及其应用酱出型 注意对“在”和“过”的理解.若是“在某点处”的切线，则该点为切 卫记方法 点；若是“过某点”的切线，则该点不一定是切点；若是“过曲线外 过某一，点M(x,y)(非 一点”的切线，则该点一定不是切点 切点)的切线方程的求法： (2)求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 设点设切点为P(x。 检验当，=x时， ①求切点(xo,f(x); 代人)，则%=f) 即直线x=x,是 否符合题意 ②求函数在x=o处的瞬时变化率f()=li fo十△x)-f) 列方程 f(,)= xi-xo A △x 化简上述方程，得关于x =k,得到曲线在点(xo,f(xo)处的切线的斜率； 解方程 的一元方程，求得x。 ③利用点斜式求切线方程. 确定f《x),利 根据检验结果 求切线 用点斜式得切 看是否添上直 线方程 线x=x (3)若f(x)在x=x处可导，则曲线y=f(x)在点(xo, f(xo))处有切线.若函数y=f(x)在x=xo处不可导，则曲线在 点(x,f(x)处也可能有切线，如函数y=x在x=0处不可导， 但有切线x=0.即若曲线y=f(x)在点(xo,f(x)处有切线，则 函数y=f(x)在x=x处不一定可导. 例2(2025·华中师大一附中高二月考)求解下列问题. (1)求曲线y=x2-2x+2在点(2,2)处的切线方程； (2)求过点（一1,0）且与曲线y=x2十x+1相切的直线方程. 解析(1).△y=(2十△x)2-2(2十△x)十2-(2-2X2十2) =2△x十（△x)2, .Ay=2+△x.y'1z=2=lim(2+△x)=2. △x A0 ∴.曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. .切线方程为y-2=2(x-2),即2x一y一2=0. (2)设切，点为(x0,x十x0十1)，则切线的斜率 -+a+士A)1-++D △ =2x0+1. 又：=（6十x+1)-0=z号++1 xo-(-1) xo+1; …26+1=6十0十1 x0+1 解得x0=0或x0=一2. 当xo=0时，切线斜率=1，过，点（一1,0）的切线方程为y 0=x+1,即x-y+1=0; 当x0=一2时，切线斜率k=一3，过，点（一1,0)的切线方程为 y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0. 故所求切线方程为x一y+1=0或3x十y十3=0. 75 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) -02一关键能力提升。一 题型方法 f(x1); 题型1变化率的简单运算 (2)计算自变量的改变量△x=x2一x1; 1.求物体运动的瞬时速度 (3)得平均变化率y=f2)-f) △x x2一T1 求物体瞬时速度的步骤： 例④已知函数f(x)=2x2一4的图象上 (I)设非匀速直线运动的规律s=s(t); 一点(1，一2)及邻近一点(1+△x,-2+△y), (2)求时间改变量△t和位置改变量△s= s(to+△t)-s(to); 则A=( △x ). (3求平均速度元-怎， A.4 B.4△x C.2△x+4 D.2(△x)2+4 (④)计算瞬时速度：当△1→0时，： △t 解析因为△y=f1十△x)-f(1)=2(1十 (常数) △x)2-4-（-2)=2(△x)2+4△x,所以Ay= △x 例3(2025·湖南浏阳一中月考)若一个 2△x+4. 物体的运动规律如下（位移s的单位：m,时间t 3t2+1,0≤t<3, 答案C 的单位：s):s(t)= 则此物 28+3(t-3)2,t≥3， 例5(2025·山西吕梁高二调考)（多选） 体在t=1和t=4时的瞬时速度分别为 两个学校W1,W2开展节能活动，活动开始后 两个学校的用电量W1(t),W2(t)与时间t的关 解析因为物体在t=1附近的平均速度为 系如图所示，则( ) △s_=s(1+△)-s(1)_31+△)2+1-3×12-1 △t △t △t W W.() 6+3△t, W,(t) 所以当△上趋近于0时，趋近于6.所以 0 物体在t=1时的瞬时速度为6m/s. A.W1比W2的节能效果好 因为物体在=4附近的平均速度为A: B.W1在[0，to]上的用电量的平均变化率 △t 比W2的小 28+3(4+M-3)2-28-3X4-3)=3△+6， △t C.两个学校的节能效果一样好 D.W1与W2自节能以来用电量总是一样大 所以当趋近于0时，会趋近于6，所以 解标根据题图可知W）一W(0)< 物体在t=4时的瞬时速度为6m/s. [答案6m/s,6m/s. W2(to)-W2(0),即W1在[0，to]上的用电量的 2.求函数的平均变化率 平均变化率比W2的小，B正确；因为 求函数平均变化率的步骤： (1)计算函数的改变量△y=f(x2) W)-w0>w,)-w,0,所以 to to 76 第五章一元函教的导教及其应用型 W1比W2的节能效果好，A正确，C错误；由于 ∴.y'|x=2=4十a. 曲线W=W1(t)和曲线W=W2(t)不重合， 2.利用导数的形式化定义的本质特征求 D错误， 极限 [答案AB (1)导数的形式化计算是大学数学中的 题型2函数y=f(x)在x=x处的导数及 一个重点内容，但在中学阶段，特别是在对极限 其应用 要求不高的前提下，不必深入研究，其本质就是 1.