7.1 复数的概念&7.2 复数的四则运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

第七章 7.1复 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[题型1](2025·浙江温州中学单元检测)已知 复数之满足之=i十2，则之的虚部为(). A.-2 B.i C.1 D.2 2.[题型1](2025·浙江杭州二中单元检测)下列 命题中，真命题的个数是(). ①纯虚数小于0；②两个复数相等的一个必要条 件是它们的实部相等；③若x2十y2=0,则x=y =0. A.0 B.1 C.2 D.3 3.[题型2]已知复数之的实部和虚部均为自然数， 在复平面内之对应的点为Z.那么满足2≤之≤ 3的点Z的个数为(). A.5 B.6 C.7 D.8 4.[题型2](2025·华南师大附中月考)在复平面 内，向量AB对应的复数是2十i,向量CB对应的 复数是1一3i,则向量CA对应的复数是(). A.1-2i B.-1+2i C.-1-4i D.3+4i 5[题型3]复数之满足=1：+3i,则：= 6.[题型3](2025·河北廊坊一中月考)设z=x十 yi(x,y∈R),则满足条件2<|之|<3的点 Z(x,y)构成的图形的面积为 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型2](2025·福建福州十八中期中)已知a> 0,b>0,复数x1=1-2i,2=a-i,z3=-b在 复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,若Z1, 乙，Z,三点共线，则日十号的最小值为( A.9 B.8 C.6 D.4 2.[题型2、3]设复数之1，之2在复平面内对应的点 分别为Z1,Z2,之1|=2，x2=3i,则Z1,Z2两点 之间距离的最大值为(). 14 复数 数的概念 A.1 B.3 C.5 D.7 3.[题型2、3](2025·辽宁沈阳二中月考)若复数之 在复平面内对应的点在第二象限，|之|=5，之在 复平面内对应的点在函数y=兰x的图象上，则 4.[题型2](2025·湖北黄冈中学月考)在复平面 内，已知O为坐标原点，点Z1,Z2分别对应复数 之1=4+3i,之2=2a-3i(a∈R),若OZ1⊥Oz2,则 a= 5.[题型2、3](2025·陕西西安铁一中月考)在复 平面内，若复数之对应的点在直线y=2x上，且 |z|=√5，则复数x= 6.[题型1、4](2025·四川成都七中月考)复数之1， 之2满足z1=m十(4-m2)i,之2=2c0s0+(入+ 3sin0)i(m,λ，0∈R),且之1=之2，则入的取值范 围是 7.[题型2、4]已知复平面内点A,B对应的复数分 别是z1=sin0+i,之2=-cos20+icos20,其中 0∈(0,2π)，设AB对应的复数为z. (1)求复数； (②)若复数x对应的点P在直线y-x上，求 0的值. C培优突破练 ●测试时间：10分钟 1.已知复数之1，之2满足之1|=之2|=1（之1≠之2）， |z十1十i+|之-1-il=23(k=1,2),求 之122. 7.2复数 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型2](2025·浙江杭州二中单元检测)已知 复数之=(4+i)(1一i),则川z=(). A.5 B.5 C.34 D.√34 2.[知识点1](2025·鄂东南高三联考)A,B分别 是复数之1，之2在复平面内对应的点，O是坐标原 点.若引z1+之2|=|x1一之21，则△AOB一定为 (). A等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 3.[知识点4](2025·湖北武昌实验中学月考)复 数=1十2 1一(1为虚数单位)在复平面内对应的 点位于(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2+i 4.[题型2](2023全国乙卷)设x=1十十，则 x=( A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 5.[题型1](2025·浙江金华一中期中)已知复数 z1,22满足|之1=之2=z1十之2=4，则|之1 z2= 6[题型1、3](2024·湖北襄阳五中月考)设x,y 为实数，且吾十产-户则x+y= y 5 ,lx+yil= B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型1]若之1，之2为复数，则“之1十之2是实数”是 “之1，之2互为共轭复数”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第七章复数 的四则运算 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[题型2](2024·九省联考)（多选）已知复数之， 心均不为0，则(). A.z2=x|2 之2 B是品 C.x一0=z-0 -周 3.