4.2.1 等差数列的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 重点和难点 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义， 重点：等差数列的定义、通项公式及其应用. 2.体会等差数列与一次函数的关系。 难点：等差数列通项公式的推导与应用. 3.掌握等差数列的应用， 口01一必备知识梳理。一 基础梳理 知识点1等差数列的定义 P刘重点司 1.等差数列的定义 对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为 般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 首项没有“前一项”. 差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数 (2)一个数列从第2项 起，每一项与它前一项的差即 叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 使等于常数，这个数列也不一 2.等差数列定义的递推式表达 定是等差数列.因为当这些常 数不同时，该数列不是等差数 由等差数列的定义可知，等差数列{an}满足a2一a1=a3 列.因此定义中强调“同一个常 a2=a4一ag=…=am一anw-1=…=d,其中d是与n无关的常数. 数”，注意不要漏掉这一条件 因此等差数列的定义可用数学符号语言描述为：在数列{αn}中， 同敲黑板7 判断一个数列{an}是否 若a+1一an=d(常数)对任意n∈N*都成立，或a一am-1=d(常 为等差数列，只需要看对于任 数)对任意n≥2，n∈N都成立，则称数列{an}为等差数列.这两 意正整数n,an+1一an的值是 个式子通常作为判断一个数列是否为等差数列的依据， 不是同一个常数.切记不可通 过计算a2-a1,a3-a2,a4-a3 知识点2等差中项 等有限的几个式子的值后，根 据它们都是同一个常数，就得 1.等差中项的概念 出该数列{an}是等差数列的 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数 结论（事实上，由以上几个式 列.这时，A叫作a与b的等差中项. 子仅能得出由数列{an}的前 四项构成的数列是等差数 2.等差中项的数学表示式 列).因为由特殊到一般得出 事实上，若a,A,b成等差数列，即A=,则A是a与6的 的结论不一定正确. 刀刘重点7 等差中项若A=士，即A-a=b-A,则a,A,b成等差数列. 在等差数列{an}中，任取 相邻的三项am-1,an,a+1(n≥ 13 重难点手册高中数学选择性必修第二册？A(浙江专用) 知识点3等差数列的通项公式 2且n∈N*),则an是am-1与 a+1的等差中项，满足2an= 1.等差数列的通项公式 a-1十a+1;反之，若an-1十 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式是an= a+1=2an对任意n≥2且n∈ a1+(n-1)d. N都成立，则数列{an}是等 差数列.因此数列{an}为等差 2.等差数列通项公式的变形 数列台2an=am-1十an+1(n≥2 已知等差数列{an}中的任意两项am和am(n,m∈N* 且n∈N).此结论可用来判断 am=a1+(n-1)d, 所给的数列是否为等差数列. 且n≠)，则 →an-am=(n-m）d→ P记方法7 am=ai+(m-1)d 等差数列{an}的通项公 an=am+(n-m)d, 式an=a1+(n-1)d中包含 d=anam 这表明已知等差数列的任意两项即可求出 a1,n,d和am四个基本量，从 n-m 方程的角度看，已知其中的三 其公差，进而求出通项公式， 个量可以求另外一个量 重难拓展 重难点1等差数列与一次函数 刀划重点 1.等差数列与一次函数 已知数列{am}的通项公 由等差数列{an}的通项公式an=a1十(n一l)d,可得a,= 式为an=n十q(p,q为常 dn十(a1一d)=pn+q,其中p=d,q=a1一d均为常数，即若{an} 数)，则数列{an}是等差数列， 为等差数列，则an=pn十q(p,q为常数).