利用函数y=f(x)在x=x0处的导数 对导数概念f'(xo)=lim f(xo十△x)-f(xo)_ 公式求导数 △c0 △x (1)求函数f(x)在某点处导数的步骤与求 imf）二f的理解，需要说明的是，导数 x-xo 瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三 是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x= 极限 xo及其附近的函数值有关，与△x无关， (2)利用定义求函数y=f(x)在x=x0处 (2)求导的本质是求极限，在求极限的过 的导数，在求平均变化率会时，要注意对会的 程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知 变形，变形不彻底可能导致一会不存在， 极限的形式，即导数的定义式，这是能够顺利 求导的关键.导数的定义式可取不同的形式， (3)求解此类问题时，也可以先求导函数， 常见的有： 再代入x求值， 例6(2025·辽宁锦州一中高二月考)求 f(o)=1imf+h）-fn）,h=Ax; h 解下列问题， f(m)=mf）-f-D,h=Ax; (1)求函数y=√元在x=1处的导数； h (2)求函数y=x2+a.x十b(a,b为常数)在 f()=-lim）_fw）,△x=x-o. x=2处的导数. 例☑(2025·辽宁大连期中)若函数y= 解析(1)：△y-√1+△x-1,A义= △x f在x=处可导，则m十h)f-) 0 h √/1十△x-1=1 △x V1+△x+1'画+Az+ =(. 分y1-4 A.f(xo) B.2f(o) C.-2f'(x) D.0 (2).△y=[(x+△x)2+a(x+△x)十b] (x2+a.x十b)=2x·△x十（△x)2+a·△x= 解折方法-mf西+h)一f一) h (2x十a)·△x十（△x)2, -+》-九)+fa）-f-D h ..Ay(2xta).Ar(A)=2x+a △x △x 十△x. -四西》+a）0 h .'.lim AY=lim(2x+a+Ax)=2x+a. -f(xo)+lim Iao(h)]-f(xo) △x+0△Ax0 -h ∴.y=2x+a. =f'()十f(xo)=2f'(x): 77 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 方法二mf+h)-f-h) -lim2(x+Ar)-(z+Ax)-2x+ h-→0 h △x0 △x =m[2xf+h)2f-0 =lim [2-3x2-3xAx-(Ax)2] 2h △x =2-3x2 =2lim f(xo+h)-f(xo-h) h0 2h 设切点坐标为(x0,2x0一x8),则切线方程 =2f'(xo). 为y-2x十x8=(2-3x6)(x-x0). 答案B 切线过点（一1，一2)， 题型3用导数的定义处理曲线的切线问题 ∴.-2-2x0+x8=(2-3x6)(-1-x0), 1.已知点在曲线上的切线问题 即2十36=0，解得=0或0=一是 例8(2025·浙江杭州二中单元检测)曲 线f(x)=22在点A(1,)处的切线方程为 切点坐标为0,0)或一多，》 当切点坐标为（0,0)时，切线斜率k= 解析函数y= 2在[1,1十Ax]上的平均 -2-0=2,切线方程为y=2x,即2x一)y=0: -1-0 1 当切点坐标为 2,》时，切线斜率及 变化率为Ay 2(1+△x)2 -1 △x △x 2(1+4x),当 △x无限趋近于0时，8无限趋近于-)，因 8-(-2 ，切线方程为y十2 19 △x 此，函数y=2元在x=1处的导数f(1)= -9+1D,即19zx+4y+27-0, 2:由导数的几何意义可知曲线f)=2在 综上可知，过点（一1，一2）且与曲线y= 点A(1,)处的切线的斜率为-2 2x一x3相切的直线方程为2x一y=0或19x十 4y+27=0. 故曲线在点A(1,)处的切线方程为y 答案2x-y=0或19x十4y十27=0. 3=2a-1,即x+2y-2=0 点评若切线过，点(m,n)但切点未知，则 需设出切，点的坐标(x0,yo)及切线的斜率，根 [答案x十2y-2=0. 据切点既在曲线上又在切线上及导数的几何 点评曲线在点A处的切线，是说，点A既 意义=f(x),即可构建方程组 在曲线上，也是切点。 yo=f(xo)(切点在曲线上)，① 2.已知点不在曲线上的切线问题 yo一n=k(xo一m)(切点在切线上)，② 例9(2025·浙江金华一中高二单元检 k=f(xo)(导数的几何意义).③ 测)过点（一1，一2）且与曲线y=2x一x3相切 将①③代入②，消去y与k得关于x0的 的直线方程为 方程，解得代入③即得切线的斜率，从而得 物中公是 切线方程y-n=(x一m),最后化为一般式即可. 78 第五章一元函教的导教及其应用型 3.已知切线的特征求切点 题型4导数几何意义的应用 例10(2025·福建宁德一中高二月考)曲 1.利用导数的几何意义研究函数的性质 线y=x在哪一点的切线分别满足下列条件？ 例12(2025·西南大学附中高二单元检 (1)平行于直线y=4x-5; 测)如图所示，A,B,E三点的坐标分别为A(2,1), (2)垂直于直线2x-6y十5=0； B(3,0),E(x,0)(x0),过点E作OB的垂线l. (3)倾斜角为135°. 