10.3 频率与概率-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

10.3 频 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[题型4](2025·浙江富阳中学单元检测)两名 同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某 一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则 符合这一结果的试验是() 个频率 40% 30% 20% 10% 0200400600次数 A.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率 B.抛掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的 概率 D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一 个球恰好是蓝球的概率 2.[题型1]下列说法合理的是(). A抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率 是。，即每抛掷6次就有一次掷得点数6 B.抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率 不一定比100次得到的频率更接近概率 C.某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为 80%,是指明天本地有80%的区域下雨 D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率 定比A,B中恰有一个发生的概率大 3.[题型2]在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒 的概率均为40%，现采用随机模拟的方法估计 三只豚鼠被感染的概率：先由计算机生成[0,9] 之间整数值的随机数，指定1,2,3,4表示被感 染，5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟 产生了如下20组随机数： 192907966925271932812458 569683257393127556488730 113537989431 第十章概率 率与概率 据此估计三只豚鼠中至少有一只被感染的概率 为() A.0.25B.0.4C.0.6 D.0.75 4.[题型2]在用随机（整数）模拟求“有4个男生和 5个女生，从中选4人，求选出2个男生、2个女 生”的概率时，可让计算机产生1~9的随机整 数，并用1~4代表男生，用5~9代表女生.因为 是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得 到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是 5.[题型2](2025·河北唐山一中月考)袋子中有 四个小球，分别写有“中”“华”“民”“族”四个字， 有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个 字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽 取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之 间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中” “华”“民”“族”这四个字，以三个随机数为一组， 表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18组随机数： 232321230023123021132220 001231130133231031320122 103233 由此估计恰好抽取三次就停止的概率为 B综合提能练 ●测试时间：30分钟 1.[题型3]我国古代数学名著中有“米谷粒分”题： 粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内 夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则 这批米内夹谷约为( A.134石 B.169石 C.338石 D.454石 2.[题型4]（多选）2024年春节期间，高速公路上车 辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型 汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他 们在某段高速公路的车速（单位：km/h)分成六个 57 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 区间：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)， [80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直 方图.下列结论正确的是(). 个频率/组距 0.060 0.050 0.040------- 0.030 0.020 0.010F- 060657075808590车速/(km/h) A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值 为77.5 B.从该服务区任意抽取一辆车，车速超过 80km/h的概率为0.35 C.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆， 则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率 为始 D.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆， 则车速都在[60,65)内的概*为号 3.[题型3](2025·浙江舟山中学单元检测)为了 解我国机动车的所有人缴纳车船使用税的情况， 调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进 行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问 题：(1)你的车牌号码的最后一位数是奇数吗？ (2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的 家庭电话号码的倒数第二位数是偶数吗？调查 人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子，让 被调查者背对调查人员抛掷一次骰子.如果出现 一点或两点则回答第一个问题；如果出现三点或 四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则 回答第三个问题（被调查者不必告诉调查人员自 己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”， 所以都如实做了回答).结果被调查的3000人 中有1200人回答了“否”，由此估计这3000人 中没有缴纳车船使用税的人数为(). A.600B.200C.400 D.300 58 4.[题型4](2024·浙江嘉兴一中单元检测)众所 周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校 学生大约有40%的人近视，而该校大约有30% 的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率 约为50%.现从每天玩手机不超过2h的学生 中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率 为(). A是 c D. 5.