5.4 抛体运动的规律-【重难点手册】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

,第五章抛体运动 第4节 抛体运动的规律 重点和难点 课标要求 1.知道抛体运动的受力特，点，会用运动的合成与分解的 重点：1.平抛运动的特点. 方法对平抛运动进行理论分析。 2.平抛运动分解方法的研究过程 2.理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹是抛物线， 和相关规律 会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实 3.平抛运动的规律的应用过程与 际问题 方法 3.认识平抛运动研究中等效替代的思想和“化繁为简”的 难点：1.平抛运动的规律的应用. 思想，并能够用来研究一般的抛体运动. 2.对斜抛运动的理解。 4.通过用平抛运动的知识解释自然、生活和生产中的例 子，认识到平抛运动的普遍性，体会物理学的应用价值 MMMInmM 必备知识梳理 mnnmmmnmnimnmmmmnmommnmmnm 基础梳理 知识点(1平抛运动的速度，题黑板 平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 敲黑板 自由落体运动的合运动. 1.平抛运动的速度特点：速 以抛出点为原点，取水平方向为x轴，x轴 度大小和方向都不断变化.平抛 的正方向与初速度。的方向相同，竖直方向为 运动是变速曲线运动 2.平抛运动的加速度为自 y轴，正方向向下，物体在任意时刻t位置坐标 P(x.y) 由落体加速度g,大小和方向恒 P(x,y)的速度为v,(如图所示)，则水平分速度 定不变，平抛运动是匀变速曲线 v.=vo,竖直分速度vy=gt, 运动 t时刻平抛物体的速度大小和方向：v,=√十o,设o:与x 轴正方向的夹角为a,则tana=2=整 1.平抛运动的速度变化特点 平抛运动中，水平方向分速度保持vx=0,竖直方向加速度 恒为g,速度v,=gt.从抛出点起，每隔△t时间，速度的矢量关系 如图所示.这一矢量关系有两个特点： (1)任意时刻速度的水平分量均等于初速度o (2)任意相等时间间隔△内的速度改变量的方向均竖直向 下，且△v=△vy=g·△t. 23 重难点手册高中物理必修第二册RJ 八7 2.平抛运动的速度不可能沿竖直方向 u,与x轴正方向的夹角a满足an&=_,可知速度与 水平方向的夹角随时间t的增大而增大，但一定不会达到90°，因 为水平方向是匀速直线运动，水平分速度不变，合速度也就不可能 沿竖直方向. 知识点(2平抛运动的位移与轨迹◆划重。 划重点奥 1.平抛运动的位移 三个物理量的决定因素 以抛出点为坐标原点，竖直向下为y轴正O 「与0无关人2西 运动时间t一√g 个 方向，沿初速度方向为x轴正方向，建立直角坐 x取决于v0、h /2h 水平射程x=6t=0√g 标系（如图所示），根据平抛运动在水平方向上 (cy) 落地速度v=√06十2gh 是匀速直线运动和在竖直方向上是自由落体运 与h有关 动的规律可知： 水平分位移x=vot, 1 竖直分位移y=21, t时间内合位移的大小s=√x2十y 设合位移s与x轴正方向的夹角为0，则 划重点 1 tan 0-238e2 平抛运动位移的变化规律 gt ,◆划重点烟 1.任意相等时间△1内，水 x vot 2v 平位移相同，即△x=Uo△t 2.平抛运动的轨迹方程 2.连续相等的时间△t内， 平抛运动的物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方 竖直方向上的位移差不变，即 程，叫作轨迹方程.由，6和y二，消去1可得)2急9 △y=g(△t)2. 或x22 这是顶点在原点、开口向下的抛物线方程，所以平抛运动的轨 迹是一条抛物线。 知识点3一般的抛体运动 1.定义：如果物体被抛出时速度。不沿水平方向，而是斜向 24 第五章抛体运动 上方或斜向下方，这种只在重力作用下的抛体运动叫作斜抛运动. 划重点 2.斜抛运动的基本规律：斜抛运动的物体在水平方向上不受 斜抛运动的特点 外力作用，因此水平方向仍然做匀速直线运动；竖直方向上仅受重 1.受力特点：斜抛运动是忽 力作用，因此竖直方向做加速度为g的匀变速直线运动.设物体 略了空气阻力的理想化运动，因 此物体仅受重力，其加速度为重 斜向上以初速度v。抛出，如图所示.◆划重点。 力加速度g. 2.运动特点：物体具有与水 平方向存在夹角的初速度，仅受 重力，因此斜抛运动是匀变速曲 线运动，其轨迹为抛物线。 (1)速度公式：水平分速度v.=vocos0, 3.速度变化特点：由于斜抛 竖直分速度vy=vosin0-gt. 运动的加速度为定值，因此，在 (2)位移公式：x=v。tcos0,， 相等的时间内速度变化量的大 小相等，方向均竖直向下，△= y=votsin 0-1 83 g△t. 4.