4.3.2 等比数列的前n项和公式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

第四章 4.3.2等比数列的前n项和公式 重点和难点 课标要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数 重点：等比数列的前n项和公式及其应用. 列的通项公式与前n项和公式的关系， 难点：灵活运用等比数列的前n项和公式解决相 2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系并能解 关问题 决相应的问题， 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1等比数列的前n项和公式及其定义法推导 1.等比数列的前n项和公式 刀划重点 设等比数列{an}的首项为a1,公比为g,则{am}的前n项和公 (1)等比数列的前n项和 式为 公式分q=1与q≠1两种情 况，因此当公比未知时，要对 [na1,q=1, 公比进行分类讨论. Sn= a-g 1-q (2)当q≠1时，公式Sn= 2.等比数列的前n项和公式定义法的推导 a1-2与S.=二a4是 1一9 1-q 由等比数列的定义得2-=…=a=q,根据比例的性质 等价的，利用an=aq”1可以 a az an-1 实现它们之间的相互转化. 得e十a+a=3a4=g(n≥2)，故(1-g)S.=a1-a,g. 当已知a1,q与n时，用 a1十a2十+an-1Sn-am S.=》较方便； 所以，当g≠1时，S=二a9(n≥2)，当n=1时，上式也成立.根 1-q 1-g 当已知a1,q与an时，用 据等比数列的通项公式a。=a1g1,又可得到S。=1)(g≠ 1-g Sn=a1二09较方便 1-q 1).当q=1时，Sn=na1(n≥2)，当n=1时，上式也成立. (3)对于等比数列的五个 知识点2等比数列前项和公式的推导方法一错位相减法 相关量a1,am,n,q,Su,知道其 中任意三个量，都可以利用方 设{an}为等比数列，首项为a1,公比为q,前n项和为Sm 程求出其余两个量， Sn=a1+a1q十a1q+…+a1q-1,① 在①式两边同乘q, 卫提个醒 得gSn=a1q十a1g+aq+…+aq.② 当q=1时，等比数列的 前n项和公式不能用错位相 ①-②，得(1-q)Sm=a1-a1q. 减法推导，此时等比数列是常 所以当9≠1时，S。=a1一9) 1-q 数列，Sn=na1. 49 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 根据等比数列的通项公式a,=a,又可得到5=4号 (q≠1) 显然，当q=1时，Sn=na1. 重难拓展 重难点1等比数列前n项和公式的函数特征 圆问题探究 1.等比数列的前n项和公式与其公比g的关系 如果数列{an}的前n项 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sm= 和为Sn=-Aq十A(Aq≠0， q≠1，n∈N*),那么这个数列 1g”,它可以变形为5=1”gg+品g设A=产g 1-q 一定是等比数列吗？ 则上式可写成Sm=一Ag+A的形式. 一定.理由如下：由于 Sm=-Ag”十A,则当n=1 则数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=一A十A图 时，S=a1=A(1-q),当n≥ 象上的一群孤立的点。 2时，an=S-Sn-1=(-Ag十 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sm是一个关于n A)-(-Agd1+A)=Aq1· 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互 (1-q),而当n=1时也符合 为相反数 该式，故数列{a}的通项公式 为an=Aq"-1(1-q)(n∈N), (2)当公比g=1时，因为a1≠0，所以Sm=na1,则数列S1, S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图象上一群孤立 并且1=Aq(1-g) a.Ag(1-g-g(常 的点. 数)，则数列{an}是等比数列， 其中首项为a1=A(1一q),公 2.等比数列的前n项和公式与其通项am的关系 比为q 在等比数列的前n项和公式中，我们有S,=巴g色g 由上可知，“数列{an}是 等比数列台Sn=一Ag十A g,9≠10.若令A=gB=g气1C=g号（显然A, (Aq≠0，q≠1，n∈N*)”可作 B,C均不为0，A≠一1，C≠1)，则Sn=Aam+1一B=Cam一B.