当d≠0时，等差数列的 这是因为an=n十q,am-1 通项公式的等号右边是关于的一次整式，一次项系数就是等差 p(n-1)+q(n≥2)，an-am-1 数列的公差d.因此从下图看，表示数列{an}的各点均匀地分布在 =(pn+q)-[(n-1)+q]= p(常数)，所以数列{am}是等 一条直线上.当d=0时，a=a1,等差数列为常数列，此时数列的 差数列，且公差是p.数列{an》 图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点. 为等差数列台an=n十q(p,q f(x)1 (6,as)f(x)=dx+(a1-d) 为常数).此方法也可作为等 (5,a 差数列的判定方法之一 a (4,a） (3,a) a 2,92 司敲黑板 a2 a (1,a 通过对比等差数列和一 a-dy 次函数的异同，可以看出等差 0123456 数列的性质实际上是一次函 总之，等差数列的图象是直线f(x)=dx十(a1一d)上均匀分 数性质的直接反映，因此研究 布的一群孤立的点。 等差数列的性质，可以回归到 2.等差数列的单调性 对一次函数性质的研究 由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公 差d的影响. (1)当d>0时，数列为递增数列，如图①. 14 第四章 教列么型 (2)当d<0时，数列为递减数列，如图②. P作比铰7 (3)当d=0时，数列为常数列，如图③. 等差数列与一次函数 a a, 等差数列 一次函数 关系式 an=a+(n-1)df(x)=kx十 1234 O1234元 1234 (d≠0，n∈N)b(k≠0) 定义域为N*或 ① ② ③ 其有限子集{1， 因此，不论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列， 定义域为 不 2,3,…,n},图象 R,图象是 例①(2025·湖南泪罗一中单元检测)若数列{am}为等差数 是一系列孤立的 一条直线 点(，点均匀分布 列，ap=q,ag=(p≠q),则ap+g= 在一条直线上) 解析方法一'ap=a,十（p一q)d, 等差数列的通项公式和一次 .q=p+（p一q)d,即q-p=（p-q)d. 函数的解析式都是关于自变 点 p≠q,d=-1. 量的一次整式 ..ap+q=ap+(p+q-p)d-q+qx(-1)=0. 方法二·数列{an}为等差数列， 卫记方法7 ∴.点(n,an)在一条直线上. 因为点(1，a1),(2,a2), 不妨设<q,记点A(p,q),B(q,p),则直线AB的斜率k= (3,a3),…,(n,an),…在一条 g=一1，如图.由图易知OC1=p十q,即点C的坐标为（巾十 以公差d为斜率的直线上，所 q一 以对直线上任意两，点(n,an), q,0),故ap+g=0. (m,am),有d=a二am(n≠ nm m),由此可得an=am十(n一 m)d(n≠m). B 答案0. 重难点2等差数列的性质 P提个醒7 若数列{an}是公差为d的等差数列，由等差数列的定义可得 1.对于性质(1)，若a= {an}具有如下性质： q,ag=p,则ap+g=0. (1)an=an十(n-m)d(n,m∈N*),d=aa-am(n≠m). 2.对于性质(2)，若m十 n-m n=2p,则am十an=2ap(m,n, 由此得a,=a,十6a-p0d=分号，一8， p一q 2ag(ab与ag是等 p∈N*). 3.在有穷等差数列中，与 差数列{an}中的任意两项，且p≠q. 首、末两项等距离的两项之和 (2)若m十n=p十q,则am十am=ap十ag(m,n,p,q∈N*). 都相等，且都等于首、末两项的 (3)下标成等差数列的项a,a+m,ak+2m,…组成以md为公 和，即a1十an=a2十a-1=…= 差的等差数列. a:十am+1-=…. 15 重难包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) (4)数列{tan+λ}(t,入是常数)是公差为td的等差数列， P拓视野7 (5)若数列{bn}为等差数列，则数列{tam士λbn}(t,入是常数) 1.对于性质(2)，可作如 仍为等差数列. 