10.2 事件的相互独立性-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

{(2),(5)},{(2),(6)},{(3),(4)},{(3),(5)},{(3),(6)}, {(4),(5)},{(4),(6)},{(5),(6)},共15种， 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个 是二部图的选择共有14种，这两个图不都是二部图的选择 共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 62 故这两个图都是二部图的概率为一，故A错误这两个 图至少有一个是二部图的概率为普，故B正确，这两个图不 都是二部图的救率为品-子放C正确这两个因恰有-个 是二部图的概率为，故D错误] 10.2事件的相互独立性 变式孤练 [变式1们记事件A:表示“电流能通过T:”,i=1,2,3,4, 事件A表示“T1,T2,T3中至少有一个能通过电流”， 事件B表示“电流能在M与N之间通过”， (1)A=A1A2A3,A1,A2,A3相互独立， 所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) =(1-P)3 又P(A)=1-P(A)=1-0.999=0.001, 所以(1-P)3=0.001,解得P=0.9. (2)因为B=A4十A4A1A3十A4A1A2A3,(切勿遗漏)】 所以P(B)=P(A4)十P(A4A1A3)+P(A4A1A2A3) 电流通过T1,T3时，是否通过T2不影响电路的畅通 =P(A4)+P(A4)P(A1)P(A3)+P(A4)P(A1)· P(A2)P(A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891. 基础过关练 1.A 2BC[因为PAB)=号≠0，所以事件A与B能同时发生， 故事件A与B不是互斥事件，A错误，B正确；因为P(A)= 号，所以PA)=},又P(B)=},所以PAB)=PA) P(B)成立，所以事件A与B相互独立，故C正确，D错误. 故选BC.] 3.A[设5个箱子分别被断开的事件为A,B,C,D,E,则由 题意知P(A)=号，P(B)=3P(C)=,P(D)=, P(E)=日，所以前两个箱子畅通的概率为2×号-=了，所 以不畅通的概率为P(0=1一号号，则的三个箱子畅道 的概率为1-P00P(C)=1-号×}-1日日后两 个箱子畅通的概率为1-PCD)P(E)=1-号×日1一动 1 -器所以当开关合上时，电路畅通的概率是器×吾 29 29 36J 思维过程 前两个箱子为串联线路，求出它们不畅通的概率，利用 对立事件的概率求出前3个畅通的概率，后2个箱子为并 联线路，求出它们不畅通的概率，前3个箱子和后2个箱子 又是串联线路，利用独立事件同时发生的概率公式，即可求 电路畅通的概率， 4【4个人都有完成任务的概率为子×××日 4个人中有3个没有完成任务的概率为子×合×号× 1 12-8] 少2人完成任务的概率为1一24一9=72 综合提能练 利用对立事件的概单计第公式能 求出至少2人完成任务的板率 1.B[因为至少通过一个社团考核的概率为，所以三个社 团考核都没有通过的概率为，依题意有 1 1 3mn=24' mn= 8 即 1-m(-3）1-n)=, 3 1-(m+n)+mm=8, 解得m十n= ,即他通过书法或轮滑社团考核的概率为子.] 3 2.AC 选项正误 原因 第一次抛掷的点数对第二次没有影响，故A与B A 相互独立 因为抛掷该正四面体两次共有16个样本点且 AC=1,3,所以P(A)=子，P(C)=0 B PAC)=i16,P(A)P(C)≠P(AC),所以A与 C不相互独立 57 续表 选项正误 原因 因为A+C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,2),(3,1)》,所以P(A十C)= 63 168 0 因为BC={(2,2)》,所以P(BC)=16 3.ABC[若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)= 3 1 6=2,A正确.若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)· 1 PCB)专X号点，所以PAUB)=P(A)+P(B) PB)-+日-，B正若PB)-，且 1 PA)P(B)=(1-）×日-号-P(AB),所以事件万与 B相互独立，C正确.若B二A,则AB=A∩B=B,所以 P(AB)=P(B)=6D错误.] 4.AC[记3件一等品分别为A,B,C,2件二等品分别为a,b. 选项正误 原因 “从中不放回地抽取2次，每次任取1件”的样本 空间21={AB,AC,Aa,Ab,BA,BC,Ba,Bb, CA,CB,Ca,Cb,aA,aB,aC,ab,bA,6B,6C,ba}. A 恰有1件是一等品包含的样本点有Aa,Ab,Ba Bb,Ca,Cb,aA,aB,aC,bA,bB,bC,故所求概率 “从中一次性取2件”的样本空间22={AB,AC, BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},“没有一等品' B 包含的样本点有ab,故至少有1件是一等品的概 率是1-10-10 19 方法一“从中有放回地抽取2次，每次任取1 件”的样本空间23={AA,AB,AC,Aa,Ab, BA,BB,BC,Ba,Bb,CA;CB,CC,Ca,Cb. aA,aB,aC,aa,ab,bA,bB,bC,ba,bb},恰有1 件是一等品包含的样本点有Aa,Ab,Ba,Bb, Ca,Cb,aA,aB,aC,bA,bB,bC,概率是5 “没有一等品”包含的样本点有aa,ab,ba,bb, 故至少有1件是一等品的藏率是1-会一器。 