8.5 空间直线、平面的平行-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

铺重难点手册高中数学必修第二册RJA, 8.5 空间直乡 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[题型4]下列说法中正确的是( A.如果直线L平面α，那么过平面α内一点和 直线l平行的直线在a内 B.若直线l平面a,直线ac平面a,则la C.若平面α平面β，则α内的任意一条直线都 平行于平面β内的所有直线 D.若aB,a∩y=a,bCy,则ab 2.[题型1、2](2025·浙江杭州外国语学校单元检 测)设a,b是两条直线，a,3是两个平面，若 aa,aCB,a∩3=b,则a内与b相交的直线与 a的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 3.[题型4幻如图，已知S为四边 形ABCD所在平面外一点， G,H分别为SB,BD上的 点.若GH∥平面SCD,则 (). A.GH//SA B.GH∥SD C.GH//SC D.以上均有可能 4.[题型2、4]（多选）如图所示，平面aβ，ABCa, CDCB,PA=2,AB=1,CD=3,则下列选项一 定成立的是( A.CD//a B.AC=4 C.PB=1 D.PA-AB PB CD 5.[题型5](2025·湖北黄冈中学单元检测)若空 间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分 别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD,AC 的截面四边形的周长为 30 线、平面的平行 6.[题型4](2025·湖南师大附中月考)如图所示， 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，M,N分 别是棱A1B1,B1C1的中点，P是棱AD上的 点，AP=1,过点P,M,N的平面交上底面于PQ, 点Q在CD上，则PQ= D Q B M B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型4、5](2025·湖南师大附中月考)已知棱 长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱 AB的中点，F是棱CC1的中点，动点P在正方 形AA1D1D(包括边界)内运动，且PB1∥平面 DEF,则PD的长度范围为( ) A.[13,√19] 25 B. c2x25 D. 2.[题型1、2]如图是几何体P-ABCD的平面展开 图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC, △P2BC,△P3AB,△P4DA为全等的等边三角 形，E,F分别为P3A,P4D的中点.则下列结论 中错误的是( ) D A.直线BE与直线CF共面 B.直线BE与直线AF是异面直线 C.直线BE平面PCD D.平面PAD与平面PBC的交线与BC平行 3.[题型2、4]如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是 BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上 运动，并且总是保持PE∥平面SBD,则动点P 的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是下 列图示中的( ) B C 4.[题型5](2025·江西南昌二中期末)如图，在棱 长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F, M,N分别为棱AB,AD,D1C1,C1B1上的点， 满器x盖品-0e01. 过E,F,M,N四点作该正方体的截面，则下列 说法错误的是(). A当入-2时，该截面是正六边形 B当X-名时，四边形EFMN为正方形 C.MN∥平面AD1B, D.当四边形EFMN为正方形时，它的面积为号 5.[题型3、5]（多选）如图，在棱长均相等的四棱锥 P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M,N分 别为侧棱PA,PB的中点，则下列结论中正确的 有(). D 第八章立体几何初步 A.OM∥PC B.PD平面OMN C.平面PCD平面OMN D.ON∥PA 6.[题型1、2、4]（多选）如图，平面a∥平面β，A,C 是平面α内不同的两点，B,D是平面B内不同 的两点，E,F分别是线段AB,CD的中点，则下 列说法正确的是( A A.当AB,CD共面时，AC∥BD B.当AB/CD时，AC=BD C.当AB=2CD时，E,F两点不可能重合 D.当AB,CD是异面直线时，EF∥a 7.[题型2、5](2025·陕西西安调考)如图，在长方 体ABCD-A'B'C'D'中，E,F,G,H分别为 CC',C'D',D'D,CD的中点，N是BC的中点， 点M在四边形EFGH内运动，则点M满足 时，有MN∥平 面B'BDD' 0 D' 第7题图 第8题图 8.[题型3、5](2025·湖北武汉二中月考)在《九章 算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为 “堑堵”.