8.1 基本立体图形-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

第八章」 立体几何初步 8.1 基本立体图形 A基础过关练 行六面体}，N={x|x为长方体}，Q={x|x为 测试时间：20分钟 正方体)，则这四个集合之间的关系是 1.[知识点2]（多选）下列说法中，不正确的是 B综合提能练 (). ●测试时间：30分钟 A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边 1.[题型2](2025·湖南长沙一中单元检测)以钝 形的几何体一定是棱柱 角三角形的较小边所在直线为轴，其他两边旋转 B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯 一周得到的几何体是(). 形的六面体是棱台 A.两个圆锥拼接而成的组合体 C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的 B.一个圆台 几何体是棱锥 C.一个圆锥 D.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等， D.一个大圆锥挖去一个与其同底的小圆锥 则此棱锥可能是正三棱锥 2.[题型1、2](2025·辽宁沈阳一中单元检测)观 2.[题型1](2025·上海虹口区期中)下列命题中， 察如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说 错误的是(). 法中不正确的是( A.过圆柱的旋转轴的截面是矩形 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 3.[题型2](2025·湖南岳阳一中期中)如图所示 A该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几 的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接 何体 近的表述是(). B.该几何体有12条棱、6个顶点 A.一个六棱柱中挖去一个棱柱 C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形 B.一个六棱柱中挖去一个棱锥 D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其 C.一个六棱柱中挖去一个圆柱 余均为三角形 D.一个六棱柱中挖去一个圆台 4.[题型4]如图，在正方形ABCD中，E,F分别为 3.[题型3](2025·哈工大附中月考)中国有悠久 CD,BC的中点，沿AE,AF,EF将其折成一个 的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信 多面体，则此多面体是 的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝 时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” (图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多 边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对 称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的 5.[题型1](2025·湖北大冶一中单元检测)已知 所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 集合M={xx为正四棱柱}，P={xx为直平 体的棱长为1，则该半正多面体所有面的个数及 20 第八章立体几何初步锥 棱长分别为( 图1 图2 7.[题型3](2025·淅江余姚中学单元检测)如图 A.26,w2-1 B.24,2-√2 所示，碳60(C0)是一种非金属单质，它是由60个 C.26,2-√2 D.24,W2-1 碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其 4.[题型3、4](2025·北京四中月考)单板滑雪的 结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边 U形场地可近似看成圆柱体的一部分（如图）， 形面)组成的封闭的凸多面体（如图），共32个 若一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B 面，且满足：顶点数一棱数十面数=2，则其六元 点，则滑行的最短距离约为注：sin53°≈ 环的个数为 5 sin37°≈ 120m 16m 4m /A 8.[题型4](2025·浙江五校联考)半正多面体亦 称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是以边数 A√)+12wm 不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面 体由4个正三角形和4个正六边形构成，可由正 B+120m 四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中， 若其棱长为2，点M,N分别在线段DE,BC上， c +1202m 则FM+MN+AN的最小值为 D 18 +120m 5.[题型3](2025·江西九江一中单元检测)高为 2的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的 方形，点S,A,B,C,D均在半径为1的同一球 9.[题型2](2025·西北工大附中月考)如图，图① 面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距 是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何 离为 体有如图②③④⑤⑥所示的木块. 6.[题型4](2025·湖北武昌实验中学单元检测) 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高 为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底 部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在 容器外壁离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到 饭粒需爬行的最短路径的长是 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, (1)我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、 C培优突破练 测试时间：10分钟 6个面，请你将图②③④⑤中的木块的顶点 数、棱数、面数填人下表； 1.