方法二从中有放回地抽取2次，每次任取1 件，恰有1件是一等品，则第一次抽取与第二次 0 X 抽取相互独立，放概率为号×号+号× 25:从中有放回地抽取2次，每次任取1件，至 少有1件是一等品的概率为1一 2、221 ×525 5 58 5ACD[对于任意n=6,k∈N,P(A)=7,P(B)=了， PAB)-急-言，则PAB)=PA)P(B),即事件A和事 件B独立，A销说当A=8时，P(A)=合，P(B)=子 P(AB)=日，满足P(AB)=P(A)P(B):当m=32时， PA)=7PB)-PAB)-品，满足PAB)=PA)· .5 P(B),当N=21时，m∈N,P(A)=,P(B)= 3X227,P(AB)=2+1-2 22m+1-2 一6X2+,满足P(AB)=P(A)P(B). 故存在无穷多个n,使事件A和事件B独立，B正确.当n= 利用P(AB)=P(A)P(B)判断事件的相五独立性 6+1时，eNPA)=票P(B)=P(AB) 6十1，此时显然P(AB)≠P(A)P(B);当n=6k+3时， k∈N.Pa)-+PB- 6的+3，P(AB)=6+3此时 显然P(AB)≠P(A)P(B);当n=6k十5时，k∈N,P(A)= 号，P(B)器书PAB)=此时显然PCAB) ≠P(A)P(B).综上所述，对任意奇数，事件A和事件B都 不猿立，C错说当：-16时，P(A)-号合，P(B)- 5 PCAB)品-言，所以PAB)≠PAP(B).D错误] 6子[组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本 空间2={123,124,132,134,142,143,213,214,231,234， 241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423, 431,432},共24个样本点.记“这个三位自然数是‘凹数”为 事件A,则A={213,214,312,314,324,412,413,423},共 8个样本点.所以这个三位自然数为“凹数”的概率P(A)一 71 7.918 [因为该同学能通过这3所大学A,B,C招生考试 的概率分别为x,y,2,且该同学恰好能通过其中2所大学 招生考试的概率为5所以少·(1-2)十z1-)·2十 5 1-)y·理得x十y=号 5 由题意知该同学至少通过1所大学的对立事件是一所大学 没有通过，所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 1-1-x01-)(-2）=1-21-[x+）- 正难则及 =1-号×号=号，该同学恰好通过A,B两所大学招生考 1 7 试的概率为P=y(1-2）=分， 5 5 因为x+y-y=9,且0~x<1,0<<1,所以x+y=9 xy≥2√，即9（√y)2-18√y+5≥0，解得0<√≤ 日即0≤日所以0<≤8故该同学检好逼过A, 当且仅当工=y=了时等号成立 B两所大学招生考试的概率最大值为。] 思维过程 5 根据题意得出x十)一y=9,利用该同学至少通过1所 大学的对立事件是一所大学没有通过，即可求出该同学至少通 过1所大学招生考试的概率；该同学恰好通过A,B两所大学 招生考试的概率，利用基本不等式即可求出该同学恰好通过 A,B两所大学招生考试的概率最大值 8.(1)若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜. 若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜， 则第1次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以P=(-)×号×g品 若甲、乙投篮总次数为4次且乙获胜， 则第1次甲投中、第2次甲未投中， 乙投中第3、4次， 所以P,古×》×号×号高 设甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件A, 则PA)=P1+P2=18+36-i2' 111 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时， 乙获胜的概率为2： 1 (2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮， 则甲连续授中2次，则概率户，号×号子 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲抽中第1次，第2次甲未投中，乙投中第3、4次， 则R-x-2)x号×号 ②甲第1次未投中，第2次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次 乙投中， 则卫，=(1-)×1-3）×(1-)×号x3 ③甲第1次未投中，第2次乙投中，第3次乙未投中，第4次甲未 投中，第5、6次乙投中， 则R,-1)×号×(1-)×)×号×号成 综上所述，比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率P=P,十 P+P,+R,=+站+4+2品 培优突破练 独立事件的概率乘法公式 1.a①庙PA)=2a1-a)=g(合<a<, PB)=8-号（号<< 解得a=子8=号 2 ②h@如，Pa,)=a=最PB,)=291-8=号 设A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次”， 则A=A1B2十A2B1,A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与 B1分别相互独立， .P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) “甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为2 ,5 2由题放知日+日-3,0十9=6g, P(A1)=2a(1-a),P(A2)=a2, P(B1)=28(1-B),P(B2)=B2. 