对称性特点（斜上抛） (3)轨迹方程：由位移公式可得y=xtan0 x2,即为 (1)速度对称：轨迹上关于 2vcos2 过轨迹最高点的竖直线对称的 开口向下的抛物线。 两，点速度大小相等，水平方向速 (4)最大高度和射程 度相同，竖直方向速度等大反 到达最大高度时，，=0，t=,sin日。 向如图所示， A 则H= vvisino 2g 2g 2vsin Ocos 水平射程x= ,可见0=45°时水平射程最远， g (2)时间对称：关于过轨迹 (5)运动时间 最高，点的竖直线对称的曲线上 在竖直方向由0=v,一gt上得物体上升到最高点的时间 升时间等于下降时间，这是由竖 t上=o=osin0 直上抛运动的对称性决定的」 (3)轨迹对称：其运动轨迹关 g 从最高点到落地，在竖直方向上物体做自由落体运动，所以时 于过轨迹最高，点的竖直线对称」 vosin 0 则飞行时间T=t上十t下 2vosin 0 间t下=t上 g 重难拓展 重难点1平抛运动的分析方法及推论+方法 记方法回 1.求解平抛运动的基本思路是把平抛运动分解成水平方向的 平抛运动的解题技巧 匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其基本物理量的关 1.解决落点位置问题，要建 立水平位移和竖直位移之间的 系是： 25 重难点手册高中物理必修第二册RJ 2h 关系.若画出轨迹图，还可利用 (1)平抛运动时间t:由t=, 知，t由h决定，与v0无关 轨迹方程y=是x或x=2如 (2)水平位移x:由x=vot=v0, 历知，工由、，共同决定， 解题」 2.解决落点速度问题，一般 (3)落地速度v:先求出v,=gt,再求出v的大小，v= 要建立水平速度和竖直速度之 √a6+.v与水平方向的夹角为a,且tana== .v由v0和 间的关系，画好速度合成的矢量 v0v0 三角形 h共同决定 3.注意挖掘和利用合运动、 (4)速度的变化△v:由△v=g△t知，△v由△t决定，且方向一 分运动及题设情境之间的几何 定竖直向下，△v与o无关 关系 2.平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻、任意位置处， 设其末速度方向与水平方向的夹角为0，位移方向与水平方向的 夹角为a,则有tan0=2tana. 证明如图甲所示，由平抛运动规律得tan0==匙 tan a 拓视野⊙ 类平抛运动问题分析 N 若物体所受合力恒定且合 =y0= 28t2 gt ,所以tan0=2tana. Vot 力与初速度垂直，这时物体的运 ⊙ 动叫作类平抛运动，其研究方法 与平抛运动的研究方法相似，其 运动规律也与平抛运动相似.只 % 不过在分解运动时不一定沿竖 直方向和水平方向分解，且加速 甲 度大小不一定等于重力加速度 (2)做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻的瞬时速度的 g.解类平抛运动的试题时， 反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示.◆视野 定要分析清楚加速度的大小和 方向.求解的一般思路为： 证明设平抛运动的初速度为。，从抛出点（原点O)到A点 根据物体受力特点和运 的时间为t,A点的坐标为(xo,yo),B点的坐标为(x,0),则xo 动特点判断该问题属于 类平抛运动问题 -vot,yo=- gu,-g.又1an9-2-元解得x-受 0x0一x0 求出物体运动的加速度 例①(2025·湖北黄冈中学高一期末)如O。 Q M 根据具体问题选择用常 图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox 规分解法还是用特殊分 以v。=2m/s的速度抛出，经过一段时间到达 解法求解 P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨 迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于 Q点，已知QM=3m,则小球运动的时间为(). A.1s B.1.5s C.2.5s D.3s 26 第五章抛体运 力誰 解析根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线过其这段 时间水平位移的中点，则有x=2QM=vot,解得小球运动的时间为t= 2QM_2×3 s=3s,D正确，A、B、C错误. Vo 2 答案D 培优突破 突破点①斜抛运动的最大射程问题◆野。 拓视野。 1.射程和射高 斜抛运动的另一种分解方法 射程：物体从抛出点到落地点的水平距离。 射高：在斜抛运动中，物体能达到的最大高度. 2.如图所示，用喷水枪喷射出一股水流，改变水流喷出时初速 度的大小和方向（即喷射角），探究斜抛运动的射程和射高与哪些 因素有关 如图所示，斜抛运动可以分 解为一个沿初速度v。