(经典·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)如图， 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 图号 顶点数 棱数 面数 为BC的中点，点P在线段DE上运动，则点P ① 8 12 6 到直线CC1的距离的最小值为 ② 0 ③ ④ ⑤ (2)观察你填写的表格，归纳上述各木块的顶点 数V、棱数E和面数F之间的关系； 2.(2025·湖南岳阳一中单元测试)证明：一个四面 (3)观察图⑥中正方体的切法，并验证你所得出 体中至少存在一个顶点，使得从该顶点出发的三 的数量关系是否正确. 条棱能够组成一个三角形 228由0可得+号第1+i计28D=1+i计号 (2-i)2 =8+ 所u+-+√层+- 5 17.(1)设之=a+bi(a,b∈R),则由条件|z=√2， 可得a2+b2=2. ① 因为x2=a2-b2+2abi,所以2ab=2. ② 联立①②，解得a=b=1或a=b=-1. 又复数之的实部为正数，所以a>0, 所以a=6=1,于是之=1十i (2)由(1)可知之=1+i, 则子-2=异1+2=1-就 则02=(1，-3)， 所以向量Oz的模为√+(-3)=√10. 18.(1)根据复数为实数的条件求出b,代入化简后求复数模即可： (2)由复数是实系数方程的根代入求出m,再结合象限舍去不合适 的值)》 （0哺=6i为实数牛名牛0骨生+ 1+i(1+D(1-D2 62号为实数。 所以22=06=2，即x=2,2=-4, 所以z+z21=1-4+2i1=25. (2)由(m十之)2=(m+2i)2=m2-4十4mi在复平面内对应 1m2-4>0, 的点在第四象限，得 得m<-2. 4m<0, 又之=2i为实系数方程x2十(m2-9)x十4=0的根， 所以4+2(m2-9)i-4=0, 所以m2-9=0,m=±3. 又m<-2,所以m=-3. 19.(1)由题意知z11=|1-i=√2，z2=|1+2i=5, z1之2=(1-iD(1+2)=3+i, 所以x1之2=√10， (2)猜想之1之2=之1·之2.证明如下： 因为z1=√a2+b,x2=Wc2+d2, 所以z1·|z2=√a2+b·√c2+d =va2c2+a2d2+62c2462d2 因为z1x2=(a+bi)(c十di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, 所以|x1x1|=√(ac-bd)2+(ad+bc) 24 =va'c2+ad2+b2c2+bd2, 所以|z1之2=|之1·|之2成立 =|z11·之2|·…·|zn. 第八章 立体几何初步 8.1基本立体图形 基础过关练 1.ABC 2.B 3.C 4.三棱锥（也可填四面体）.[此多面体由四个面构成，故为三 棱锥，也是四面体.] 5.QMNP.[直平行六面体是底面为平行四边形，侧 棱与底面垂直的四棱柱；长方体是底面为矩形的直平行六面 体；正四棱柱是底面为正方形的直平行六面体；正方体是侧棱 长和底面边长相等的正四棱柱.分析可知Q丢M丢N丢P.] 综合提能练 1.D[如图，以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体是一 个大圆锥挖去一个与其同底的小圆锥.] 2.D[该几何体可用平面ABCD分割成两个四棱锥，因此它 是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个 截面而不是它的面.] 3.A[可以将该半正多面体分为三层，上层8个面，中层8个 面，下层8个面，上下底各1个面，所以共有8+8+8+1+1 =26个面.设半正多面体的棱长为a,作出该几何体的截面 载面图为正八边形 如图，由图可得CD-2,CE=a,因为△CDE为等腰直角 三角形，所以CE=-ECD,即a=E×2,解得a= 1 2+1 =√2一1，所以该半正多面体的棱长为2-1.] B C --D --G 4.A[设圆柱的底面半径为rm,U形场地截面图如图1所示， 设圆心为O,过点O作OC⊥AD于点C,则在Rt△ACO中， -402+(9)°=r,解得r=10,所以sn∠A0C=8= ,所以∠A0C≈53，所以∠AOD≈106，所以弧AD的长 4 约为8×2x×10-日x(m,U形场地的展开图如图2所 示，连接AB,则从顶端点A滑行到另一顶端点B的最短距 /53 离约为√（）+1202m] 图1 图2 5.1.[如图，设底面ABCD的中心为O1· 正方形ABCD的边长为1,0，A=AC=号 1 在R△00，A中，00，=VOM-0F=√1-() 2S在球0上，且S到底面的距腐为2 4,S在以 OO1的中点O2为圆心的圆上，且圆面与QO1垂直，则SO1= S0=1.] 6.13.[如图所示为圆柱的侧面展示图，作点A关于GF的对 称点A',连接A'B交GF于点E,则此时线段A'B的长即为 蚂蚁需爬行的最短路径的长，过点B作BC⊥AA'于点C,易 知BC=5,A'C=12,故A'B=13.] A IE G A 7.20.[根据题意知，碳60(C0)有60个顶点，有32个面.由 顶点数一棱数十面数=2，可得棱数=60+32一2=90.设正 x+y=32, 五边形有x个，正六边形有y个，则{ 解得 5x+6y=90×2, x=12, 所以其六元环的个数为20.] y=20, 8.2√19.[如图所示，将该半正多面体表面展开，且A,F在 线段DE,BC两侧（两线段在两点之间）.过点A作AT垂直 FE的延长线于点T,连接AF. 由半正多面体的棱长为2，得FT=8,AT=2√3，又AT⊥ FT,故AF=√FT+ATZ=2√I9,所以FM十MN+AN> AF=2/19.] 当点A,N,M,F共线时，等号成立 9.(1)通过观察各几何体，得到表格： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 (2)由特殊到一般，归纳猜想得V十F一E=2. (3)该木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10十7 15=2,与(2)中归纳的数量关系式“V+F一E=2”相符，故 “V+F一E=2”正确。 培优突破练 15 [设Q为点P在底面ABCD上的射影，于是点P到 直线CC,的距离等于点Q到点C的距离，连接DE,注意到 Q在线段DE上，所以点P到直线CC1的距离的最小值等 于直角三角形DCE中斜边DE上的商，其值为PCE- 5 2.如图，不妨设AB是四面体ABCD的六条棱中最长的一条. B 考虑在△ABD,△ABC中，AD+DB>AB,AC+CB>AB, 故AD+DB+AC+CB>2AB, 从而(AD+AC)+(BD+BC)>2AB, 所以AD十AC,BD十BC中至少有一个大于AB. 不妨设AD十AC>AB,则从点A出发的三条棱AB,AD, AC能够组成一个三角形 8.2立体图形的直观图 基础过关练 1.D2.C 25