如图，棱柱ABCA1B1C1为“堑堵”，若 P是BB1的中点，AA1=AC=BC=2,则在过 点P且与AC,平行的截面中，当截面图形为等 腰梯形时，该截面的面积为 9.[题型2](2025·江西吉安一中期末)如图，在正 方体ABCD-A1B,C1D1中，E为DD1的中点. (1)求证：BD1平面ACE; 31 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, (2)若AB=2,从正方体中截去三棱锥D-ACE 后，求剩下的几何体的体积。 D C B A E D---- 10.[题型2、5](2025·江西九江一中单元检测)如图 所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1 中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动， D1M=DN=a(0<a<√2)，连接MN. (1)求证：对任意的a∈(0，√2)，总有MN∥平 面DCC1D1; (2)当a为何值时MN最短？ D B D以 32 C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(2025·湖北黄冈中学竞赛选拔考试)如图1，设 半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P,M,N 分别是OA,OB,OC的中点，将此半圆以OA为 母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列 各题 图1 图2 (1)求证：平面PMN/平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在 一点E,使得DE∥平面ABC?若存在，求 器的值，并证明你的结论：若不存在，清说明 理由V,所以水的体积与四棱锥P-ARCD体积之比为Y:2V =5:8,④正确.] 8.5空间直线、平面的平行 变武切练 [变式1]BD[对于选项A,如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故A错误.对于 等角定理 选项B,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成的锐角（或直角）相等，故B正确.对于选 项C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两 个角的大小关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既 不相等，也不互补，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,CD1⊥CB,但 是∠AD,C=受，∠A:BC,=号，二者既不相等也不互补， 故C错误.对于选项D,如果两条直线同时平行于第三条直 线，那么这两条直线平行，故D正确.] D A D [变式2](1)如图，作MP∥AD,交DD1于点P,作NQ∥BC, 交DC于点Q,连接PQ. 因为四边形ABCD是正方形，所以ADBC,所以MPNQ, 因为N迎/AD,所瓷-0，同是可明设-B浴，因此 MP=NQ,则四边形MNQP为平行四边形，所以MN∥PQ. 又PQC平面DCC1D1,MN在平面DCC,D1,所以MN∥平 面DCCD1. (2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，所以MN=PQ. 因为DD1=AD=DC=BC=1,所以AD1=BD=√2. 因为DM=DN=a,所以D,P=g,DQ_4 12’12 即D,P=DQ-2,所以MN=PQ-V-DP牛D网- √-)'+（份）-√a-'+号o<a<@. 32 时，N的长度有最小值，最小值为号 故当a=2 D A P M N 基础过关练 1.A2.C3.B 4.AB[因为a∥B,CDCB,所以CD∥a,故A正确；设由PC 与PD确定的平面为Y,因为a∥B,a∩y=AB,B∩Y=CD, 所以AB,/CD,所以A_AB, 2 1 PC-C0,即2+AC=3,解得AC=4, 这B正确若PB=1,则PB+AB=PA,故C错误；若PB ±与三角形的三边关系矛盾 则由器-品知PB-PC,但PB与PC的长度关系不 AB 确定，故D错误.] 5.20.[设所求截面四边形为EFGH,且F,G,H分别是 BC,CD,DA的中点，所以EF=GH=4,FG=HE=6.所以 截面四边形EFGH的周长为2X(4十6)=20.] 6.2√2.[因为平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD∩ 平面PQNM=PQ,平面A1B,C,D,∩平面PQNM=MN, 所以MNPQ,连接A1C1,AC,则MNA1C1,A1C1∥AC, 所以PQ/AC又AP=1,所以器-怨=号，所以PQ 号4c-号×3w-22.] 综合提能练 1.C[如图，分别取棱BB1,DD1上靠近点B,D1的四等分点 K,Q,取AA1的中点M,连接MB1,MQ,QB1,DE,DF, EK,KF, D D A E B :E,F为所在棱的中点，K为四等分点，EK∥DF, E,K,F,D四点共面，.平面DEF即为平面DEKF. 又MB1∥EK,MQ∥KF,EKC平面DEKF,KFC平面 DEKF,MB寸平面DEKF,MQt平面DEKF,.MB1∥ 平面DEKF,MQ/∥平面DEKF.又，MB,∩MQ=M,且 MB1,MQC平面MQB1,∴.平面DEKF/∥平面MQB1, 面面平行的剂定定理 ∴点P在MQ上.