[题型1](2025·江西吉安一中单元检测)（多 选)某年级有12个班，现要从2班到12班中选 1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个 骰子，得到的点数之和是几就选几班.针对这种 选法，下列说法不正确的是( ). A.公平，每个班被选到的概率都为2 B公平，每个班被选到的概率都为行 C.不公平，6班被选到的概率最大 D.不公平，7班被选到的概率最大 6.[题型3](2025·山东曲阜一中期末)为了估计 水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库 中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼 标上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适 当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再 从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看 其中有记号的鱼的尾数，假设为40尾.试根据上 述数据估计水库中鱼的尾数约为 7.[题型4](2025·安徽芜湖十二中月考)2023年 6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回 舱成功着陆，航天员费俊龙、邓清明、张陆安全顺 利地出舱，身体状况良好，这标志着神舟十五号 载人飞行任务取得了圆满成功.某学校高一年级 组织了1200名学生参加线上航天知识竞赛活 动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞 赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图（每组 为左闭右开的区间)，请据图回答下列问题， (1)若从成绩低于60分的同学中按比例分配的分 层随机抽样方法抽取10人的成绩，求10人中 成绩低于50分的人数： (2)求α的值，并以样本估计总体，估计该校学 生首轮竞赛成绩的平均数及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加 第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概 率为号，乙复赛狄优秀等级的概率为，丙复 赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获 优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同 学复赛获优秀等级的概率 ◆频率/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数/分 8.[题型4幻(2025·湖北宜昌一中期末)随着移动 互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件 层出不穷.现从使用A和B两款订餐软件的商 家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送 达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下 所示 个频率/组距 0.04 0.034 0.012 88h 0010203040506070时间/分钟 使用A款订餐软件的50个商家“平 均送达时间”的频率分布直方图 第十章概率用 ◆频率/组距 0.056 0.02 0.014 8.88主主 0010203040506070时间/分钟 使用B款订餐软件的50个商家“平 均送达时间”的频率分布直方图 (1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的众数及平均数， (2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回 答下列问题， ①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时 间”不超过40分钟的商家达到75%？ ②如果你要从A和B两款订餐软件中选择 一款订餐，你会选择哪款？请说明理由. 9.[题型4](2025·湖北黄冈中学单元检测)为对 某校高一学生参加社区服务次数进行统计，随机 抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加 社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率 的统计表（如表）和频率分布直方图（如图）. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n 20,25) m [25,30] 2 0.05 合计 M 1 59 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, ◆频率/组距 01015202530次数 (I)求出表中M,p及图中a的值； (2)若该校高一学生有360人，试估计该校高 学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内 的人数； (3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少 于20次的学生中任选2人，请列举出所有的 基本事件，并求至多1人参加社区服务的次 数在区间[20,25)内的概率. C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(2025·浙江瑞安中学单元检测)某种产品的质 量以其质量指标值的大小来衡量，质量指标值越 大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产 品，并测量了每件产品的质量指标值，得到试验 60 结果如下表所示 A配方的频数分布表 指标值 [90, [94, [98, 102, [106, 分组 94) 98) 102) 106) 1107 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值 [90, [94, [98, [102, [106, 分组 94) 98) 102) 106) 110] 频数 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优 质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单 位：元)与其质量指标值t的关系为y= -2,t<94, {2,94≤t<102,估计用B配方生产的一件 4,t≥102， 产品的利润大于0的概率，并求用B配方生 产的100件上述产品的平均利润.2apr>8号， 即甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值 为器 思维点拨 (1)①根据独立事件的概率乘法公式列出方程，即可解 得α，B的值；②根据独立事件的概率乘法公式可得结果， (2)由题意知1+1 a B =3,则a十3=3a3,设A=“甲、乙 两次解密过程中一共解开密码三次”，易得P(A)=2(a3), 由基本不等式求解即可」 10.3频率与概率 变武训练 [变式1](1)分别用2,3,4,4'表示红桃2，红桃3，红桃4，方片 4,则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)(2,4)(2,4)，(3,2)， (3,4),(3,4,(4,2),(4,3),(4,4,(4,2),(4,3),(4,4), 共12种不同的情况. (2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因 此乙抽到的牌的数字比3大的概率是号。 (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)， (4,2),4,3),共5种情况，因此甲胜的概率为是，乙胜的 概率为2 因为品<名，所以此游戏不公平。 基甜过关练 1.D2.B 3.D[由题意可知，事件A=“三只豚鼠中至少有一只被感 染”，则A=“三只豚鼠都没有被感染”，随机数中满足三只豚 鼠都没有被感染的有907,966,569,556,989，共5个，故 P=0=025,则PA)=1-pM)=1-0.25=0.75.] 4.选出的4个人中，只有1个男生。[1~4代表男生，59代 表女生，“4678”表示一男三女，即“4678”代表的含义是选出 的4个人中，只有1个男生.] 2 5.9,[设事件A=“恰好抽取三次就停止”，由随机模拟产 生的随机数可知，恰好抽取三次就停止的有021,001,130， 031,共4组随凯数，放PA)-合-子] 60 综合提能练 1.B 2ABC[在A中，由题图可知，众数的估计值为75十80=77.5， 2 A正确；在B中，车速超过80km/h的频率为0.05×5十 0.02×5=0.35,B正确；在C中，由题意可知，车速在[60， ·可用频率估计概率 65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，可得至 少有-辆车的车速在[65,70)内的概率为普，即车速都在 [60,65)内的概率为，故C正确，D错误] 古典橛型 3.A[因为骰子出现一点或两点、三点或四点、五点或六点的 概率相等，都等于子，所以应有1000人回答了第一个问题， 因为车牌号码的最后一位数是奇数或是偶数的概率是相等 的，所以在这1000人中应有500人的车牌号码是偶数，这 500人都回答了“否”；同理，有1000人回答了第三个问题， 在这1000人中有500人回答了“否”.因此在回答“否”的 1200人中约有200人对第二个问题回答了“否”，在这3000 人中约有30×微。一60人设有徽纳车备俊用脱] 用样本特征估计总体特征 4.B[设该校共有a名学生，则约有0.4a的学生近视，约有 0.3a的学生每天玩手机超过2h,且每天玩手机超过2h的 学生中近视的学生人数约为0.3a×0.5=0.15a,所以有 0.7a的学生每天玩手机不超过2h,且其中有0.4a一0.15a= 0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h的学生中 任意调查一名学生，他近视的概率P-合器-是] 5.ABC[P(点数之和为1)=0，P(点数之和为2)=P(点数之 和为12)=6，P(点数之和为3)=P(点数之和为1=8 P(点数之和为)=P(点数之和为10)=2，P(点数之和为5) =P(点数之和为9)=}，P(点数之和为6)=P(点数之和 为8》品，P(点数之和为)=日，所以不公平，7班被迷到 的概率最大.] 6.25000.[设水库中鱼的尾数是n(n∈N*).现在要估计n 的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，设事件A={捕到 带记号的鱼，则P(A)=20°.第二次从水库中捕出500 尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由 概率的统计定义知P(A)-恕，即200- n 500,解得n= 25000,所以估计水库中鱼的尾数约为25000.] 7.(1)因为抽取的200名学生中，成绩低于50分的人数为 0.010×10×200=20, 成绩在[50,60)分的人数为0.015×10×200=30， 所以从成绩低于60分的同学中按比例分配的分层随机抽样 方法抽取10人的成绩， 20 其中低于50的人数为10×20十30=4. (2)由(0.005+0.010+0.015+0.015+0.025+a)×10=1, 解得a=0.03, 平均数x=45×0.10+55×0.15+65×0.15+75X0.3+85× 0.25+95×0.05=71(分). 因为成绩低于70分的频率为(0.01+0.015+0.015)×10= 0.4,成绩低于80分的频率为(0.01十0.015十0.015十0.03)× 10=0.7, 所以中位数位于[70,80)内，则中位数为70+0.5-0.4 0.03 分 中位数左、右两侧直方图的面积相等 (3)三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率P子× 8.(1)使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众 数为55， 使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数 为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+ 65×0.04=40. (2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的 商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%> 75%, 故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过 40分钟的商家达到75%. ②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平 均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55× 0.04+65×0.02=35<40, 所以选B款订餐软件. 9.(1)由在分组[10,15)内的频数是10、频率是0.25知， 10 =0.25,所以M=40. 因为频数之和为40，所以10十25+m十2=40，解得m=3, 所以p是-品=0075. 因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 25 所以a=40X5=0.125. (2)因为该校高一学生有360人，在分组[15,20)内的频率是 磊-6运， 所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在[15,20)内的 人数为360×0.625=225（人）. (3)所取样本中，参加社区服务的次数不少于20次的学生共 有3十2=5（人）， 设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,在区间[25,30]内的 人为b1,b2. 则任选2人共有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)10种情况， 而两人都在[20,25)内共有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)3种 情况， 所以至多一人参加社区服务的次数在区间[20,25)内的概率 为1品-0 培优突破练 1.(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为 22+8=0.3, 100 所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为 32+10=0.42, 100 所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且 仅当质量指标值t≥94时， 验结果知，质量指标值2≥94的频率为000 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96. 用B配方生产的10件产品的平均利铜为×[X(一2》十 54×2+42×4]=2.68(元) 第十章单元学能测评 1.B2.C3.C4.D 5.B[若A,B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B),若A,B 互斥，则P(A∩B)=0,而P(A)>0,P(B)>0,所以事件 A,B相互独立与事件A,B互斥不可能同时成立，故A正 61