[题型4幻(2024·浙江慈溪中学单元检测)著名 的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于 1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三 角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点 的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费 马点.已知对于每个给定的三角形都存在唯一的 费马点，当△ABC的三个内角均小于120时，使 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即 为费马点.根据以上材料，若z∈C,则|z一2+ |+2+|之+2训的最小值为(). A.2√5-2 B.2√5+2 C.√5-1 D.3+1 4.[题型1、2]（多选）已知复数之1=a十bi,复数之2= cos0+isin0,其中0，a,b为实数，i为虚数单位. 定义：复数之=z1之2=f(0)十g(0)i为“目标复 数”，其中f(0)和g(0)分别为“目标复数”的实 部和虚部.则下列结论正确的是(). A.g(0)=asin 0+bcos 0 B.f(0)=acos 0++bsin 0 C.若f(0)=2sin(答-0)，则a=1,6=3 D.若a=1,b=√3，且g(0)=2,则锐角0的值 为晋 15 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 5.[题型2]已知之=，则之十十5十…十 2 之2025的值为(). A.i B √2 C.1+i D.1-i 6.[题型2、3]已知复数之1，之2是关于x的方程x2 一6x十10=0的两个根，则|之1十2z2|= 7.在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数 分别为告昌，一2十i0,则第四个顶点对应的复 数为 8.[题型1、3、4](2025·广东深圳中学月考)在 ①。，<0，②复平面内表示1的点在直线工 十y+2=0上，③z2十22=-2这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问 16 题：已知复数z1=1+i,x2=a十2i(a∈R), 一若对+保致：和 C培优突破练 ●测试时间：10分钟 1.(2024·湖北八校联考)已知复数之满 足是纯避数，则1g+十3引的最 小值为 2.(2025·全国高中数学联赛)已知虚数 之1，之2满足|之1一之2=3，之1十之1十q =0,22十之2十q=0,则实数q=则BD=合DC=21+B, 故△ABC的面积为S AABC=SAADC十S△ADB =2AD·DC·sn∠ADC+2AD·DB·sn∠ADB -日×2x1+)x9+号×2x×号 _9+33 4 (2)设BD=m(m>0),则CD=2m, 在△ABD中，由余弦定理得 AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2, 在△ACD中，由余弦定理得 AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m, 则AC=4m2+4-4m_4(n2+4+2m)-121+m） AB2-m2+4+2m m2+4+2m =4 12(1+m) 4 12(1+m) m2+4+2m (m+1)2+3 12 =4 (m+1)+ 3· m+1 3 因为(m十1) m+7≥2√m+)·m7=2v5,当且 3 上基本不等式 当m+1= 一m十，即m-3-1时取等号， 故4 12 3—≥4—2—4—2/3， (m+1)+ 2W3 m十1 Aca AC AB取最小值时，C取最小值，此时m=3-1, 即BD=√3-1. 思维过程 (1)已知△ADC中的∠ADC,∠ACD及AD的长度， 可先求出∠DAC=75°，再利用正弦定理得DC的长度，然 后根据，点D是BC上的三等分点及三角形的面积公式求出 △ADC和△ADB的面积和，即△ABC的面积. (2)设BD=m,则CD=2m,分别在△ABD和△ACD 中利用余弦定理求出AB2,AC2关于m的表达式，从而整 理出4c? AB24、 12 m+Dt三，利用基本不等式即可求出 的最小金，格后得到品的最小值，同时可得取最小值 AC 时BD的长度， 19.(1)由题意知BE=BQ=√12+2=√5， AE 则cos∠ABQ=cos(90°+∠ABE)=-sin∠ABE=一BE 1 5 在△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2-2AB·BQcos∠ABQ= 4+5+4=13,所以AQ=13. (2)在△ABE中，BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos0= 5-4cos0,所以BE=BQ=√/5-4cos0. AE BE 在△ABE中，sin∠ABE sin 0' 所以sin∠ABE= sin √5-4cos01 在△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2-2AB·BQcos(90°+ ∠ABE)=4+5-4cos0+4V5-4o0·754o80 sin 0 4√2sin(0-45)+9, 所以，当0=135时，AQ取得最大值，为√/4W2+9=1+2√2. 