方向的匀 速直线运动和一个沿竖直方向 75 60 的自由落体运动， 130 两分位移分别为x1=t, 159 4=, 建立斜抛运动模型，设水流喷出时初速度大小为0，方向与 两分速度分别为u1=0, 水平方向成日角，如图.在竖直方向上是竖直上抛运动，可求出 v2=gt. 水柱在空中的时间和射高，在水平方向上是匀速直线运动，可求出 合位移x和合速度v均可 射程 根据三角形定则进行计算。 2vosin 0 飞行时间t= g 射高y= visino 2g 2g 2vosin 0cos 0 vosin 20 射程x=vocos0·t= 例①(2025·山东德州三模)（多选）如图甲所示，“天 鲲号”不仅是我国疏浚装备制造技术的巅峰之作，更是综 合国力提升的重要象征.不计空气阻力，“天鲲号”在吹沙 填海工程中喷出泥沙的运动可视为斜上抛运动，以排泥管口为坐 标原点，建立图乙所示坐标系.排泥管口的仰角为0，距海面的高 27 重难点手册高中物理必修第二册RJ 度为h,泥沙喷出的初速度大小为0，在排泥过程中“天鲲号”始终 保持静止，重力加速度为g,下列说法正确的是() y 海平面 甲 A喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为sm0 +h 2g B.泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为 2vosin 0 C.喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为y=xtan0 8x2 2vcos20 D测整仰角9，泥沙在海面落点工坐标的最大值为 解析喷出的泥沙做斜抛运动，抛出时在竖直方向的分速度为，= 记方法@ vsin0,竖直方向做竖直上抛，由运动学知识可知喷出的泥沙相对于海平面 1.基本公式 的最大高度为h,=十h=6sn0+九，A正确；泥沙上升过程由运动学知 2g 2g 射程公式：R=5sin20 识有61=e=osin0 当抛射角0=45°时，sin20= g ,下落过程在竖直方向做自由落体运动，由运动学知 h 1,谢程最大：R一 8 识有t2一g ,则泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为t=1十 2.对称性分析 红，联立解得泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为t=si+ 同一初速度下，互余角度 (如30°和60)的射程相同，最大 √Jo∴sin0+2gh 射程仅与初速度大小和重力加 ,B错误；喷出的泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学公 速度有关 式有x=votcos0,竖直方向做竖直上抛运动，由运动学知识有y=votsin0一 2t,联立解得喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为y=xtan0 &x2 2vcos20' C正确；泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学知识有x=Votcos0,其中 t=osin0, √6sin0+2gh g ,联立解得落在海面上时的水平位移为x= visin Ocos 0vvsin0cos0+2ghcos0 ,可知当0=arctan 时水平 8 2gh 位移有最大值，最大位移为xm= /06十2gh.D错误.，配方法9 g 答案AC 28 第五章抛体运动 关键能力提升 题型（①斜面上的平抛运动 变式0(2025·浙江慈溪中学期中)如图 例①[教材P21T3]在某次演习中，轰炸机 所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°. 沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击 在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速 中山坡上的目标，山坡的倾角为0，如图甲所 度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面 示.不计空气阻力，求炸弹竖直方向下落的距 上.若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平 离与水平方向通过的距离之比， 位移之比为( AB 10 甲 解析将炸弹击中目标时的速度沿水平方向和竖 A.3:4 B.4:3 直方向分解，如图乙所示，则有tan0= ,℃y=gt,联 C.16:9 D.9:16 立解得炸弹的运动时间t= 炸弹在竖直方向 题型2落在竖直面上的平抛运动 gtan 下落的距离h= 1 例2飞镖是一种休闲的体育活动.