第9章 统计 单元学能测评-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

用重难点手册高中数学必修第二册RJA 第九章单元 考试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)】 1.下列说法中错误的是(). A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽 签法和随机数法 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每 个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了 一组数据的集中趋势 D.一组数据的方差越大，说明这组数据的离散 程度越大 2.(2025·湖南岳阳一中期末)已知某种袋装中药 里药物甲的含量x(单位：克)与药物功效y(单 位：药物单位)之间的关系式为y=10x一x2.随 机检测一个批次的10袋这种中药，得到药物甲 的含量的平均值为5，标准差为 ,估计这批中 药的药物功效的平均值为(). A.24 B.24.5C.25 D.25.5 3.从800件产品中抽取60件进行质检，利用随 机数法抽取样本时，先将800件产品按001， 002,…,800进行编号.利用计算机随机产生如 下0~9的随机数，现从第2行第28列的数8开 始往右读数（三位三位地读），则抽取的第4件产 品的编号是() 844217533157245506887704744767 217633502583921206766301637859 16955667199810507175 1286735807 44395238793321123429 7864560782 524207443815510013429966027954 A.169B.556 C.671 D.105 4.如图所示为某个容量为100的样本的频率分布 直方图，分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)， [102,104),104,106],则在区间98,100)内的 48 无学能测评 试卷满分：150分 频数为( . 个频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 09698100102104106数据 A.10 B.30 C.20 D.40 5.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分 别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,方差为2，则1x一y的值为(). A.2 B.4 C.8 D.16 6.(2025·湖北武汉二中月考)已知一组样本数据 共有8个数，其平均数为8，方差为12.将这组 样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样 本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新 的样本数据的方差最小值为(). A.10 B.10.6C.12.6D.13.6 7.(2025·安徽淮北一中月考)某校1000名学生 参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成 绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所 示，则下列说法正确的是( ). 频率组距 0.035 0.030 0.010 0 5060708090100成绩/分 A.频率分布直方图中a的值为0.012 B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分 位数为80 C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D.估计总体中成绩落在[50,60)内的学生人数 为110 8.四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出 现的点数，根据四名同学得到的下列统计结果， 可以判断出一定没有出现点数6的是(）. A.平均数为4，中位数为4 B.中位数为4，众数为3 C.平均数为3，方差为1 D中位数为3，方差为号 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分)】 9.(2025·安徽安庆一中月考)现有甲、乙、丙三位 篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录 数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下 条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员：5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方 差是9.6. 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的 是() A.甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B.乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C.丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数 大于24 10.