这表 为判定非常数列{an}是等比 数列的一个依据， 明，如果数列{an}是公比不为1的等比数列，则S是am或am+1的 一次函数， 于是我们得到：已知Sm是数列{an}的前n项和，对于Sm= Aan+1-B=Cam一B,当且仅当ABC≠0，A≠-1，C≠1时，{an}是 等比数列！ 例1(2024·陕西西安铁一中高二月考)已知数列{an}的前 n项和S,=}(a,-1),则数列{a,}的通项公式是a,= 国面因为8=有4-名所以兮g昌分产于是a= 50 第四章教列型 2q=一7从而=(”： 鉴案（川 重难点2等比数列前n项和的性质 当1时，是-当士1时景-等6meN) (2)Stm=Sm+g"Sn=S+o"Sm(n;mEN*). (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为 2a(a∈N)侧则-g若项数为2n+1a∈N),则3-g S偶 (4)在等比数列{an}中，当q≠一1时，S6,Sk一S,S3一S2,…是 同敲黑板 等比数列(k∈N*,S≠0)；当q=一1且k为偶数时，S,S一S, 对于性质(4)：①当q=一1 且k为偶数时，S,Sk一S, S3一S2,…不是等比数列；当q=一1且k为奇数时，S6,S2一S, S一S2k,…不是等比数列； S3k一S2k,…是等比数列. ②当q≠-1，或q=-1 例2(2025·湖北襄阳五中高二月考)求解下列问题. 且为奇数时，S,S2k一S, S一S2,…是等比数列. (1)设Sm为等比数列{an}的前n项和，若27a4十a=0,求 S4 由①②可知，当连续m项 的值； 的和（如Snm,S2m一Sm,S3m S2m,…)不为0时，性质(4)才 (2)已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之 成立. 和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比q的值. 解析(1)设数列{a.}的公比为q,由27a4十a=0,得a4(27十 ）=0因为a0,所以27+g=0.解得g3故会-号-10 (2)方法一设S偶与S奇分别是该等比数列偶数项的和与 P拓视野 奇教项的和，公比为g则=q-2 若{an}是公比为g的等比 S街 数列，则：（1)前n项积Tn= 方法二设该等比数列的项数为2，易得该等比数列的奇数 aig;(2)连续m项的积仍 项和偶数项也分别成等比数列，且公比均为q, 为学比数列，甲T会 :.a1-(g)1=85，① 是等比数列，公比为q”. 1-g2 a19[1-(g)]=170.② 1-q 器得9=2 51 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 口02-关键能力提升。一 题型方法 S20),即(30-10)2=10(S30-30),得S30=70. 题型1与等比数列前n项和公式有关的基 方法二由性质(2)得S20=S10十q0S10, 本量的计算 即30=10+10g. 例3(2025·天津耀华中学高二月考)求 .g20=2. 解下列问题， ∴.S30=S20十g20S10=30十40=70. (1)设等比数列{am}的前n项和为Sn,若 a1=3,且a2022十a2023=0,求S101的值； 方法三意用性质1得惑一多：中 10_1-g20 (2)等比数列{an}的各项均为实数，其前n 301-g0, ∴.g0=2. 项和为S,已知5，=子，5,6的求a的值； 又=1g0 ，.S30=70. (3)在数列{an}中，a1=2,an+1=2au,Sn为 答案70. {an}的前n项和，若Sn=126,求n的值 例5(2025·浙江余杭高级中学月考)求 解析(1)设数列{an}的公比为q,由a2o22十 解下列问题. a2023=0可得q=-1.故S1o1=a101=a1=3. (1)一个项数为偶数的等比数列，各项之 (2)设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠ 和为偶数项之和的4倍，且前3项之积为64， fa(1-g)_7 1-q 4 q=2, 求该数列的通项公式； 2S3得q≠1，则 (2)设数列{am}是由正数组成的等比数列， a(1-q9）_63 1-9 4 得a- Sm是其前n项和，证明：logo.5Sm十logo.5Sm+2> 则as=a1=}×27=32. 2logo.5Sn+1. 解析(1)设该数列为{an},其首项为a1, (3)因为在数列{an}中，a1=2,an+1=2an, 公比为q,奇数项之和、偶数项之和分别记为 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数 S奇，S偶.由题意可知S奇十S偶=4S偶，即S奇 列因为8=128，所以2 =126,即2+1= =3S偶， S=1 128,解得n=6. .