某人 28t2 3 2gtan0,炸弹在水平方向通 站在竖直墙壁前一定距离处练习飞镖，忽略飞 过的距离x=Vot gtan0,则炸弹竖直方向下落的距 镖运动中的空气阻力，他从同一位置沿水平方 向扔出两支飞镖A和B,两支飞镖插在墙壁靶 离与水平方向通过的距离之比 1 x 2tan 0 上的状态如图所示（侧视图）.下列说法中正确 的是(). 深挖教材 A.飞镖A的质量小于飞镖B的质量 此题是平抛运动与斜面关联的常见情形，考查 B.飞镖A的飞行时间大于飞镖B的飞行 的是平抛运动的物体垂直击中斜面，分析方法首先 是分解速度，构建速度矢量三角形，找到斜面倾角 时间 与速度方向的关系；然后运用平抛运动的基本规律 C.抛出时，飞镖A的初速度大于飞镖B 进行求解.平抛运动与斜面相关联的情形还有平抛 的初速度 运动的物体沿斜面切入、物体自斜面水平抛出后又 D.插入靶时，飞镖A的末速度一定小于 落到斜面上等，掌握平抛运动的基本规律后均可解 飞镖B的末速度 答.关于平抛运动问题在2025年山东卷、2025年湖 解析飞镖被抛出后做平抛运动，因此与飞镖的 北卷以及2025年安徽卷均有直接考查. 质量无关，故A错误；在竖直方向上为自由落体运 29 重难点手册高中物理必修第二册R小 动，由于B的下落高度大于A的下落高度，根据平抛：手手中即为游戏成功.某次一游戏选手把弹性 运动规律有一√g ,因此有tB>tA,故B错误；在水 球从平台边缘与圆心等高处沿水平方向抛出， 忽略空气阻力，小球可视为质点，重力加速度 平方向上飞镖做匀速直线运动，抛出的初速度为。 大小为g,如果小球与圆形轨道碰撞后（碰撞没 广，所以A>0B,故C正确；飞镖插入靶时的速度为 有动能损失)该选手要想游戏成功，求： 0=√十gt,根据前面的比较可知，两者的末速度 的大小关系无法确定，大于、等于、小于均有可能，故 D错误 答案C 变式2(2025·湖南长沙一A 甲 中月考)在具体的物理情景中，由 (1)小球被水平抛出时的速度大小， 基本规律和公式可以推导出一些 (2)小球到圆形轨道时的速度大小. “二级结论”，例如“做平抛运动的 解析(I)根据运动过程的可逆性可知，要想球砸 物体在任意时刻的速度的反向延 在圆形轨道上还能沿原路返回到游戏选手手中，即球 长线一定通过此时水平位移的中点”，直接应 反弹后速度方向相反，球应垂直打在圆形轨道上，即 用此类推论，有时能大幅提高解题效率.如图 速度方向的反向延长线过圆心O,如图乙所示， 所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位 置水平射出的.飞镖A与竖直墙壁成α角，飞 镖B与竖直墙壁成3角，两者相距为d.假设 飞镖的运动是平抛运动，抛出点的位置足够 R 高，已知重力加速度为g.求： 乙 (1)射出点离墙壁的水平距离. 设小球的水平位移为x,竖直位移为y,根据平抛 (2)若在该射出点水平射出飞镖C,要求 运动规律的推论可知小球速度偏向角的正切值为位 它以最小的速度击中墙壁，则C的初速度应为 多大？ 移偏向角正切值的2倍，即y。一= 3 型，解得x= x- (3)在第(2)问情况下，飞镖C与竖直墙壁 的夹角多大？射出点离水平地面的高度应该 12R,极摇见何关系有R一（口-号R)°=y2,解得 满足什么条件？ 题型(3平抛运动与圆面相结合 y=0.8R,小球被水平抛出时的速度大小为0-工= 例③某游乐场有一游乐项目，装置如图 -310gR 2y 10 甲所示.被固定的装置A上有一圆形轨道， (2)小球到圆形轨道时的速度方向与水平方向的 3 圆心为O,半径为R,装置A左侧三R处有一 x 夹角的余弦值为c0s0= 3 R ，小球到圆形轨 平台.游戏选手站在平台上将手中的小球水平 v0√10gR 抛出，球砸在圆形轨道上还能沿原路弹回到选 道时的速度大小为v= cos 0 2 30 第五章抛体运动通 变式3(2025·湖北汉阳一中阶段练习)：2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之 (多选)如图所示，一半径为R的半球形坑，其 前的2倍 中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内 D.a球落到斜面上时，a球的速度大小是 现甲、乙两位同学分别将M、N两个小球以1、 b球速度大小的2倍 2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好 1 28t3 落在坑中同一点Q,已知∠MOQ=53°，sin53°= 解析当a球落到斜面上时，有tan30°= 0.8,cos53°=0.6，重力加速度为g,忽略空气 解得t= ,则a球落到斜面时的速度为。 阻力.则下列说法正确的是( 3g 0 7 M √8+(gt)2 √30因为，=√30，若将a球的 初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时， Q 其速度大小也变为之前的2倍，故A正确；由之前的 gR 分析可知a球落到斜面上用时为t= A.1= 2w0,此时a球 5 3g 4v8 2gR 的位移为s。