如图所示是2015年至2021年中国雪场滑雪 人次与同比增长率（与上一年相比）的统计情 况，则下列结论中正确的是( ) 25001 21.4%20.8% T25.0% 2000 1970 12.5%14.4% 750 20.0% 1500 1250 1510 15.96 26 15.0% 1000 800 9001030 10.0% 500 5.0% 0 10.0% 2015201620172018201920202021 口中国雪场滑雪人次（单位：万人）一同比增长率 A.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同 比增长率逐年下降 B.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年 增加 第九章统计用 C.2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同 比增长率近似相等，所以同比增长人数也近 似相等 D.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的增 长率为118.9% 11.(2025·湖南雅礼中学单元检测)冬末春初，乍 暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发 热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工 作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每 天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发 生群体发热.下列连续7天体温高于37.3℃ 人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生 群体性发热的为(). A中位数为3，众数为2 B.平均数小于1，中位数为1 C.平均数为3，众数为4 D.平均数为2，标准差为√2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 将答案填在题中的横线上) 12.某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿 者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名 按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第 3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得 到的频率分布直方图如图所示.若从第3,4,5组 中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参 与宣传活动，应从第3组抽取 名 志愿者 频率组距↑ 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01 202530354045年龄/岁 13.已知一组样本数据由小到大依次为2,3,3,7， a,b,12,13,19,20(a,b∈N),且样本的中位数 为10.5，则a十b=」 ;若要使该样本的 方差最小，则ab= .(本题第一空2 分，第二空3分) 49 期重难点手册高中数学必修第二册RJA, 14.(2025·湖北宜昌夷陵中学期末)为促进学生 德、智、体、美、劳全面发展，某校开发出文化艺 术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为了 解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机 抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的 人数分别为x,y,之，m,n(x<y<z<m<n, x,y,z,m,n∈N*).已知这5个班级参加科技 课程的人数的平均数为9，方差为4，则之一9= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025·浙江杭州余杭高级中学单元检 测)李明读高一时每天中午和晚上都在学校食 堂就餐，学校为了方便学生就餐，发行“校园一 卡通”，该校的学生家长可以随时通过手机给 其子女的“校园一卡通”充值，为了给李明的 “校园一卡通”每周充人适当数量的钱，李明的 家长随机考察了李明班级每天中午和晚上都 在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校 的就餐费用，记录如下：87,93,90,9x,90,91. 在制作时有1个数据模糊，李明的家长便以x 表示，他记得这6个同学一个星期在学校的就 餐费用，如果去掉一个费用最高的和一个费用 最低的，剩余4个同学费用的平均数为91元 (1)求整数x的取值组成的集合； (2)一般地，把抽取所得的随机数据中去掉最 大的一个，再去掉一个最小的，如果剩余的 数据的方差在0~2之间，我们认为抽取的 数据为非常完美的数据，试说明李明的家 长抽取的数据是否是非常完美的数据， 50 16.