8.2 立体图形的直观图-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

8.2立体图 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型1](2025·天津南开中学期末)用斜二测 画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结 论中正确的是(). A.正方形在直观图中仍然是正方形 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.平行的线段在直观图中仍然平行 2.[题型1](2025·安徽芜湖一中期中)如图，已知 图1为甲同学用斜二测画法作出的在平面直 角坐标系中正五边形ABCDE(见图2)的直观 图，即五边形A'B'C'DE',且保持坐标轴上的单 位长度不变，其中各点的作法可能正确的为 (). P OQ' C/D D 图1 图2 A.A',B',P' B.B',P',C C.P',C',D' D.D',E',A' 3.[题型2](2025·湖北武钢三中单元检测)如图 所示，矩形OA'BC是水平放置的一个平面图 形的直观图，其中OA'=3,O'C'=1,则原图形 是(). A A.面积为62的矩形B.面积为的矩形 C面积为62的菱形D.面积为的菱形 4.[题型1]已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为 长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸 一样，长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m, 四棱锥的高为8m.如果按1：500的比例画出 第八章立体几何初步 形的直观图 它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、 高和四棱锥的高应分别为 cm, cm, cm, cm, B综合提能练 ●测试时间：30分钟 1.[题型1们(2025·福建福州三中期中)若用斜二 测画法画一个水平放置的平面图形为如图所示 的正方形，则原来的图形是( ) V 2.[题型2](2025·安徽合肥八 中月考)如图所示，在平面直角 坐标系xOy中，已知点A(2, 0),B(0,4√2)，C(-2,4√2)， 若将四边形OABC水平放置，用斜二测画法画 出它的直观图OA'B'C,则四边形OA'BC的 面积为(). A.4 B.4√2 C.8 D.8√2 3.[题型1]在下列选项中，边长为1的等边三角形 ABC利用斜二测画法得到的直观图不是全等三 角形的一组是( 本 A(BO立OA)B ≥节 4.[题型1]给出下列关于按斜二测画法得到的直 观图的结论，其中正确的个数是( ①角的水平放置的直观图一定是角； 23 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA, ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等； ④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线 段仍然平行 A.0 B.1 C.2 D.3 5.[题型2](2024·江西师大附中月考)如图为水 平放置的三角形的直观图，D'是△A'B'C 中B'C'边上的一点，且D'离C'比D'离B近，又 A'D'∥y'轴，那么原△ABC的AB,AD,AC三 条线段中( B D' A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AD,最短的是AC 6.[题型2]（经典·湖南师大附中竞赛集训）如图， 四边形OABC是上底长为2，下底长为6，底角 为45°的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形 的直观图OA'B'C',则在直观图中，梯形的高为 O D A文 7.[题型2]如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形 OPQR的直观图，若O'P=3,O'R'=1,则原四 边形OPQR的周长为 7Q 8.[题型2]如图所示，△A'BC是水平放置的 △ABC的斜二测直观图，A'B'∥y'轴，BC∥x 轴，A'B'=2,B'C'=3,则在△ABC中，AC= B 24 9.[题型2](2025·江西莲塘一中期中)如图，一个 加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面 部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为 2米 (1)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A'爬到点P,求 它爬过的最短路径的长； (2)将图中正方形ABB'A'水平放置，在由斜二 测画法得到的水平放置的直观图中，求线段 A'B的长 D C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(2025·湖南师大附中竞赛集训)如图所示是水 平放置的三角形的直观图，D是BC的中点，且 AB=BC=2,AB,BC分别与y'轴、x'轴平行， 则△ACD在原图中对应的三角形的面积为 B D 2.