下推广：若m十n十t=p十q十 (6)等差数列中依次m项之和仍组成等差数列，即数列a1+ r,则am十an十a=ap+ag十ar (m,n,t,p,q,r∈N*). a2十十am,am+1十am+2十…十a2m,a2m+1十a2m+2十…十a3n,…是 2.由性质(3)可知，若数 以md为公差的等差数列. 列{an}是公差为d的等差数 例2（多选）若数列{an},{bn}均是公差为d(d≠0)的等差数 列，则该数列中所有的偶数项 构成的数列{a2n}、所有的奇数 列，则下列数列中是等差数列的是( 项构成的数列{a2m-1}都是等 A.{man}(m为常数) B.{a品-b品} 差数列，公差都为2d. C.(an-bn D.abn 3.性质(6)的证明如下： 因为(am+1十am+2十…十a2n) [解析对于A,由man+1一man=m(am+1一an)=md(常数)可 (a1十a2十…十am)=(am+1 知，数列{man}是等差数列；对于B,由(a品+1一b品+1)-(a品-b品)= a)+(am+2-a)+…十(a2m (a+1-an)(an+1+an)-(bn+1-bn)(bn+1+bn)=d[2a1+(2n- am)=md+md+…+md= m项 1)d]一d[2b1+(2n一1)d]=2d(a1-b1)为常数可知，数列{a品- mld,(a2m+1+a2m+2+…+a3m） b}为等差数列；对于C,由a+1一bn+1一(an一bn)=(a+1一an)一 -(am+1+am+2十…十a2m)= (b+1一bm)=0为常数可知，数列{am一bn}为等差数列；对于D,由 m2d,…,所以a1+a2十…+ am,am+1+am+2十…十a2m, an+1b+1-anbn=(an十d)(bn十d)-a,bn=d2+d(an十bn)不为常 a2m+1十a2m+2十十a3m,…为 数可知，数列{anbn}不是等差数列. 等差数列，且公差为md. 答案ABC 02关键能力提升。○ 题型方法 即bn+1-bn=1.所以数列{bn}是以b1=2a1=1 题型1等差数列的判定与证明 为首项，1为公差的等差数列， 1.利用定义法判定或证明等差数列 方法二将2a+1=an十（ 2 的等号两边 a+1-an=d(n∈N*)或am-an-1=d(n≥ 2,n∈N*)台→数列{an}是等差数列. 同时乘以2m,得2m+1an+1=2am十1，即b+1一bn 例3(2025·浙江乐清知临中学单元检 =1.所以数列{bn}是以b1=2a1=1为首项，1 测)在数列{a,么)中，已知a=2,且2a1= 为公差的等差数列. 2.利用等差中项判定或证明等差数列 a,十(2”，6.=2a,证明：数列6，为等差数列. 2an+1=an十an+2(n∈N*)台数列{an}为等 差数列. 证明方法一 由2a1-a十（侵）》” 得 例④(2025·湖南浏阳一中月考)已知数 a1=2a十（侵），所以61-，=21 列{am}满足2am十(n-1)am-1=nam十a1（n∈ N*,且n≥2)，证明：数列{an}为等差数列. a1-20.=2t[2a+(2分）》]-2a.=1, [证明将2an十(n-1)aw-1=nan十a1(n≥ 16 第四章散列出型 2)中的n替换为n十1，得2a+1+nan=(n十1)· 所以不存在实数入，使数列{am}为等差数列. an+1al. 题型2等差数列通项公式的应用 两式相减并整理，得(n一1)am+1=(2n 1.由条件求构成等差数列的项 2)am-（n-1)am-1(n≥2)，即(n-1)am+1 例6(2025·湖北武汉二中月考)已知数 (n-1)an=(n-1)am-(n-1)am-1. 列{an}为等差数列，a15=8,a60=20,则a5= 由n≥2得a+1-am=an-an-1,即2an am+1十an-1(n≥2). 解析方法一设等差数列{an}的首项为 故数列{an}为等差数列， a1+14d=8, 3.与等差数列的判定和证明有关的求参 a1,公差为d,则由题意得 解得 a1+59d=20. 问题 由数列的含参数的递推公式说明是否存 464 15 故ag-a1+74d-8+74×号-2L 在参数使该数列为等差数列时，可先假设该数 4 d= 15 列为等差数列，利用数列的特殊项（一般选择 方法二 设数列{an}的公差为d,.a6o= 序号较小的项，如a1,a2,a3,…)成等差数列的 性质，构造关于参数的方程.