(15分)(2025·江西师大附中月考)以下是某 网络书店1一4月份关于图书销售情况的两个 统计图： 某网络书店1一4月份销售 总额统计图 月销售额万元 80 70 62 60 40 01月 2月3月4月月份 图1 绘本类图书销售额占该书店当 月销售总额的百分比统计图 百分比 12% 10%--- 10% 8% 8% 6% .6% 75 4% 0 1月 2月3月4月月份 图2 (1)求1月份该网络书店绘本类图书的销售额， (2)若已知4月份与1月份这两个月的绘本类 图书销售额相同，请补全条形统计图1. (3)有以下两个结论：①该书店第一季度的销 售总额为182万元；②该书店1一2月份绘 本类图书销售额的月增长率为21%.请你 判断以上两个结论是否正确，并选择一个 结论说明理由， 17.(15分)(2025·安徽师大附中单元检测)某校 高一年级有男生200人，女生100人.为了解 该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进 行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本， 并观测样本的指标值（单位：cm),计算得男生 样本的身高平均数为169，方差为39.抽取的 女生样本的数据如下表所示 抽取 1 2 5 6 7 8 9 10 次序 身高155158156157160161159162169163 记抽取的第i个女生的身高为x:(i=1,2 3,…,10),样本平均数x=160,方差s2=15. 参考数据：√15≈3.9,1592=25281,1692= 28561. (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该 校高一女生总体的身高频率分布情况，试 估计该校高一女生身高在[160,165]范围 内的人数； (2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校 高一学生总体身高的平均数μ和标准差。， 求4，o的值； (3)如果女生样本数据在(x一2s,x+2s)之外 的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算 剩余女生样本身高的平均数与方差 第九章统计用誰 18.(17分)(2025·浙江乐清知临中学期末调研) 某市在200万成年人中随机抽取了100名成 年市民进行平均每天读书时长调查，根据调查结 果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方 图（如图），将平均每天读书时长不低于1.5小时 的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时 长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”. ↑频率/组距 0.72 0.52 0.44 0.16 010-- 0:06F---☐ 00.511.522.53小时 (1)试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出 其中“读书迷”约为多少人 (2)省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下： 若城市中55%的成年人平均每天读书时长 不低于a小时，则认定此城市为“儒城”.若 该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足 什么条件？（精确到0.1） (3)该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不 超过20万名，根据调查，如果收取会费，则 非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读 爱好者愿意加人读书会.为了调控入会人 数，设定会费参数x(x>1),适当提高会 费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意 加入的人数会减少10lnx%,“读书迷”愿 意加入的人数会波少a设千光当 会费参数x至少定为多少时，才能使会员 的人数不超过20万人？ 51 期重难点手册高中数学必修第二册RJA, 19.(17分)中国独有的文书工具即笔、墨、纸、砚， 有“文房四宝”之名，起源于南北朝时期.其中 宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属 宣州管理，故因地得名宣纸.宣纸按质量等级 分为正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等. 某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸 10000刀(1刀=100张)，该公司按照某种质 量指标x给宣纸确定等级，如表所示 (44,48]U [0,44]U x的范围 (48,52 (52,56] (56,60] 质量等级 副牌 正牌 废品 在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进 行检验，得到的频率分布直方图如图所示.已 知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸的 利润为8元，废品的利润为一20元 ◆频率/组距 0.1--- 0.05 0.025 0/ 404448525660立 (1)试估计该公司的年利润. (2)市场上有一种售价为100万元的机器可以 改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用 寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增 加宣纸的年产量.