(经典·湖北武汉二中竞赛集训)如图所示， △A'B'C表示水平放置的△ABC在斜二测画 法下的直观图，A'B在x轴上，B'C'与x轴垂 直，且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为 X45 O A B,所以∠A0C≈53，所以∠AOD≈106，所以弧AD的长 4 约为8×2x×10-日x(m,U形场地的展开图如图2所 示，连接AB,则从顶端点A滑行到另一顶端点B的最短距 /53 离约为√（）+1202m] 图1 图2 5.1.[如图，设底面ABCD的中心为O1· 正方形ABCD的边长为1,0，A=AC=号 1 在R△00，A中，00，=VOM-0F=√1-() 2S在球0上，且S到底面的距腐为2 4,S在以 OO1的中点O2为圆心的圆上，且圆面与QO1垂直，则SO1= S0=1.] 6.13.[如图所示为圆柱的侧面展示图，作点A关于GF的对 称点A',连接A'B交GF于点E,则此时线段A'B的长即为 蚂蚁需爬行的最短路径的长，过点B作BC⊥AA'于点C,易 知BC=5,A'C=12,故A'B=13.] A IE G A 7.20.[根据题意知，碳60(C0)有60个顶点，有32个面.由 顶点数一棱数十面数=2，可得棱数=60+32一2=90.设正 x+y=32, 五边形有x个，正六边形有y个，则{ 解得 5x+6y=90×2, x=12, 所以其六元环的个数为20.] y=20, 8.2√19.[如图所示，将该半正多面体表面展开，且A,F在 线段DE,BC两侧（两线段在两点之间）.过点A作AT垂直 FE的延长线于点T,连接AF. 由半正多面体的棱长为2，得FT=8,AT=2√3，又AT⊥ FT,故AF=√FT+ATZ=2√I9,所以FM十MN+AN> AF=2/19.] 当点A,N,M,F共线时，等号成立 9.(1)通过观察各几何体，得到表格： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 (2)由特殊到一般，归纳猜想得V十F一E=2. (3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10十7 15=2,与(2)中归纳的数量关系式“V+F一E=2”相符，故 “V+F一E=2”正确。 培优突破练 15 [设Q为点P在底面ABCD上的射影，于是点P到 直线CC,的距离等于点Q到点C的距离，连接DE,注意到 Q在线段DE上，所以点P到直线CC1的距离的最小值等 于直角三角形DCE中斜边DE上的商，其值为PCE- 5 2.如图，不妨设AB是四面体ABCD的六条棱中最长的一条. B 考虑在△ABD,△ABC中，AD+DB>AB,AC+CB>AB, 故AD+DB+AC+CB>2AB, 从而(AD+AC)+(BD+BC)>2AB, 所以AD十AC,BD十BC中至少有一个大于AB. 不妨设AD十AC>AB,则从点A出发的三条棱AB,AD, AC能够组成一个三角形 8.2立体图形的直观图 基础过关练 1.D2.C 25 3.C[由题知∠D'OA'=45°，OC'=CD'=1,所以OD'= √2，故在原图形中，OD=2√2，CD=C'D'=1,OC= √OD2+CD2=√8+I=3,OA=OA'=3,所以四边形 OABC为菱形（如图），则原图形面积S=OA·OD=6√2.] A 方法总结 在平面图形中，原图形面积S愿和直观图面积S立之间 的关系为S1= SaS=2/5x. 4.4;0.5;2;1.6.[由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱 锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,再结合直观图 的画法知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4cm, 0.5cm,2cm,1.6cm.] 综合提能练 1.A[由斜二测画法知，平行于x轴或与x轴重合的线段长 度不变，平行关系不变，平行于y轴或与y轴重合的线段长 度减半，平行关系不变，故A正确.] 2.A[根据题意，四边形OABC的面积为2X4√2=8V2,所 以直观图0ABC的面积为8v2×怎-4.] 3.C[根据斜二测画法的规则，选项A,B,D中等边三角形的 底边AB都没有改变，且对应边与x轴的夹角相等，而三角 形的高都平行于y轴或与y轴重合，因此它们的高相等，故 A,B,D中三组三角形的直观图是全等的.而对于C,画成直 观图之后，第一个三角形和第二个三角形的对应角不相等， 因此两个三角形的直观图不全等.故选C.] 4.C[由斜二测画法的规则可知，直观图保持线段的平行性， ①④正确；而线段的长度、角的大小在直观图中可能会发 生改变，②③错误.] 5.C[由题意得到原△ABC的平面图，如图.其中，AD⊥BC, BD>DC,.AB>AC>AD,.△ABC的AB,AD,AC 三条线段中最长的是AB,最短的是AD.] y C'B' B D C O'DE A 第5题图 第6题图 26 6号.[因为OA=6,CB=2,所以0D=2.又∠C0D=45, 所以CD=2.