记△AOB在直线1左侧部分的面积为S,则函 解折f(x)=imfx+△x)=fx)_ 数S=f(x)的图象为(). △x lim △x→0 (x十△)2-2=2x,设P(0,)是满足 △x 3 条件的点， (1).切线与直线y=4x一5平行， ∴.2x0=4,得x0=2,yo=4,即P(2,4)是 01213 0引1123 满足条件的点， A B (2).切线与直线2x一6y十5=0垂直， S S 2…号=-1，得x=-昌%=星，即 3 O123x O123x P(-,)是满足条件的点. C D 解析函数的定义域为[0，十∞) (3).切线的倾斜角为135°， 当x∈[0,2]时，在单位长度变化量△x内 .其斜率为一1. 面积变化量△S越来越大，即图象切线的斜率 1 ∴.2x0=-1,得x0= f(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S= f(x)的图象是上升的，且图象是下凹的； 即P(一，)是满足条件的点。 当x∈(2,3)时，在单位长度变化量△x内 4.切线方程的综合应用 面积变化量△S越来越小，即图象切线的斜率 例11(2025·河北邢台一中高二单元检 f(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S= f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的； 测)曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标 轴所围成的三角形的面积为 当x∈[3，十∞)时，在单位长度变化量△x 3+△)3-3=27， 内面积变化量△S为0，即图象切线的斜率 解析，y'|x=3=lim △x f(x)在[3，十∞]内为常数0，此时，函数图象 .曲线在，点(3,27)处的切线方程为y一27= 为平行于x轴的射线， 27(x-3),即y=27x-54. 答案D 此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)， 2.利用导数的几何意义解决实际应用问题 (0,-54), 例13(2025·浙江萧山中学月考)“菊 “所求三角形的面积为2X2X54=54. 花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期 望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的 答案54. 高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系 79 重雕包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 式为h(t)=一4.9t+14.7t,求烟花在t=1s时 说，烟花在达到最高点前，以越来越小的速度 的瞬时速度，并解释烟花升空后至爆裂的运动 升空 情况。 解析烟花在t=1s时的瞬时速度就是 h(1)的值. 1.5 3 t 因为g=-h1+)-h(1D=4.9-4.9△， △d △t 易错警示 所以D=-总-期(4.9-49a ◆易错题11（错误率30%）(2025·湖南 =4.9. 长沙一中高二月考)已知函数f(x)的导函数 所以在t=1s时，烟花正以4.9m/s的速 f'(x)满足f'(2)=2,则imf2-3△)-f2) △x 度上升， 画出二次函数h(t)=一4.9t十14.7t(0≤ ◆易错题12（错误率25%）(2025·湖北 t1.5)的大致图象，如图所示.结合导数的几 何意义，我们可以看出，在t=1.5s附近曲线 武汉三中高二月考)已知函数f)=十 比较平坦，也就是说，此时烟花的瞬时速度近 似为0，达到最高点时，瞬时速度为0并爆裂； 号则曲线y=fx)过点P(2,4)的切线方程 当t∈[0,1.5)时，曲线在任何点处的切线斜率 为 都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是 参考答案见《全书易错题集》第3页 口03-核心泰养聚焦。 考向分类 [0,1]上则逐渐变小. 考向1图象背景下的变化率问题 答案B 例1④（经典·浙江卷）已知函数y= 命题意图：考查变化率的应用以及综合应 f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 用这一关键能力 命题规律 y=f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 真题探源：教材第71页[习题5.1]第10题 的变式 (). 常考题型 选择题难度系数0.6高考热度 ★ 核心素养 直观想象 素养水平水平二 考向2求曲线的切线方程 例15（经典·全国I卷）设函数f(x)= -101x-701 x3十(a一1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线 ⊙ C D y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(). 解析由导数的几何意义可得y=f(x)在 A.y=-2x B.y=-x [一1,0]上每一点处切线的斜率逐渐变大，在 C.y=2.x D.y=x 80