据调查，这种机器生产的 宣纸的质量指标x如表所示. x的范围 (x-2,x+2) (x-6,x+6) 频率 0.6827 0.9545 52 其中x为质量指标x的平均值，但是由于 人们对传统手工工艺的认可，改进后的正 牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，该 公司是否应该购买这种机器？请你为该公 司提出合理建议，并说明理由（同一组中的 数据用该组区间的中点值代表)，因此上式可化简为空红，西-m十G-可 同理，第二层数据满足y一0)=nS十nG-一0 将两层结果代入总方差公式S-m十，[mS+mG-02十 nS号+ny-)2], 故S2的表达式成立. (3)已知男生人数m=800,平均数元=66，方差S=180, 女生人数n=600,平均数据y=52,方差S=90, 总人数m十n=1400. 则西什+如 m十n 800 600 =1400×66+1400×52 =号×6+号×0 264+156_420=60(kg), 7 7 因为x-0=66一60=6，y-0=52-60=一8. 1 所以S-1400{800×180+6)+600×[90+(-8)]》 1 =1400[800×(180+36)+60×(90+64)] 一1400[800×216+600×154] =1400172800+9240]=26520_1326 1 1400 7 归纳总结 总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：若总体中所有个体的变量值分 别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为了，则称S2= 是户0出-刀为总体方盖，5=V尽为总体据准盖 (2)总体方差的加权形式：若总体的N个变量值中， 不同的值共有k(≤N)个，不妨记为Y1,Y2,…,Y,其 中Y:出现的频数为f:(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 员2x-别 培优突破练 1.8.[因为15个数x1,x2,…,x15的平均数为6，方差为9， 之2=15×6 故s2= 15 =9,解得月 x=675.又因为x1, x2,x3,x4,x6这5个数的平均数为8，方差为5，故 空-5x 5 =5得=35，所以=65 345=330.又因为21十x++25=6,4十x2十十3 15 5 8,故x6十x7十…十x15=50.所以剩余的10个数x6,x7,…, 6的平均数为6十2十+型=5，所以剩余的10个数 10 x6x7,…,x5的方差为 党x-10×5 =8.] 10 第九章单元学能测评 1.B2.B3.D4.C5.B 6.D[设增加的两个未知数分别为x,y,原来的8个数分别为 a1,a2,…,a8,则a1十a2十…十ag=64,a1十a2+…十ag十x +3y=90,所以x十y=26.因为{立(a,-8=12,即 8 空a,-8=96,则a-9y+-9+g 9]=a--22a-8+8+红-9》+ g9]-+y-202又因为≥- 2 13(当2=y=8时，取=号》，即得+y≥38，所以+ y2-202)≥13.6，即新的样本数据的方差最小值为13.6.] 7.B 8.C 选项正误 原因 当投掷骰子出现的结果为1,2,3,4,6,6,6时 满足平均数为4，中位数为4，可以出现点数6 B 当投掷骰子出现的结果为3,3,3,4,4,5,6时， 满足中位数为4，众数为3，可以出现点数6 若平均数为3，且出现点数6，则方差2>号× (6-3)2=号>1，所以平均数为3，方差为1时。 一定没有出现点数6 当投掷骰子出现的结果为2,2,3,3,6,6,6时 满足中位数为3，平均数为元=号(2+2+3+3+ 0 ×6+6+6)=4,方差为2=7[2-4)2+(2 4)2+(3-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(6-4)2+ (6-402]=22, ,可以出现点数6 9.AD[设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排 列为x1,x2,x3,x4,x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5,x3=26, 且24至少出现2次，故x1=x2=24,A正确.设乙球员的5场 篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为y1,y2yy4,y, 则y1≤y2≤y3≤y4≤y5,y3=29,取y1=20,y2=23,y4= 51 29,y5=29,可得其满足题中条件，但有2场得分低于24，B! 错误.设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列 为21222,42，由已知号[(21-26)2+(2-26)2+ (z3-26)2+(z4-26)2+(x5-26)2]=9.6,所以(x1-26)2+ (x2-26)2十(z1-26)2+(z4-26)2+(x6-26)2=48,若之4≥ 32,则z3≥32，所以（之1一26）2十(22一26)2+(z3一26)2+（之4 26)2+(x5-26)2>72,矛盾，所以z6=32,所以(x1-26)2+ (x2-26)2+(x3一26)2+(z4-26)2=12,因为之1，之2，之3， 之4，之5的平均数为26，所以之1十之2十23十之4=98，取之1= 23,之2=25，z3=25,z4=25,满足题中条件，但有一场得分低 于24分，C错误.