4.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 必备知识基础练 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前3项和S3=21,则a3+a4+a5等于(　　) A.33 B.72 C.84 D.189 2.已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论一定正确的为(　　) A. B.2S8≠S4+S12 C. D.(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)(n∈N*) 3.(2021江苏南京师大附中高二期末)已知{an}是等比数列,{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别是A,B,C,则(　　) A.A+B=C B.3B-3A=C C.B2=AC D.B(B-A)=A(C-A) 4.已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层有灯(　　) A.2盏 B.3盏 C.5盏 D.6盏 6.(2021天津河西高二期末)已知等比数列的首项为-1,前n项和为Sn,若,则公比q=(　　) A.2 B.-2 C. D.- 7.(多选题)(2021江苏常州高二期中)记数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,下列四个命题中不正确的有(　　) A.对于∀n∈N*,=anan+2,则数列{an}为等比数列 B.若Sn=Aqn+B(非零常数q,A,B满足q≠1,A+B=0),则数列{an}为等比数列 C.若数列{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列 D.设数列{an}是等比数列,若a1<a2<a3,则{an}为递增数列 8.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,则S10-S4=　　　.  9.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2 020=. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn,n∈N*,求: (1)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式; (2)a2+a4+a6+…+a2n的值. 关键能力提升练 11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=(　　) A.81 B.24 C.-81 D.-24 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=5,S4=20,则=(　　) A.9 B.10 C.12 D.17 13.某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为5‰,每月复利一次,则a,b满足(　　) A.b= B.b= C.b= D.<b< 14.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为 (　　) A. B. C.1 D.2 15.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　) A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{log2an}是公差为2的等差数列 16.(多选题)在《算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是(　　) A.此人第三天走了四十八里路 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C.此人第二天走的路程占全程的 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=bn+1-2(b>0,b≠1),则a4=　　　　.  18.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为　　　　　.  19.已知正项等差数列{an}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项,a2=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,求实数k的取值范围. 学科素养创新练 20.王先生今年初向银行申请个人住房贷款150万元购买住房,月利率为0.4%,按复利计算,并从贷款后的次月初开始还贷,分25年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息). (1)若王先生采取等额本金的还贷方式,已知第一个还贷月应还11 000元,最后一个还贷月应还5 020元,试计算王先生该笔贷款的总利息; (2)若王先生采取等额本息的还贷方式,银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入为18 000元,试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素) 参考数据:1.004299≈3.30,1.004300≈3.31,1.004301≈3.32. 参考答案 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.C　设公比为q,则S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0. 因为q>0,所以q=2. 故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84. 2.D　若q=-1,且n为偶数,则有Sn=0, ∴S4=S8=S12=0,此时,A,B,C不成立;根据等比数列的性质也可以得到选项D正确.故选D. 3.D　若公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,A,B-A,C-B成等比数列,故(B-A)2=A(C-B),整理得B2-AB=AC-A2,即B(B-A)=A(C-A),若公比q=-1,且n为偶数时,A=B=C=0,满足此式.故选D. 4.B　由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和的4倍,可知S奇+S偶=4S偶.设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得S偶=qS奇, ∵S偶≠0,∴q=. 又前3项之积a1a2a3==64,解得a2=4, ∴a1==12.故选B. 5.B　设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,故顶层有3盏灯. 6.D　(方法1)当公比q=1时,=2,不满足题意,当q≠1时,S10=,S5=,所以=q5+1=,解得q=-. (方法2)由可知,设S10=31k,S5=32k(k≠0),则由S10=S5+q5S5可知,31k=S5(1+q5)=32k(1+q5),解得q=-. 