若关于参数的方 a5+(60-15)d, d=20-8=4 60-1515 ，∴.a5 程无解，则不存在参数使数列成等差数列；若 关于参数的方程有解，则将参数的值求出后再 a+(75-60)d=20+15×是-24 代入递推公式中证明. 答案24. 例5已知数列{am}满足a1=2,a+1=(一 2.由条件求等差数列的通项公式 3)am十2"(n∈N*). 例7(2025·陕西西安高新一中期末)在 (1)当a2=一1时，求实数λ及a3. 等差数列{an}中，若a3十a8十a13=12,a3a8a13 (2)是否存在实数λ，使数列{am}为等差数 =28,则数列{an}的通项公式为 列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明 解析方法一（基本量法）设数列{am}的 理由。 首项为a1,公差为d, 解析(1)因为a1=2,a2=一1，a2=（入 则由a3+ag十a13=12得a1+7d=4, 3)a1+2, ∴.a1=4-7d. 所以2以-3)+2=-1，解得-》 代入a3a8a13=28,整理得(4一5d)×4× (4+5d)=28,解得d=±3」 所以0=-号：十28-号 5: (2)不存在.理由如下： 503 当d-g时，a=-日a 因为a=2,a+1=(0一3)a,+2m(n∈N*), 当d=- 5 所以a2=(-3)a1十2=2λ-4，a3=(λ- 方法二（等差数列的性质）.a3十ag十 3)a2+4=2λ2-10λ+16. a13=3a8=12,∴.ag=4. 若数列{an}为等差数列，则a1十a3=2a2, .a3aga13=(as-5d)as(a8+5d)=28, 即λ2-7λ十13=0.因为△=49-4×13<0，所 以关于入的方程无实数解. 16-25d2=7,d=±3 -5 17 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 当d=号时，a,=as十m-8d=号n号： (1)已知数列{an}满足an-1十am+1=2am (n≥2，n∈N*),且a2=5,a5=13,求ag; 当d=- 51 (2)已知在等差数列{an}中，a2与a6的等 方法三（方程思想），'ag十ag十a3=3a8= 差中项为5，a3与a,的等差中项为7，求数列 12,as=4,a+a1g=8, {an}的通项公式a a3a13=7, 解桐(1)由am-1十an+1=2a,(n≥2，n∈ ∴.a3,a13是方程x2一8x十7=0的两个根， N*)知，数列{am}是等差数列， a=1,tja=7, ∴.a2,a5,ag成等差数列.∴.a2十a8=2a5. a13=7(a13=1. ∴.a8=2a5-a2=2×13-5=21. 由a=1,au=78d8-号-号， (2)由题意可得a2十a6=5X2=10,a3+ a7=7X2=14, a,a十(a-3)d-gn号 由等差数列的性质可得2a4=10,2a5= 14,即a4=5,a=7,从而数列的公差d=a5- 同理，由a=7ag=1得a.=一号十兽 a4=2. ∴.a1=a4-3d=5-3×2=-1. 图奥a,-n或a,=一+ 故an=-1+2(n-1)=2n-3. 3.由条件求有限项等差数列的所有项 2.利用等差数列的性质求给定若干项的 例8(2025·山东青岛二中单元检测)已知 代数和 成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第 例10(2025·浙江宁波镇海中学月考) 三个数的积为40，则这个等差数列为 求解下列问题. 解析设这个等差数列是a一3d,a一d, (1)已知{an}为等差数列，a4十a7十a1o= a+d,a+3d(a,d∈R). 30,求a3-2a5的值； 由题意可得 (2)在等差数列{an}中，若a3十a4十a5十 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d0=26, a6十a7=450,求a2十a8的值 (a-d)(a十d)=40, 解析(1)由等差数列的性质知30=a4十 [13 _1 a7十a10=3a7,则a7=10, a- 2 a 2 解得 或 .a3-2a5=ag-(a3十a7)=-a=-10. d=2 d=-3 (2).'a3+a7=a4十a6=2a5, 2· ∴.(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450,解 所以这个等差数列是2,5,8,11或11,8， 得a5=90. 