因为5×60%=3，所以丙球员连续5场比赛 得分的第60百分位数为士，者士<24，则< 2 24,故1十十十4<98，矛盾，所以3>24，所以丙 球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D正确.] 方法总结 利用数字特征反推数据情况时，若要说明一个命题是 错的，只需举一个反例即可，另外想说明一个命题是对的， 可以结合反证法说明，当反面成立时有矛盾，则正面成立. 10.BD 选项正误 原因 由统计图可知，2016年至2018年，中国雪场滑 雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021 年，同比增长率逐年下降 由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑 雪人次逐年增加 由统计图可知，2016年与2021年，中国雪场滑 雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑 C 雪人次为800万，2020年滑雪人次为1750万， 同比增长基数差距大，同比增长人数不相等 由统计图可知，2016年至2021年，中国雪场滑 D 雪人次的增长率约为197090×10%≈ 900 118.9% 11.BD[将7个数由小到大依次记为x1,x2,x3,x4,x5,x6, x7.对于A选项，当这7个数分别为2,2,2,3,3,4,6时， 满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，A错误.对于B选 项，假设x?≥6，即该公司发生群体性发热事件，因为中位 52 数为1，所以x6≥x5≥x4=1,平均数为x=可 7 0×3+1+1+1+61,矛盾，故假设不成立，即该公司没有 7 发生群体性发热事件，B正确.对于C选项，当这7个数分 别为0,1,2,4,4,4,6时，满足众数为4，平均数为3，与题意 矛盾，C错误.对于D选项，假设x≥6，即该公司发生群体性 ∑(x:-2 发热事件，若平均数为2，则方差为5= 一≥ 7 ,2》≥9>2，即标准差反，故假设不成立，即该公 司没有发生群体性发热事件，D正确.门 12.3.[第3组的人数为100×5×0.06=30，第4组的人数为 100×5×0.04=20,第5组的人数为100×5×0.02=10， 所以这三组共有60名志愿者，所以第3组应抽取8×器 3(名).] 分层随机抽样了广 13.21;110.[因为样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a, b,12,13,19,20(a,b∈N),且样本的中位数为10.5，所以 a中-10.5，即a十b=21,所以样本的平均数为 2 2+3+3+7十a+b+12+13+19+20-10.要使样本方差最 10 小，即(a-10)2+(b-10)2最小，又(a-10)2+(b-10)2= (21-b-10)2+(b-10)2=(11-b)2+(b-10)2=2b2- 426+21=26》+号，且6EN.所以当6=1或6 10时，(a一10)2+(b一10)2取得最小值.又a+b=21,且 a<b,所以a=10,b=11,所以ab=110.] 14.0.[由题意得+y+十m+”=9. 5 (9-x2+(9-y)2+(9-x)2+(9-m)+9=n)2=4,化 5 简得x十y十z十m十n=45,(9-x)2+(9-y)2+(9-x)+ (9-m)2+(9-n)2=20,易知n≥m+1≥x+2≥y+3≥ x+4,故x+y+z+m+n≤5n-10,解得n≥11，n∈N*. 因为(9-x)2+(9-y)2+(9-x)2+(9-m)2+(9-n)2= 20,所以9-x,9一y,9-之，9-m,9一n这5个数的绝对值 不超过4，所以n≤13，n∈N,故n的可能取值为13,12， 11.当n=13时，(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2= 4,无解；当n=12时，(9-x)2+(9-y)2+(9-x)2+(9 m)2=11;由x<y<x<m<n,x,y,之，m,n∈N*,得这四 个平方数只能为0,1,1,9，则x=6,y=8,之=9，m=10,符 合题意，此时之-9=0；当n=11时，(9-x)2+(9-y)2+ (9一x)2+(9一m)2=16,无解.综上所述，z一9=0.] 15.(1)他抽取的6个数据是87,93,90,90+x,90,91, 其中最小的数据是87，最大的数据是93或90十x. 如果最大的数据是93， (0≤x≤3， 则1 ×(90+90+x+90+91)=91, 得x=3; 如果最大的数据是90+x, 3x9, 则1 解得x=3,4,5,6,7,8,9. 4×(93+90+90+91)=91, 故整数x的取值组成的集合是{3,4,5,6,7,8,9. (2)由(1)知，去掉一个费用最大的90+x,去掉一个费用最 小的87，剩余4个数据为93,90,90,91. 由题意可知这4个数据的平均数为91， 方差为=子×[(93-91)2+(90-91)2+(90-91)+ (91-91]=2, 又0号2， 故我们认为抽取的数据是非常完美的数据。 思维过程 (1)讨论最大的数据是93或90十x,从而求得整数x 的取值集合； (2)去掉一个费用最大的和最小的数据，根据剩余4个 数据的平均数计算方差，即可得出结论， 16.(1)70×6%=4.2(万元)， 故1月份该网络书店绘本类图书的销售额是4.2万元 (2)设4月份的销售额为x元，x×7%=4.2,解得x=60, 补全的条形统计图如图所示 某网络书店1~4月份销售 总额统计图 ↑月销售额万元 80-70 62 60 60 40 20 1月2月3月4月月份 (3)①正确，②错误.