梯形的直观图如图所示，C'D'=1,在直观图 中，过C作C'E垂直于OA',交OA'于点E',所以梯形的 商Cg=Cpm45-9] 7.10.[由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且 OP=3,OR=2,∴.原四边形OPQR的周长为2X(3+2) =10.] 8.5.[因为A'B'y'轴，B'C∥x轴，所以∠A'B'C=45°，所 以在△ABC中，∠ABC=90°，故△ABC为直角三角形.又 由斜二测画法可得，在△ABC中，AB=4,BC=3,故AC= √42+32=5.] 由两点间线毁最短可得线段 A'P为蚂蚁爬行的最短路径 9(1)将漏斗部分表面展开，如图1所示，连接AP, 过点P作PQ⊥A'A交A'A的延长线于点Q, 则AQ=AP·cos30°=√3，PQ=AP·sin30°=1， 在Rt△A'PQ中，A'P=√AQ+PQ=√(2+√3)2+1= W√8+43=√(W6+√2)2=√6+√2， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（√6+√2）米. A 图1 (2)正方形ABBA'的斜二测画法有以下两种： 如图2，∠A'AB=45°，连接A'B,在△A'AB中，由余弦定理 可得A'B=√AA+AB2-2AA'·AB·cOS∠AAB= √W12+22-2√2=√5-2√2】 A A A 图2 图3 如图3，∠A'AB=135°，连接A'B,在△A'AB中，由余弦定 理可得A'B=√AA+AB2-2AA'·AB·cOs∠A'AB= W/1+22+2W2=W√5+22. 综上所述，A'B=√5-2√2米或√5+2W2米. 培优突破练 1.2.[.D是BC中点，AB=BC=2,且AB,BC分别与 1 y/轴和x'轴平行，小SAc直藏=2X2X2Xsin45°=反. 又S原图=2√2S△ABC直戏图=2√2XW2=4,.△ACD在原 1 三角形的对应三角形的面积=2S图=2.] D的中点位置不攻变 2.6√2.[如图，过C'作C'D'∥y轴，则∠C'D'B=45°.：B C'与x轴垂直，且B'C=3,∴.C'D'=3√2.根据斜二测画 法可知，△ABC的边AB上的高为2C'D'=6√2.] C X45 D'O A B 8.3简单几何体的表面积与体积 变式训练 [变式1]B[号×3×(92+7+9×7)=193(cm).] [变式2]B[设球、正四面体和正方体的体积都为V.若球的 半径为R,则V-音R,可得其表面积S,=R2- 36v,若正四面体的棱长为m,则V=?·4m2.6 3 -侣m,可得m-62V,所以其表面积S=4X9m √3m2=W216√3V2.若正方体的棱长为a,可得V=a3,所以 正方体的表面积S3=6a2=6V?,可得S1<S3<S2,即 S球<S正方体<S正四面体，] 基础过关练 1.A[设底面半径为，母线长为1，则有2r=L,r=2S侧 =.S=+22=+x·0-(1+安动)，所以S Sm=(1+家)2：2=(2x+1D:2元] 2A[因为底面边长为a,所以斜高为号，放5a=3×2a× 号寻。前$9，放S3] 3A[因为半径为6m的球的体积为V=兰x×6,所以小石 子的活动范围的体积V= 4 =4×3rX63=72x(cm), 故A正确.] 小石于的活动范围是一个四分之一球 4号，1.[设圆能的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥 的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h=√3r,母线l=2r. 由题意可知A-2R,所以R-受。所以圆维的体积为Y 合×X户)X5,-,球的体积为-号成 ,所以的=导风催的表面积S=十=8m, =1.] 球的表面积S2=4R2=3m2,所以S, 5.2.[令S球1=4元R2,S球2=4πr2, 由题可知4元R2一4πr2=48π， ① 又2元R+2r=12π， ② ①÷②，得R-r=2.] 综合提能练 1.B[△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，EF∥ AB,∴.侧面ABFE,CDEF是等腰梯形，且两个等腰梯形 全等，易得等腰梯形的高为√3， S元=Sag=分×2+0X5=35. 又：SAc=Sue-X2=月，Sem=4X2=8, .几何体的表面积S=3√5×2+√3×2+8=8+8√3.] 2.C[设球O的半径为R,此时V三棱锥oAc=V三棱维cAOB= ×宁×R×R=R=36,部得R=6放球0的表面积 S=4元R2=144π.] 当OC为三棱锥O-ABC的高时，三棱 锥O-ABC的体积最大 3.BCD [选项正误 原因 A 截角四面体由4个边长为1的正三角形、4个边 长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有 B 8个面，18条棱 边长为1的正三角形的面积S=号×1X1×号 √3 1 ,边长为1的正六边形的面积S=6×2× C 1×13-33故该截角四面体的表面积为S =4x5+4×3y5=7w5 4 2 设棱长为1的正四面体的高为h,则h √P-(号×）-利用等体积法可得该 0 裁角四面体的体积为V-专×号×3×3× 1 1 3 23=12 4.BCD[对于A,依题意，得棱切球的半径为√2，则球O的体 积为膏xX)-8匠，A错误对于B,记球0的内接圆 4 27