5,2. ∴.a2十a8=2a5=180. 答案2,5,8,11或11,8,5,2. 题型4构造等差数列求数列的通项公式 题型3等差数列性质的应用 1.证明构造的数列为等差数列，进而利用 1.利用等差数列的性质求给定项的值或 其求数列的通项公式 通项公式 例11(2025·湖南浏阳一中月考)已知 例⑨(2025·湖北襄阳四中月考)求解下 列问题 数列{an}满足a1=4,an=4-4(n≥2，n∈ a-1 18 第四章 N,令6a2 r2m,n为奇数， 2n一5，n为偶数. (1)证明：数列{bn}是等差数列； 2n,n为奇数， (2)求数列{an}的通项公式. 答案an= 2n-5,n为偶数. 解机(1)'a.=4-4(n≥2，∈N“), an-1 题型5两个等差数列的综合问题 …a+1-2=2-4=2(a,-2) 1.利用两个等差数列的关系求公差或通 an an 项公式 1 an _111 例13(2025·江西临川一中月考)在等 “a+1-22(an-2)2千an-2 差数列{an}中，a1=8,a5=2,若在每相邻两项 “1-11 an1-2a2-2即b1-6,=分 之间各插人一个数，使之成为新的等差数列， 那么新的等差数列的公差是 ∴.数列{bn}是等差数列. 解析.在等差数列{an}中，a1=8,a5=2, (2)由(1)知{bn}是等差数列，首项b= a一22公差d- 11 “教列{a}的公差d=g=一号，则 5-1 可得{am}的通项公式为am=8+（n一1)× a=6+(n-IDd=号+(m-1)X2 ()=-+9 2即22a,=2+ 若在{am}每相邻两项之间各插入一个数， n 得到新的等差数列{bn},则可得b1=a1=8, 戴列a的通项公式为a,=2+品 6=a=(-多引×2+9-5， 2.在具体情境中识别等差数列，进而利用 心数列{b}的公差为d山，=：-b=一3 其求数列的通项公式 3-1 4 例12(2025·湖北黄石二中月考)已知数 鉴奥一子 列{an}满足a+1十an=4n-3(n∈N*),且a1= 2.利用两个等差数列的关系求两个等差 2,则数列{an}的通项公式为a= 数列的公共项 解析由an+1十an=4n一3得an十am-1 例14有两个等差数列2,5,8，…，197与 4n-7(n≥2)，两式相减，得a+1一a-1=4(n≥2). 2,7,12,…,197,它们的公共项从小到大依次 由等差数列的定义知，数列{an}的奇数项 排列构成的数列的通项公式为 ,公共 与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 项的个数为 易得a2+a1=1,又a1=2,所以a2=-1. 解析方法一由题意可知，第一个数列 当n为奇数时，a=4十（空-×4=2： 是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}, 则其通项公式为am=3n一1； 当n为偶数时，a:=a2十（召-1）×4= 第二个数列是首项为2，公差为5的等差 数列，记为{bm},则其通项公式为bm=5m一3. 2n-5. 若数列{an}的第n项与数列{bnm}的第m 综上可知，数列{an}的通项公式为am=项相同，即an=bm,则3n一1=5m一3， 19 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) n=5m,2-2=m+2(m,-1） (1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均 3 3 出产鸡的总只数 ,n∈N*,∴.必有m-1=3k,即m= (2)第6年这个县的养鸡业规模相比第1年 3k十1(k为非负整数). 是扩大了还是缩小了？请说明理由。 又2≤5m-3≤197，∴.1≤m≤40. (3)该县6年中哪一年的养鸡业规模最 ∴.m=1,4,7,…,40. 大？请说明理由. ∴.两个数列的公共项为2,17,32，…，197. 解析由图①可知，从第1年到第6年每 设公共项从小到大依次排列构成的数列 个养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为 为{cb},则其通项公式为cp=15p一13，公共项 {an},公差为d,且a1=1,a6=2;由图②可知， 有031+1=14个). 