设A=“甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次”， 则A=A1B2十A2B1,A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与 B1分别相互独立， .P(A)=P(A1B2)+P(A2B1) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) =2a(1-a)B2+2B(1-B)a2 =2a3L(a+B)-2a3] =2(a8)2. ,a十B=3a8>2Wa8, 4广当且仅当。=月-号时等号成立 a32 59 2apr>8号， 即甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值 为器 思维点拨 (1)①根据独立事件的概率乘法公式列出方程，即可解 得α，B的值；②根据独立事件的概率乘法公式可得结果， (2)由题意知1+1 a B =3,则a十3=3a3,设A=“甲、乙 两次解密过程中一共解开密码三次”，易得P(A)=2(a3), 由基本不等式求解即可」 10.3频率与概率 变武训练 [变式1](1)分别用2,3,4,4'表示红桃2，红桃3，红桃4，方片 4,则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)(2,4)(2,4)，(3,2)， (3,4),(3,4,(4,2),(4,3),(4,4,(4,2),(4,3),(4,4), 共12种不同的情况. (2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因 此乙抽到的牌的数字比3大的概率是号。 (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)， (4,2),4,3),共5种情况，因此甲胜的概率为是，乙胜的 概率为2 因为品<名，所以此游戏不公平。 基甜过关练 1.D2.B 3.D[由题意可知，事件A=“三只豚鼠中至少有一只被感 染”，则A=“三只豚鼠都没有被感染”，随机数中满足三只豚 鼠都没有被感染的有907,966,569,556,989，共5个，故 P=0=025,则PA)=1-pM)=1-0.25=0.75.] 4.选出的4个人中，只有1个男生。[1~4代表男生，59代 表女生，“4678”表示一男三女，即“4678”代表的含义是选出 的4个人中，只有1个男生.] 2 5.9,[设事件A=“恰好抽取三次就停止”，由随机模拟产 生的随机数可知，恰好抽取三次就停止的有021,001,130， 031,共4组随凯数，放PA)-合-子] 60 综合提能练 1.B 2ABC[在A中，由题图可知，众数的估计值为75十80=77.5， 2 A正确；在B中，车速超过80km/h的频率为0.05×5十 0.02×5=0.35,B正确；在C中，由题意可知，车速在[60， ·可用频率估计概率 65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，可得至 少有-辆车的车速在[65,70)内的概率为普，即车速都在 [60,65)内的概率为，故C正确，D错误] 古典橛型 3.A[因为骰子出现一点或两点、三点或四点、五点或六点的 概率相等，都等于子，所以应有1000人回答了第一个问题， 因为车牌号码的最后一位数是奇数或是偶数的概率是相等 的，所以在这1000人中应有500人的车牌号码是偶数，这 500人都回答了“否”；同理，有1000人回答了第三个问题， 在这1000人中有500人回答了“否”.因此在回答“否”的 1200人中约有200人对第二个问题回答了“否”，在这3000 人中约有30×微。一60人设有徽纳车备俊用脱] 用样本特征估计总体特征 4.B[设该校共有a名学生，则约有0.4a的学生近视，约有 0.3a的学生每天玩手机超过2h,且每天玩手机超过2h的 学生中近视的学生人数约为0.3a×0.5=0.15a,所以有 0.7a的学生每天玩手机不超过2h,且其中有0.4a一0.15a= 0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h的学生中 任意调查一名学生，他近视的概率P-合器-是] 5.ABC[P(点数之和为1)=0，P(点数之和为2)=P(点数之 和为12)=6，P(点数之和为3)=P(点数之和为1=8 P(点数之和为)=P(点数之和为10)=2，P(点数之和为5) =P(点数之和为9)=}，P(点数之和为6)=P(点数之和 为8》品，P(点数之和为)=日，所以不公平，7班被迷到 的概率最大.] 6.25000.[设水库中鱼的尾数是n(n∈N*).现在要估计n 的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，设事件A={捕到 带记号的鱼，则P(A)=20°.第二次从水库中捕出500 尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由10.2事件 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型3]甲、乙两队进行决赛，现在的情形是甲 队只要再赢一局就能获得冠军，乙队需要再赢两 局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同， 则甲队获得冠军的概率为(). A是 B号 D.2 2.[题型1门（多选）若P(AB)=1 ,P(A)=2 , P(B)=专，则下列关于事件A与B的关系正确 的是( ). A.事件A与B互斥 B.事件A与B不互斥 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B不相互独立 3.[题型3]在如图所示的电路中，5只箱子表示保 险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的 概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( A器 720 72 贸 4.