7.AC　若an=0,满足对于∀n∈N*,=anan+2,但数列{an}不是等比数列,故A错误; 对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn+B-(Aqn-1+B)=Aqn-1(q-1)且q≠1,当n=1时,因为A+B=0,则a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式,故数列{an}是首项为A(q-1),公比为q的等比数列,故B正确; 若数列{an}为等比数列,当公比q=-1,且n为偶数时,此时Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均为0,不是等比数列,故C错误; 设数列{an}是等比数列,且公比为q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,则{an}为递增数列;若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,则{an}为递增数列,故D正确. 8.2 016　依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2. 于是S10-S4==2 016. 9.3·21 010-3　∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1, ∴a2=2,a3=2. 又an+2·an+1=2n+1,∴=2, ∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2. ∴S2 020=(a1+a3+…+a2 019)+(a2+a4+…+a2 020)==3·21 010-3. 10.解(1)由a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,…,得 a2=S1=a1=, a3=S2=(a1+a2)=, a4=S3=(a1+a2+a3)=. 由an+1-an=(Sn-Sn-1)=an(n≥2),得an+1=an(n≥2), ∵a2=,∴an=(n≥2). ∴数列{an}的通项公式为an= (2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为,公比为,项数为n的等比数列, ∴a2+a4+a6+…+a2n=-1. 11.D　由等比数列的性质可得a1a2a3==-27,解得a2=-3. 设等比数列{an}的公比为q,则S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n-1), 所以q=2,所以a5=a2×q3=-3×23=-24. 12.B　设等比数列{an}的公比为q,因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20,所以q=3. 则=q2+1=10. 13.D　显然12b>a,因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,所以12b<a(1+0.005)12,所以b<,所以<b<. 14.D　设数列{an}共有(2m+1)项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=,S偶=a2+a4+…+a2m=,因为项数为奇数时,S奇=a1+S偶·q,即2+q=,所以q=. 所以Tn=a1·a2·…·an=q1+2+…+n-1=, 故当n=1或2时,Tn取最大值2. 15.ABC　因为数列{an}为等比数列, 又a1a4=32,所以a2a3=32. 又a2+a3=12,所以 又公比q为整数,则选项A正确; 由上可知an=2n,Sn==2n+1-2, Sn+2=2n+1,=2, 则数列{Sn+2}是等比数列,即选项B正确; S8=29-2=510,即选项C正确; log2an+1-log2an=(n+1)-n=1, 即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误. 故选ABC. 16.ABD　根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n天走an里路,则{an}是首项为a1,公比为q=的等比数列. 所以S6==378,解得a1=192. a3=a1q2=192×=48,所以A正确, 由a1=192,则S6-a1=378-192=186,又192-186=6,所以B正确. a2=a1q=192×=96,而S6=94.5<96,所以C不正确. a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×1+=336,则后3天走的路程为378-336=42, 而且42×8=336,所以D正确. 故选ABD. 17.16　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn. 因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2, 因此Sn=2n+1-2,于是a4=S4-S3=16. 18.π　根据题意知第一个内切圆的半径为×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n个内切圆的面积之和为π. 19.解(1)设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d. ∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3, ∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去). 又a2=3,d=2,∴a1=1,an=2n-1. ∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴bn=3n. (2)由(1)知b1=3,公比q=3. ∴Tn=, ∴k≥3n-6对n∈N*恒成立. ∵Tn>0,∴k≥对n∈N*恒成立. 令cn=,cn-cn-1=,当n≤3时,cn>cn-1,当n≥4时,cn<cn-1, ∴(cn)max=c3=,故k≥. 20.解(1)由题意可知等额本金还贷方式中,每月的还贷额构成一个等差数列{an},Sn表示数列{an}的前n项和, 则a1=11 000,a300=5 020, 故S300==2 403 000, 故王先生该笔贷款的总利息为2 403 000-1 500 000=903 000(元). (2)设王先生每月还贷额为x元,则有x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299=1 500 000×(1+0.004)300,即x·=1 500 000×1.004300, 故x=≈8 597.4. 因为8 597.4<18 000×=9 000, 故王先生该笔贷款能够获批. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$