从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数 方法二设两个数列的公共项从小到大 列，记为{bm},公差为d2,且b1=30,b6=10;从 依次排列构成的数列为{cp},则c1=2. 第1年到第6年该县年平均出产鸡的总只数记 两个数列为等差数列，且易知它们的公 为数列{cn},则cn=anbn 差分别为3,5， a1=1, (1)由a1=1,a6=2得 ∴.数列{cp}仍为等差数列，且公差d=15. (a1+5d1=2, ∴.cp=c1+（p-1)d=2+(p-1)X15= a1=1, 所以 →a2=1.2. 15p-13. (d1=0.2 令2≤15p-13≤197，可得1≤p≤14. 61=30, 由b1=30,bs=10得 .两个数列共有14个公共项. b1+5d2=10, [答案cb=15p-13;14. b1=30, 所以 →b2=26. 题型6等差数列概念的实际与创新应用 d2=-4 故c2=a2b2=1.2X26=31.2. 问题 综上，该县第2年养鸡场有26个，全县年 1.等差数列在实际问题中的应用 平均出产鸡31.2万只. 例15甲、乙两人连续6年对某县农村养 (2)因为c6=a6bs=2X10=20<c1=a1b= 鸡业规模进行调查，提供了两个不同的信息 30,所以第6年这个县的养鸡业规模相比第1年 图，如图①、图②所示.甲调查表明：该县养鸡场 缩小了. 年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只 上升到第6年的每个养鸡场2万只；乙调查表 (3)因为am=1+(n-1)X0.2=0.2n+ 明：该县养鸡场的个数由第1年的30个减少到 0.8(1≤n≤6且n∈N*),bn=30+(n-1)X 第6年的10个.请根据提供的信息回答问题. (-4)=-4n+34(1≤n≤6且n∈N*), 个年平均出产鸡数万只 养鸡场个数个 所以cn=a,bm=(0.2m+0.8)(-4n十34)= 2.0 30 -0.8n2+3.6n十27.2(1≤n≤6且n∈N*). .8 26 1. 22 上式可以看作cm关于n的二次函数关系 1.4 12 4 式.因为二次函数f(x)=-0.8x2十3.6x+ 1.05。 O123456年 0123456年 ① ② 27.2的闲象的对称轴为直线x=星，所以当 20 第四章 数列出出型 n=2时，cn最大，即第2年该县的养鸡业规模 (2)数列{an}不是“封闭数列”.理由如下： 最大. 因为an=2m-7, 2.与等差数列的概念有关的新定义问题 所以a1=-5,a2=-3,所以a1十a2=一8. 例16(2025·重庆巴蜀中学单元检测) 令an=-8,即2m-7=一8，可得n= 设数列{an}是等差数列，且公差为d,若数列 {an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一 2安N 项，则称该数列是“封闭数列” 所以数列{an}不是“封闭数列”. (1)在等差数列{an}中，a1=4,d=2,证明： 易错警示 数列{an}是“封闭数列”； ●易错题4（错误率306）若一个等差 (2)若an=2n一7，试判断等差数列{an}是 否为“封闭数列”，并说明理由， 数列的首项为，从第10项起各项都比1 解析(1)因为a1=4,d=2, 大，则这个等差数列的公差d的取值范围是 所以an=4十2(n-1)=2n+2, 所以对任意的s,t∈N*,s≠t,有a,十a:= (2s+2)+(2t+2)=2(s+t+1)+2. A(贷+∞) 因为s十t+1∈N*, c(房》 D(房] 所以a,十a:是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列” 参考答案见《全书易错题集》第1页 儿03核心素养聚焦。 考向分类 等差数列； 考向1等差数列的判定 令n=2k一1(k∈N*),则a2+1一a2k-1= 例17(2024·华中师大一附中五月适应 a2k-1一a2k-3=…=a3一a1,.数列{an}的奇 性考试)已知数列{an},则“am-2十am+2=2am 数项成等差数列 (n≥3，n∈N*)”是“数列{an}是等差数列”的 但数列{amn}不一定是等差数列，如：1,1,2， (). 