由勾股定理得DM=√AD+AM= 2√5，DQ=3,MQ=√1+4=√17，设点D到MQ的距离为 A,则Sw=号X3X4=×VT,解得A12 1 17 PD的长度取值范围为[29,25] 2.C[画出几何体，如图所示，连接EF.因为E,F分别是 PA,PD的中点，所以EF∥AD,所以EF∥BC,直线BE与 直线CF是共面直线，选项A正确：直线BE与直线AF不 同在任何一个平面内，满足异面直线的定义，所以选项B正 确；若直线BE伻面PCD,又平面BCFE与平面PCD交于 直线CF,则有BE∥CF,于是可得四边形BCFE为平行四边 形，这与四边形BCFE为梯形矛盾，选项C错误；由AD∥ BC,易知BC平面PAD,由直线与平面平行的性质，可知 选项D正确.] D E D 第2题图 第3题图 3.A[如图，分别取CD,SC的中点M,N,连接MN,ME, NE,因为E是BC的中点，所以EM∥BD,EN∥SB,又 EM,EN￠平面SBD,BD,SBC平面SBD,所以EM∥平面 SBD,EN平面SBD.因为EM∩EN=E,EM,ENC平面 EMN,所以平面EMN∥平面SBD,所以当P在MN上移 动时，PEC平面EMN,此时能够保持PE平面SBD,则动 点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是选项A.] CM CN 4B[在正方体中，因为CD,=CB,所以△CMN与 △C,BD1相似，故MN/∥B1D1.又因为MN￠平面ADB: BDC平面ADB1,所以MN平面AD1B1,故C正确.当 1 线面平行的荆定定理 入=2时，如图1，可以得到该截面为正六边形，故A正确。 D DM E 图1 图2 如图2，作NH⊥BC,垂足为H.在正方体中，设棱长为1，所 CM CN 以NH=1.因为D,CB,=入，根据正方体棱长以及线段 比例关系可得MN=√2λ，根据正方体棱长以及λ的关系可得 EH=√2(1-A).在Rt△ENH中，EN=√NH+EH= √1+2(1一A)产，由于四边形EFMN为正方形，所以MN= EN,即√2λ=√1+2(1-λ)，即2x2=1+2(1-2λ+λ2)，解 得A-子，此时N=E×号-平，正方形EPN的面 积为MN=()-号，放B错误，D正确] 47 5.ABC[连接AC,则O为AC的中点，又M为PA的中点， 所以OM∥PC,故A正确；连接BD,显然O为BD的中点， 又N为PB的中点，所以PDON,由线面平行的判定定理 可得PD平面OMN,故B正确；因为OM∥PC,所以由线 面平行的判定定理可得PC平面OMN,又由选项B得PD∥ 平面OMN,由面面平行的判定定理可得平面PCD∥平面 OMN,故C正确；由选项B的分析知ON∥PD,则ON∥平 面PAD,在平面PAD中，PA与PD相交，则PA与ON不 平行，故D错误.] 6.ABD[当AB,CD共面时，平面ABDC∩平面a=AC,平面 ABDC∩平面B=BD,因为aB,所以AC∥BD,故A正确； 当AB∥CD时，A,B,C,D四点共面，易得ACBD,故四边 形ABDC为平行四边形，所以AC=BD,故B正确；如图1 所示，当AB,CD相交且AE=2CE时，满足AB=2CD,此 时E,F两点重合，故C错误；如图2所示，连接AD,取AD 的中点M,连接EF,EM,FM,因为E,F分别是线段AB, CD的中点，所以EM∥BD,FM∥AC,又FM正a,ACCa, EMB,BDCB,所以FMa,EMB,又aB,所以EMa, 因为EM∩FM=M,所以平面EFM∥a,所以EF∥a,故D 正确.] A E(F) BB 图1 图2 7.M在线段FH上移动.[连接FH,HN,当M在线段FH 上移动时，有MH∥DD',而HN∥BD,所以平面MNH∥平 面B'BDD'.又MNC平面MNH,所以MN/平面B'BDD'.] 83 2 .[如图，取A1C1,B1C1的中点F,G,在AA1上任取 一点E,当E是AA1的中点时，连接FG,PG,PE,EF. E,F分别为AA1,AC1的中点，.EF∥AC1,∴.四边 33 形PEFG∥AC1.F,G分别为A1C1,B1C1的中点， ∴FC/A,B,且FG=AB.在直三棱柱ABC-AB,C 中，AA1BB1且AA1=BB1,E,P分别为AA1,BB1的 中点，则AE∥B1P且A1E=B1P,.四边形A1B1PE 为平行四边形，PE∥A1B1且PE=A1B,.FG∥ PE.AC=BC1=AA=2,.EF=VA E2+AF2 =√B1P2十B1G=PG=√2，∴.截面四边形PEFG是等 腰梯形，符合要求.取PE的中点D,连接DF,DG,FG= 2AB,=E=PE,PG/EP,且点D为PE的中点， ∴FGDE且FG=DE,∴.四边形DEFG为平行四边形， 可得DG=EF=√2，同理可得DF=PG=√2，∴△DEF, △PDG,△DFPG均为等边三角形，S%=3X号× x2X巨-3当E不是M:中点时，EF不平行于 AC1,PE不平行于平面AB1C1,则四边形PEFG不平行于 AG且不是等题梯形综上所述，所求酸面的面积为2.] A E D 第8题图 第9题图 9.(1)如图，连接BD交AC于点O,连接OE 因为点E,O分别为DD1,BD的中点， 所以OE为△BDD1的中位线，所以BD1OE 又OEC平面AEC,BD1￠平面AEC, 故BD1平面AEC. (2)因为AB=2,所以DE=1. 1 又三棱锥DACE的体积为VD-ACE=VEACD=3S△Acm· DE=号×2×2x2x1=号， 所以剩下的几何体的体积=Vm45A-VEm=2一号 =22 3 10.