该数列的项数为偶数，q= S奇31 题型2等比数列前项和性质的应用 又a1·aq·a1q=64, 例④已知在等比数列{an}中，So=10, ∴.ai·q3=64,∴.a1=12. S20=30,则S30= 故该数列的道项公式为a,=12·(号)】 解析设等比数列{an}的公比为q, 12 4 .S20≠2S10,∴.q≠1. 3m-1-3m-2: S0≠S20,.q≠-1. (2)设等比数列{am}的公比为q,由已知得 方法一由性质(4)得S10,S20一S10,S30 a1>0,q>0. S20仍成等比数列，则(S20一S10)2=S10（S30一 .∵Sn+1=a1十qSn,S+2=a1十qSm+1, 52 第四章教列么型 ∴.SnSm+2一S2+1 2.错位相减法求数列的前n项和 -S,(a1+gS+)-(a1+qS)S+ 错位相减法是一种重要的数列求和方法， =aSn+gS,S+1-aSn+1-9SnSn+ 等比数列前n项和公式的推导用的就是错位 =a1(Sn-Sm+1)=-a1a+1<0, 相减法.当一个数列由等差数列与等比数列对 .SnSn+2<S%+1. 应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n 根据对数函数的单调性，得log.5Sm十 项和. 10go.5S+2>210g0.5Sn+1. 设数列{an}为等差数列，公差为d;数列 题型3与等比数列相关的求和问题 {bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{a,bn} 1.分组公式法求数列的前n项和 的前n项和为Tm.则Tm的求解步骤如下： (1)若an=bn士cn,且数列{bn},{cn}为等差 (1)列出和式Tn=ab十a2b2+asb+…十 或等比数列，可采用分组求和法求数列{am}的 anbn. (2)两边同乘以公比q:qTn=ab1q十a2b2q十 前n项和. a3b3q十…+abnq=a1b2十a2b3十a3b4+…十 bn,n为奇数， (2)通项公式为an 的数 aronti. cm,n为偶数 (3)两式相减（错位相减）并求和： 列，其中数列{bn},{cn}是等比或等差数列，可 (1-q)Tm=ab1+(a2b2-a1b2)+(a3b3 采用分组求和法.基本的解题步骤为： a2b3)+…十(anbn-an-1bn)-anbn+1=a1b1+ ①准确拆分，根据通项公式的特征，将其 (a2-a1)b2+(a3-a2)bg+…+(an-an-1)bn 分解为可以直接求和的一些数列的和； anont=ab1+d(62+03+.+on)-aon+1= ②分组求和，分别求出各个数列的和； ③得出结论，对拆分后每个数列的和进行 a,6+dX.-）-ah1. 1-q 求和，解决原数列的求和问题， (4)两边同除以(1一q)即得数列{a,bn}的 例6(2024·重庆巴蜀中学高二月考)求 前n项和Tm 和：(+号)+(2+)+…+(x+xy≠ 例☑(2025·浙江二模)已知整数数列 {an}满足2an=am+1十am-1(n≥2)，数列{bn}是 0,x≠1，y≠1)= 公比大于1的等比数列，且b1+b2+b3=14, 解析.∵xy≠0，x≠1，y≠1， b1b2b3=64.数列{cn}满足an=cnbn.数列{an}, +)+(e+)++(x+) {cn}的前n项和分别为Sm,Tn,其中n2<2Sn< (n+1)2 =(x+2+叶x)+(号+t+》 (1)求Sm和bm; (2)用[x]表示不超过x的最大整数，求数 列{[Tm]}的前2025项和M2o25. 1-x 11 y 解析（1)当n=1时，1<2S1<4. =x1-x+y-1 又因为an∈Z,所以a1=1. x-1 y2+1-y 由题意知，{an}为等差数列， 答案1十y-1 x-1y+1-y 设a.=1+(m-1)d,则S。=n+nn21)a. 2 53 重雕包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 依题意得n2<2n十n(n-1)d<(n+1)2, (2)设Sm为等比数列{an}的前n项和，若 (1-d)n+d-2<0, a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列，求数列{an} 则(d-1Dt-d1<0 成立，解得d=1, 的通项公式. 所以a=,S.=2(n+1). 解析(1)设等比数列{an}的公比为q.由 题得2(S十a5)=S3十a3十S4十a4,所以4a5= 设等比数列{b}的公比为q, 因为b1+b2十b3=14,b1b2b3=64, a,所以一8-又因为{a是单调递减教 所以b1+b1q+b1q=14,bq3=64, 列且a=多，所以g=分所以数列{a,}的通项 得2q-5q十2=0， 1 解得q=2或q=2(舍去)， 公是a=多×（位》=是 (2)由3S1,2S2,S3成等差数列，得4S2= 代入b1q=4中，解得b1=2, 3S1+S3,所以3S2-3S1=S3-S2,即3a2=a3. 