[题型3](2025·江西南昌二中月考)某团队派 遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲 完成任务的概率为}，乙完成任务的概率为2， 丙，丁完成任务的概率均为号，若四人完成任务 与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为 B综合提能练 ●测试时间：30分钟 1.[题型2]某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社 团通过考核挑选新社员，已知大一某新生对这三 个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设 他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概 第十章概率 为相互独立性 1 率依次为m,3n,且他是否通过每个考核相互 独立，若三个社团考核他都能通过的概率为24' 至少通过一个社团考核的概率为子，则他通过书 法或轮滑社团考核的概率为(). A号 c号 2.[题型1、2]（多选）一个质地均匀的正四面体，四 个面分别标有数字1,2,3,4.抛掷该正四面体两 次，依次记下它与地面接触的面上的数字.A表 示事件“第一次的点数是1”，B表示事件“第二 次的点数是2”，C表示事件“两次点数之和是 4”,则(). A.A与B相互独立B.A与C相互独立 C.P(A+C)- D.P(BC) 3.[题型1](2025·湖北十一校联考)（多选）已知 随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=号， P(B)=合，则下列说法正确的是( A若A与B互斥，则P(AUB)=号 B若A与B相互独立，则P(AUB)=号 C若P(AB)=号，则事件A与B相互独立 D,若B二A,则P(AB)=3 1 4.[题型2]（多选）一批产品共有5件，其中有3件 是一等品，2件是二等品，则下列结论中正确的 有(). A.从中不放回地抽取2次，每次任取1件，恰有 1件是一等品的概率是号 B.从中一次性取2件，至少有1件是一等品的概 率是品 C.从中有放回地抽取2次，每次任取1件，恰有 55 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 1件是一等品的概率是号 D.从中有放回地抽取2次，每次任取1件，至少 有1件是一等品的概率是) 5.[题型1]（多选）给定一个正整数n(n≥3)，从集 合2={1,2,3，…n}中随机抽取一个数，记事 件A=“这个数为偶数”，事件B=“这个数为3 的倍数”.下列说法不正确的是( A.若n=6k,k∈N*,则至少存在一个n,使事件A 和事件B不独立 B.若n≠6k,k∈N,则存在无穷多个n,使事件A 和事件B独立 C.若n为奇数，则至少存在一个n,使事件A和 事件B独立 D.若n为偶数，则对任意的n,事件A和事件B 独立 6.[题型2、3]一个三位自然数，百位、十位、个位上 的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称 为“凹数”（如213,312等）.若a,b,c∈{1,2,3， 4},且a,b,c互不相同，则这个三位自然数为 “凹数”的概率是 7.[题型2、3](2025·湖南石门中学单元检测)某 同学高考后参加国内3所名牌大学A,B,C的 “强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所 大学A,B,C招生考试的概率分别为x,y,2, 1 该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独 立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试 的概率为，则该同学至少通过1所大学招生 考试的概率为 ,该同学恰好通过A,B 两所大学招生考试的概率最大值为 8.[题型2]为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人 决定进行一场投篮比赛，每次投1个球.先由其 中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投 篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连 续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获 胜.经过抽签决定，甲先开始投篮.已知甲每次投 篮命中的概率为？，乙每次投篮命中的概率为 56 专，且两人每次投篮的结果均互不干扰 (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的 概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(2025·北京大学强基训练)随着科技的发展，互 联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经 济、金融、政治等安全.为提高中学生的网络安全 意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技 术创新比赛，参赛选手两人一组，需要在规定时 间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份 文件只有一次解密机会.已知甲每次解开密码的 概率为a(2≤a<1,乙每次解开密码的概率为 月（号<<1），每次是否解开密码也互不影响。 设A1={甲成功解密一份文件}，A2={甲成功 解密两份文件}，B1={乙成功解密一份文件}， B2={乙成功解密两份文件} 已知概率P(A,)-音P(B,)=号， ①求a,B的值； ②求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三 次的概率. (2若。十日一3，求甲，乙两次解寄过程中一共 解开密码三次的概率最小值，