(1)如图，作MP∥AD,交DD1于点P,作NQBC,交DC 于点Q,连接PQ. 34 D A B D N B 由题意得MPNQ,且MP=NQ, 则四边形MNQP为平行四边形，所以MNPQ. 又PQC平面DCC1D1,MN丈平面DCC1D1, 所以MN∥平面DCC,D1, 即对任意a∈(0W2),总有MN伻面DCC1D1. (2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形， 所以MN=PQ. 又已知D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1, 所以AD1=BD=√2， 所b6-光器即DP=-Q后 所以MN=PQ=√(1-D1P)2+DQ √)'+() √。-+o<<. 放当a-号时，MN的长有最小值，为 √2 即当M,N分别为AD1,BD的中点时，MN最短，此时 MN的长为号 培优突破练 1.(1)因为M,N分别是OB,OC的中点，所以MN/BC. 又MN￠平面ABC,BCC平面ABC, 所以MN平面ABC,同理，PN平面ABC. 又MNC平面PMN,PNC平面PMN,MN∩PN=N, 所以平面PMN平面ABC. (2)设圆维的底面圆半径为，则2如号×2x×2,解得，1， 因为B,C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以△ABC为等边三角形， 所以BS0=2r=2,所以BC=3, 房以S号×5×5×9-35。 圆锥的高h=√22-1平=√3， ×3×月- 所以VO-ABC=3X 4 所以VM-ACN=2 wam=×2yeam=o=6 1 即四面体ACMN的体积为6： (③)在线段0B上存在点E,且器-3，使得DE/厚面AC 理由如下： 如图，取AC的中点F,且D是AN的中点，连接DF, 所以DF/CN,2DF=CN. 取CB的四等分点G,使CG=3BG,连接GE,FG. 因为OE=3EB,所以EG/OC,4EG=OC, 所以2EG=CN=2DF,EGDF, 所以四边形DFGE是平行四边形，所以DEFG. 又DE丈平面ABC,FGC平面ABC,所以DE∥平面ABC. 8.6空间直线、平面的垂直 变武训练 [变式1](1)如图1，取AD的中点G,连接GP,GB,因为侧面 PAD为正三角形，G为AD的中点，所以GP⊥AD. 又底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，G为AD 的中点，所以GB⊥AD. 因为GP∩GB=G,GPC平面PGB,GBC平面PGB, 所以AD⊥平面PGB 又PBC平面PGB,所以AD⊥PB. (2)存在棱PC上的中点F,使平面DEF⊥平面ABCD,证 明如下 士通常猜测特殊点的位置为中点或三等分点 方法一因为AD∥BC,AD⊥PB,所以BC⊥PB, 又E,F分别为BC,PC的中点，则EFPB,所以BC⊥EF 又底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，E为BC 的中点，所以DE⊥BC DE∩EF=E,且DEC平面DEF,EFC平面DEF, 所以BC⊥平面DEF. 又BCC平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD. 图 图2 方法二如图2，连接GC,交DE于点O,连接GE,在平行 四边形GECD中，O为GC的中点，在△PGC中，F为PC 的中点，所以FOPG. 又平面PDA⊥平面ABCD,PGC平面PAD,PG⊥AD,平 面PDA∩平面ABCD=AD, 所以PG⊥平面ABCD,所以FO⊥平面ABCD. 又FOC平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD. 基础过关练 1.B2.D3.D 4.C[如图，连接AD,BC,AC,SC.因为O为AB,CD的中 点，且AB=CD,所以四边形ADBC为矩形，所以DB∥AC, 所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆 0的半径为1，则SA=SC=厄.因为∠AOD=于，所以 ∠AD0=牙，在直角△DAC中，CD=2,得AC=3.所以 os∠SAC=W2)2+)2-W2)2=6 2X√2X3 ,所以异面直线 SA与BD所成角的余弦值为.】 A=--- -9B 5.45°.[由题意知平面APB与平面CPD的交线平行于AB. 又因为PA⊥AB,PD⊥AB,所以平面APB和平面CPD所 成二面角的平面角为∠APD.在Rt△APD中，因为AP= AD,所以所求二面角的大小是45°.] 6.DM⊥PC(答案不唯一).[由题意知底面ABCD为菱形， 则AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所 以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,又PCC 平面PAC,所以BD⊥PC.又DM⊥PC,BD∩DM=D,所 以PC⊥平面MBD,又PCC平面PCD,所以平面MBD⊥ 平面PCD.故答案为DM⊥PC(其他满足题意的答案亦可， 如BM⊥PC,OM⊥PC等).] 综合提能练 1.C[如图，将EF平移到BD,B1C平移到A1D,所以过点B 作与异面直线B,C与EF所成的角都是60°的直线，即过点 B作与直线BD与A1D所成的角都是60的直线. 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