则数列{bn}的通项公式为bn=2”. 所以公比q=3.因为a1=1,所以数列{am}的通 (2)c-是 项公式是an=a1q-1=3m-1. =+++…+， 2.与等差数列和等比数列综合应用相关 2m,① 的探索性问题 含红=安+++…+ 例⑨(2025·湖北孝感一中期中)已知Sm 2m+,② 是等比数列{an}的前n项和，S4,S2,S3成等差 ①-@，得号工=员+是+是+…+是 数列，且a2十a3十a4=一18. 2=1-+2 (1)求数列{an}的通项公式. 2n+i, (2)是否存在正整数n,使得Sm≥2022？ 即T.=2-n2<2. 若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不 2n 存在，请说明理由. 当n=1时，2”<n+2,T1=2-12= 解析(1)设等比数列{an}的公比为q 2 S2-S4=S3-S2, 0.5,所以[T1]=0. 由题意得 a2+a3+a4=-18, 当n≥2时，2m≥n十2，所以1<Tm<2,所 ,∫-a1q-a1q=a1q, 以[Tm]=1, a1q(1+q+q2)=-18, 所以M2025=2024. 题型4等差数列与等比数列的综合应用 解得3， lg=-2. 1.等差数列与等比数列的综合运算问题 故数列{an}的通项公式为an=3X 例8(2025·广东阳江一中高二月考)求 (-2)m-1. 解下列问题 (2由1有S=31二（-2》]=1-(-2 (1)已知首项为的等比数列{a,}是单调 1-(-2) 若存在n,使得Sm≥2022， 递减数列，其前n项和为Sn,且S3十ag,S十a5, 则1-(-2)≥2022， S4十a4成等差数列，求数列{an}的通项公式； 即(-2)"≤-2021. 54 第四章教列出型 当n为偶数时，（一2）">0，上式不成立； 化简，得5×（售）“+2×(”-7>0， 当n为奇数时，(-2)”=一2n≤一2021， 即2m≥2021，则n≥11. 即5×（售）-7×（售）”+2>0， 综上所述，存在符合条件的正整数n,且n 的集合为{nn=2k+1,k∈N,k≥5}. 即[5x(传》”-2]×[（(}°-1]>0， 题型5等比数列前n项和的实际应用 由于()<1，故5×()-2<0， 例10(2025·湖北宜昌一中月考)从社 会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生 即()”< 态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划， 则有n(1g4-lg5)<1g2-1g5, 本年度投入800万元，以后每年投入将比上一 所以n(2lg2-lg5)<lg2-lg5, 年减少·本年度当地旅游业收入估计为400万 即n(3lg2-1)<2lg2-1,由此得n≥5. 元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超 今后的旅游业收入每年会比上一年增加子 过总投入 题型6与等比数列前n项和相关的数学 (1)设n年内（本年度为第一年）的总投入 文化与创新问题 为am万元，旅游业总收入为bn万元，写出am 1.数学文化中的等比数列前n项和问题 与bn的表达式； 例11(2025·广东惠州一中调研)《九章 (2)至少经过几年，旅游业的总收人才能 算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚 超过总投入？(1g2≈0.3010) 五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺 解析(1)根据题意，得 大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各 a:=800+800×(1-号)+…+800× 穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只 (1-）》 老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大 老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2 =8001+号+(}°+…+()] 倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前 =4o0o1-(停)]， 一天的2.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞 几尺？”如果墙足够厚，Sm为前n天两只老鼠打 b.