2,3,3. ∴.“am-2十am+2=2an(n≥3，n∈N*)” A.充分不必要条件 是“数列{am}是等差数列”的必要不充分条件. B.必要不充分条件 答案B C.充要条件 命题意图：考查等差数列的概念、等差数 D.既不充分也不必要条件 列的判定方法等知识，点以及逻辑思维、运 命题规律算求解等关键能力 解析，an-2十a+2=2a, 真题探源：教材第25页[习题4.2]第7题 ∴.an+2-am=an一an-2. 第(1)问的变式拓展 令n=2k(k∈N*),则a2+2一a2k=a2k 常考题型解答题难度系数0.55 高考热度★★ a2k-2=…=a4一a2,∴.数列{an}的偶数项成 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 21 重难包手细高中教学选择性必修第二册 RUA(浙江专用) 考向2等差数列基本量的计算 命题意图：考查等差数列的通项公式、性 例18（经典·北京卷）设数列{an}是等 质等知识点以及逻辑思维、运算求解等关 命题规律 键能力 差数列，且a1=3,a2十a5=36,则数列{am}的通 真题探源：教材相关知识的综合拓展应用 项公式为 常考题型 选填题难度系数0.4高考热度 ★★ [解析设等差数列的公差为d,则a2十 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 a5=a1+d+a1+4d=6+5d=36,解得d=6, 考向4等差数列的单调性问题 ∴.am=3+(n-1)X6=6n-3. 例20（经典·北京卷）在等差数列{am} [答案an=6n-3. 中，a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1, 命题意图：考查运用基本量来描述等差数 2,…),则数列{Tn}( 列的通项公式，强调的是运用公式构建方 A有最大项，有最小项 程，得到基本量以及通项公式，考查运算 命题规律 求解能力 B.有最大项，无最小项 真题探源：教材第15页[练习]第4题的 C.无最大项，有最小项 变式 D.无最大项，无最小项 常考题型选填题难度系数0.65 高考热度★★★ 解析设等差数列{an}的公差为d, 核心素养 数学运算 素养水平水平 .a1=-9,a5=-1, ∴.a5=-9+4d=-1..d=2. 考向3等差数列的性质 ∴.am=-9+(n-1)×2=2n-11. 例19（经典·浙江卷）已知等差数列 令am=2n-11≤0，则n≤5.5. (a,}的前n项和为S,公差d≠0，且≤1.记 '.当n≤5时，an<0;当n≥6时，am>0. .T1=-9<0, b=S2,b+1=S2m+2一S2m,n∈N*,则下列等式 T2=(-9)×(-7)=63>0, 不可能成立的是(). T3=(-9)×(-7)×(-5)=-315<0, A.2a4=a2+a6 B.264=62+66 T4=(-9)×(-7)X(-5)×(-3)= C.ai=aza8 D.b=b2b8 945>0,T5=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)× [解析由b+1=S2+2一S2n得b2=as十a4= (-1)=-945<0. 2a1+5d,b4=a7+ag=2a1+13d,bs=a11+a12 当n≥6时，am>0,且am≥1， =2a1+21d,bg=a5十a16=2a1+29d.由等差 ∴.Tm+1<Tn<0. 数列的性质易知A成立；若2b4=b2十b6,则 .Tm=a1a2…an(n=1,2,…)有最大项 2(a+ag)=a3十a4+a11+a12=2a7+2a8,故B T4,无最小项. 成立；若a号=a2a8,即(a1+3d)2=(a1十d)· 答案B (a1十7d),则a1=d,故C可能成立；若=b2bs, 命题意图：考查等差数列的概念、通项公 式、性质等知识，点以及逻辑思维、运算求 即(2a+13D2-=(2a+5d0(2a1+29d,则7 命题规律 解等关键能力 真题探源：教材相关知识的综合拓展应用 >1,与已知矛盾，放D不可能成立， 常考题型 选填题难度系数0.5高考热度 ★ 答案D 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 22