= B.v2=2 c0s30°= 3g ,b球的水平位移为s= 5 2u6 C.两球的初速度无论怎样变化，只要落在 Vot= 3g ,沿斜面向下的位移为5= 2gsin 30t2= 坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 6球的位移为5，=低十5话= ,故a、b两 D.若仅从M点水平抛出小球，改变小球 3g 3g 抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中 球的位移大小不相等，故B正确；根据6= 题型（④类平抛运动 √o后十(gsin30t)2,可知相同时间内，其速度大小不 一定变为之前的2倍，故C错误；a球落到斜面上时， 例④(2025·山东青岛二中高一期中) a球的速度大小为0。=√6+(g0)=√3，此时6 /7 (多选)如图所示，在倾角为0=30°的足够大的 光滑斜面上，将小球α、b同时以相同的速率沿 水平面内不同方向抛出.已知a球初速度方向 球的速度大小为%=√6+(gin30=2,3。 300 垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ 2va,故D错误 答案AB 方向.下列说法正确的是( 变式④(2025·湖北华中师大一附中月 P ab 考)（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面 上，斜面光滑且为矩形，倾角为0，斜面的左上 方顶点P与右下方顶点Q之间固定一与斜面 A.若将a球的初速度大小变为之前的 垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为0， 2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变 可视为质点的小物块由P点以平行于斜面底边 为之前的2倍 的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹.已 B.a球落到斜面上时，a、b两球的位移大 知重力加速度为g,小物块在运动过程中始终在 小不相等 斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是 C.若将b球的初速度大小变为之前的() 31 重难点手册高中物理必修第二册R, B.小物块由P点抛出到落在挡板上所用 2v0 时间为 gcos 0 C.若初速度变为2vo,小物块由P点抛出 到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍 A.小物块由P点抛出到落在挡板上所用 时间为20，tan0 D.若初速度变为2w。,小物块由P点抛出 g 到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍 核心素养聚焦 考向（①对平抛运动规律的理解 h 200Ng 商去x可得，-生D係C D 例①(2024·浙江1月卷)如图甲所示，小 正确 明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的 答案C 距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水 点评本题通过小明取山泉水的情境命题，需要 恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A.已 考生构建平抛运动模型，并结合几何关系处理问题 知桶高为h,直径为D,则水离开出水口的速度 考生在复习过程中，只有不断加强建模能力，才能应 大小为( 对与实际结合的物理问题. 细水管 考查内容 核心素养 试题难度 平抛运动规律 科学思维 ★★☆☆☆ 考向2对斜抛运动规律的理解 例2(2024·山东卷)（多选）如图所示， 工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度0 甲 大小为20m/s,与水平方向的夹角为30°，抛出 A9层 B号景 点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°， 重力加速度大小取10m/s2,忽略空气阻力.重 C 3+DD 2√2h D.(W2+1)D 8 物在此运动过程中，下列说法正确的是(). √2h 解析设出水口到桶口中心的 u。细水管 水平距离为x,如图乙所示，根据平 抛运动位移公式，水落到桶口中心 有x=vot1,h= 281,联立解得 A.运动时间为2√5s 2h 二00Ng ;水落到边沿A点有x十 B.落地速度与水平方向夹角为60 D C.重物离PQ连线的最远距离为10m =wot2,2h=2gt号，联立解得x= D.轨迹最高点与落点的高度差为45m 32