=400+400×(1+)+…+400× 洞长度之和，则Sn= 尺 1+ 解析由题意可知，大老鼠每天打洞的长 度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n =4o[1++()°++()] 天打洞长度之和为} =2"一1，小老鼠每天 =160l[(9°-1] 打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比 (2)设经过n年，旅游业的总收入才能超 过总投入，则bn一am>0, 数列，前n天打洞长度之和为 即160[()”-1]-400[1-（传）]>0， 55 重雕包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) (2》,所以5.=2-1+2-(2》=2 个数，所以aw=ae十（函-2）d=日+（便-2）X (2+1. 1=(k=1,2,…,n). 16-16 奥2-（侵）+1. (3)因为第k列的数成等比数列，且a4为 2.与等比数列前n项和相关的创新问题 此列中第4个数，所以a腿=aq1=会× 例12(2025·华中师大一附中月考)有 (2)=k×(侵)广(k=1,2,…,m).设S- n2(n≥4)个正数，排成nXn矩阵(n行n列的 a11a12 ain an十az+…+a,则S=号+2X(2)+3× a21 a22 a2n 数表) ,其中每一行的数成 (2)'++(n-1Dx(合)+n×(》八，① an2 2s=(侵)}°+2×（侵》°+…+(m-2)× 等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有 的公比都相等已知ax=lae-令u= 心 (2)》+(m-1Dx(合)°+x(合)，② (1)求公比q; ①-②，得2s=+(侵)°+（份》+…十 (2)用k表示a4; (分”-nX(侵》，整理得s=2-"2 2n (3)求a11十a22十…十am的值. 易错警示 解析(1)因为每一行的数成等差数列，所 ●易错题9（错误率25%）(2025·辽宁 以a42,a43,a44成等差数列.所以a44=2a43 沈阳高三调考)设等比数列{an}的前n项和 ag-是又每一列的数成等比数列，设公比为 为Sm,a1≠0，若S3十S6=S9,则该数列的公 则a=ae,则矿-器=又a>0,所以 比为 ◆易错题10（错误率30%）(2025·湖 9>0,故g=号 南长沙一中高二月考)在等比数列{an}中，前 n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，则 (2)由已知得，第四行的数成等差数列，且 紧接着后面的3n项和S为」 公差d=a43 1G:因为a为此行中第飞 1 a42= 参考答案见《全书易错题集》第2页 03核心泰养聚焦。 考向分类 S6=(). 考向1等比数列前n项和公式的应用 A.7 B.8 C.9 D.10 例13（经典·全国甲卷）记Sn为等比数 解析易知S2,S4一S2,S6一S4构成等比 列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则数列，由等比中项得S2(S6一S4)=(S4一S2)2, 56 第四章 教列么出型 即4(S6一6)=22，所以S6=7. 设{an}的公比为q(q>0), 答案A 因为Sg-S4=a5+a6十a7+a8= 命题意图：考查等比数列的前n项和公式 (a1+a2+a3+a4)g=68-4=64,又S4=a1+ 命题规律和性质以及运算求解这一关键能力 a2十a3十a4=4, 真题探源：与教材第35页例7类似 常考题型选填题难度系数0.6高考热度★★★ 所以83=-壁=16，所以q=2,所 核心素养 数学运算 素养水平水平一 以该等比数列公比为2. 例14(2025·全国一卷)若一个等比数列 答案2. 的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项 命题意图：考查等比数列的通项公式、前n 的和等于68，则这个数列的公比为 项和以及运算求解这一关键能力 命题规律 真题探源：教材第37页[练习]第5题的 解析方法一设该等比数列为{an},Sm 变式 是其前n项和，则S4=4,S8=68. 常考题型选填题难度系数0.5高考热度★★★ 设{an}的公比为q(q>0), 核心素养 数学运算 素养水平水平一 当q=1时，S4=4a1=4,即a1=1,则S8= 8a1=8≠68，显然不成立，舍去. 考向2 等比数列前n项和Sm与am的递推 当g≠1时，则S,=a104）=4,5= 关系的应用 1-q 例15（经典·全国I卷）记Sm为数列 a11-9)=68, {an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= 1-q 两式扣修等-学甲42一的 1-g 解析因为Sn=2an十1，所以当n=1时， =17, a1=2a1十1，解得a1=-1. 