理由如下： 该书店第一季度的销售总额为70十62十50=182（万元）， 故①正确 1月份绘本的销售额为70×6%=4.2（万元）， 2月份绘本的销售额为62×8%=4.96（万元）， 则该书店1一2月份绘本类图书销售额的月增长率为 (4.96一4.2)÷4.2×100%≈18%，故②错误 7.1女生样本中，身高在[160,16范围内的占比为始号， 故该校高一女生身高在[160,165]范围内的人数估计为 100x号-0 (2)记总样本的平均数为X,标准差为S, 设男生样本(20人)的身高平均数为y=169,方差s号=39， 女生样本(10人)的身高平均数为x=160,方差s2=15, 则x=20X169+10X160=166, 30 s=号[39+169-16)]+号15+160-16) =号×48+号×51=49， 故4=166，g=√S2=7. (3)因为x=160,5x=√15，所以（元-25x,x+25z), 即(160-2√15,160+2√15)， 约为(152.2,167.8)， 由样本数据知，169庄(160一2/15,160+2√/15)，为离 群值， 则剔除169后，女生样本(9人)的身高平均数为 7=日160X10-169)=158, 由这-品空1)品宫满wy-15 (推号：2=红-)+红g-)+…+(红n-到门 =[++…+品-2++…+wz+1暖 -品立-2×141厦) 名-1列 可得之-56150， 则剔除169后，女生样本(9人)的身高的方差为 号×(256150-28561-9X25281) 20 3 53 思维过程 (1)根据样本数据在[160,165]范围内的占比易求得女 生总体在此范围内的人数。 (2)先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X, 再利用混合样本的方差公式计算S2,最后对：，0进行计算 即可 18.(1)样本中“阅读爱好者”的出现频率为(0.16十0.10+0.06)× 0.5=16%, “阅读爱好者”的人数为200×16%=32（万）， “读书迷”人数为200×(0.06×0.5)=6（万）， 所以32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有6万人。 (2)由题意知，至多有45%的成年人每天读书时长少于a, 即找到45%分位数. 因为0.5×0.72=0.36<45%， 0.5×(0.72+0.44)=0.58>45%, 所以0.72×0.5+0.44×(a-0.5)=45%, 可得a一裂0.。 即参考标准a不能高于0.7小时. (③)阅谈爱好者中非“读书迷”约有26(1-)万人， “读书迷”约有61-n千)万人， 令2s16）+61-n千) =32-13In z_6In 5hx+17≤20， 化简得13(lnx)2+113lnx-660≥0， 郁得h2<一管或h4,所以≥e, 所以会费参数x至少定为e时，才能使入会的人员不超过 20万人 19.(1)由频率分布直方图得一刀宣纸有正牌100×0.1×4= 40(张)，副牌100×0.05×4×2=40（张）， 废品100×0.025×4×2=20（张）， 所以该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15十40×8一 20×20=520(元)， 所以估计该公司的年利润为520万元 (2)由频率分布直方图得元=42×0.025×4+46×0.05× 4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50. 由表格数据可得一刀宣纸中正牌的张数估计为 100×0.6827=68.27(张)， 54 废品的张数估计为100×(1-0.9545)=4.55（张）， 副牌的张数估计为100X(0.9545-0.6827)=27.18(张)， 所以一刀宜纸的利润为68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14(元)， 10000刀宣纸的利润为10000×864.14=8641400（元）= 864.14(万元)， 所以购买这种机器后该公司的年利润为864.14一100= 764.14(万元)， 因为764.14>520，所以建议该公司购买这种机器 第十章概率 10.1随机事件与概率 变式训练 [变式1门（从集合角度分析）令“只订甲报”为①，“只订乙报”为 ②，“订甲、乙两种报”为③，“一种报纸也不订”为④，则样本 空间2={①，②，③，④}. (1)A={①}，C={①，②，④}，A∩C=A,所以A与C不是 互斥事件： (2)B={①，②，③}，B∩C={①，②}，所以B与C不是互斥 事件。 (3)D={②，④}，B∩D={②}，所以B与D不是互斥事件 (4)E={④}，B∩E=心，BUE=2,所以B与E是对立事件 (5)A∩E=⑦，但AUE={①，④}≠2，所以A与E是互斥 事件，但不是对立事件. [变式2]记“得到红球”为事件A,“得到黑球”为事件B,“得到 白球”为事件C,“得到绿球”为事件D,显然事件A,B,C,D 彼此互斥，则由题意可知，PCA)=子， ① PB+C)=P(B+P(C=高 ② P(C+D)=P(C)+P(D)- ③ 由事件A和事件B十C十D是对立事件可得 P(A)=1-P(B+C+D)=1-[P(B)+P(C)+P(D)], 即P(B)+P(C+P(D)=1-PA)=I-}-号④ 联立@③④可得P(B)=,P(C)=石，P(D)=, 一运用了方程思想，利用互斥事件的概率加法公式列出相关等 式，通过解方程组求出相关嫉率， 111 即得到黑球、白球，绿球的概率分别是4,6,4