则1+g4=17,所以g=2, 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=2an十1一 所以该等比数列公比为2. (2am-1十1)，所以am=2am-1.所以数列{an}是 方法二设该等比数列为{an},Sn是其前 以一1为首项，2为公比的等比数列.所以an= n项和，则S4=4,S8=68. -2-1.所以S=1X1,2)=-63. 1-2 设{an}的公比为g(g>0), 答案-63. 因为S4=a1十a2+a3十a4=4, S8=a1+a2+a3十a4十a5+a6+a?十ag 命题意图：考查等比数列的前n项和公式 的递推关系式以及运算求解、逻辑思维两 =a+a2+a3+as+ang+azg+a3g+ 命题规律 种关键能力 aagi 真题探源：救材第56页[复习参考题4]第 =(a1+a2+a3+a4)(1+q)=68, 11题的变式 所以4(1十g)=68,则1+g4=17,所以 常考题型选填题难度系数0.45高考热度 ★★ q=2,所以该等比数列公比为2. 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 方法三设该等比数列为{an},Sn是其前 例16（经典·江苏卷）设{an}是公差为d n项和，则S4=4,S8=68. 的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知 57 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 数列{am十bn}的前n项和Sn=n2一n十2m一1 所以Tm=b1+b2+b3十…+bn=4X3°+ (n∈N*),则d+q的值是 8×31+12X32+…+4n×3m-1, 解析杞方法一由题意可得S1=a1十b1 故3Tm=4×31+8×32+12×33++ 1.当n≥2时，am+bn=Sm-Sm-1=2n-2+ 4nX3", 2m-1,易知当n=1时也成立，则a十(n一1)d十 所以一2Tn=4十4X31十4×32十…+4× b1q-1=dn+a1-d+b1g-1=2n-2+2m-1对 3m-1-4nX3m 任意正整数n恒成立，则d=2,q=2,d十q=4. =4+4×3(1-3m-1) 1-3 -4n×3m=4+6× 方法二由等差数列和等比数列的前n (3m-1-1)-4nX3n 项和的特征可得等差数列{an}的前n项和 =(2-4n)×3m-2, Hm=n2一n,等比数列{bn}的前n项和Tm= 所以Tm=(2n-1)X3m+1. 2m-1,则d=2,q=2,d十q=4. 命题意图：考查等比数列的通项公式、错 答案4. 位相减法求和以及运算求解、综合应用这 命题规律 两个关键能力 命题意图：考查等差数列、等比数列的前 真题探源：教材第40页[习题4.3]第3题 项和公式以及运算求解、逻辑思维等关键 的变式 命题规律能力 真题探源：教材第41页[习题4.3]第12题 常考题型解答题难度系数0.5 高考热度★★★ 的变式 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 常考题型选填题难度系数0.5 高考热度 ★★ 例18（经典·浙江卷）已知数列{an}的 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 前n项和为Sn,a1=一 ，且4S.1=3S.-9 考向3利用错位相减法求和 (n∈N*). 例17(2024·全国甲卷)记Sm为数列 (1)求数列{an}的通项公式； {an}的前n项和，已知4Sn=3an十4. (2)设数列{bn}满足3bn十(n一4)am= (I)求数列{an}的通项公式； 0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tm,若Tn≤ (2)设bn=（一1)m-1nan,求数列{bn}的前n λb.对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值 项和Tm 范围 解析(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1十4， 解析(1)因为4S+1=3Sm一9， 解得a1=4. 所以当n≥2时，4Sn=3Sm-1一9. 当n≥2时，4Sm-1=3am-1十4，所以4Sm- 4Sn-1=4an=3an-3an-1,Ep an=-3an-1, 两式相减，得4a+1=3a,即m+1=3 an 4 而a1=4≠0，故an≠0，所以an=-3, an-1 当m=1时，4S,=4(-9+a)=-27-9， 所以数列{am}是以4为首项，一3为公比 解得a2= 27 的等比数列， 16 所以an=4X(-3)m-1 所以2=3 a14 (2)因为bn=(-1)m-1n×4X(-3)m-1= 4nX3m-1, 所以教列{a}是首项为-是，公比为是的 58