第七章复数 7.1复数的概念 变式孤练 [变式1门由复数的几何意义知|x|=1表示复数之对应的点Z 的轨迹是以(0,0)为圆心，1为半径的圆（如图）. 因而引之一(3十4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4) 的距离的最大值与最小值.由图易知， |z-(3+4i)|mx=|AC1=1OC1+1=√32+4+1=6， |之-(3+4i)|mm=|BC1=|OC1-1=√32+4-1=4. /C(3,4) 基础过关练 1.C[因为之=-2十i,所以之的虚部为1.] 2.B[纯虚数是复数，不是实数，不能比较大小，故①错误；两 复数相等时，实部一定相等，但实部相等时，复数不一定相 等，故②正确；若x,y∈R,且x2十y2=0,则x=y=0,故 ③错误.故B正确.] 3.C[设x=a十bi,a,b∈N,2≤|x≤3，即4≤a2+b2≤9.当 a=0时，b=2或b=3;当a=1时，b=2;当a=2时，b=0, b=1或b=2;当a=3时，b=0.综上所述，共有7个点满足 条件.故C正确.] 19 4.C[由题意可得A=(2,1),CB=(1,-3),所以CA= CB+BA=CB-AB=(-1,-4),所以CA对应的复数是 -1-4i.] 5.√3-3i[设x=a十bi(a,b∈R),则z=a-bi,|z|= Va+6,又云=212+3i,所以a-bi=2a+6+3i, 所以 a=va+ 解得， 所以之=√3-3i.] -b=3, b=-3, 6.5π.[满足条件2<之<3的点Z(x,y)的集合是以原点 为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包 括圆环的边界，其面积为π(32一22)=5π.] 综合提能练 1.B[由题意得Z1(1,-2),Z2(a,-1),Z3(-b,0),所以 Z1Z2=(a-1,1),Z1Z3=(-b-1,2),所以2(a-1)-（-b 1》0,化简可得2a+6=1.又a>0,6>0,所以日+号- 乙1，Z2,Z3三点共线 2a+(信+号)=4+8+光≥4+2层·号=8，当 且仅当会一行，即a=子6=时等号成立放B正确] 2.C[设x1=a十bi(a,b∈R),因为|之1|=2，所以a2+b2=4, 因为复数之1，之2在复平面内对应的点分别为乙1，Z2,之2=3i, 所以Z1(a,b),Z2(0,3),所以|Z1Z2|=√(a-0)2+(b-3) =√13-66.又-2≤b≤2，所以，当b=-2时，|Z1Z2|取得 最大值√/13十12=5.] 3.一3+4i.[由题意设乏=3t+4ti(t∈R),则之=3t-4ti.因 为z=5,所以9t2+16t2=25,所以t2=1.又之在复平面内 对应的点在第二象限，所以t<0,所以t=一1，所以之=一3 +4i] 4号因为=4十3，=2a-a∈R0,所以0成-4,3， 02。=(2a,-3.因为02102，所以8a=9,即a=8] 5.1+2i或-1一2i.[依题意可设复数之=a十2ai(a∈R),由 |z|=√5得√a2+4a2=√5，解得a=±1，故x=1+2i或x =-1-2i.] 6[67小=a, (m=2cos 0, 4-m2=λ+3sin9, 4r0-x+8m0,a-4(如g-）广品 注意-1≤sin0≤1 ∴当sm0=号时，以取得最小值，最小值为一当s血日 9 20 一1时，λ取得最大值，最大值为7. 一最<A<7,即入的取值范围是[-品，]门 7.(1)由题意可知之=z2-之1=-cos20+icos20-sin20-i= -cos20-sin20+i(cos20-1)=-1-2isin20. (2)点P的坐标为(-1，一2sin0), :点P在直线)-之x上，4-2sim0=- 1 .1 sin0=4,sin0=±2 又0e02w,0=音警吾，5 培优突破练 1.设z1=cosa十isina,之2=cosB+-isin B,则 v(cos a+1)2+(sin a+1)2+(cos a-1)2+(sin a-1)2 =2√3， 整理可得v3+2(cosa十sina)十√3-2(cosa十sina)=2,√3， 解得sina十cosa=0. 同理可得sinB十cosB=0.因为z1≠x2, 所以不纺令。=+2x-经+2：∈2 4 而z1之2=cos(a+B)+isin(a+B), 所以z1z2=i 7.2复数的四则运算 基励过关练 1.D[因为之=(4+i)(1-i)=5-3i,所以|之|= √52+(-3)7=√34.] 2.B[根据复数加、减法的几何意义及z1十z2=|之1一z2, 知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此 平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.故选B.] 归纳总结 在复平面内，设复数之1，之2对应的点分别为A,B,之1十 22对应的，点为C,O为坐标原，点.则有以下几个常见结论： (1)四边形OACB为平行四边形； (2)若|z1十之2=|21一之2，则四边形OACB为矩形； (3)若|之1=|之2，则四边形OACB为菱形； (4)若|之1=之2，且|z1十之2=|之1一之2，则四边形 OACB为正方形； (5)利用三角形三边的大小关系可得|川之11一|x2川≤ |21+z2|≤|z1|+之2. 3.D[(复数除法的本质是“分母实数化”，做法是分于分母同时乘分 号的共能夷数，然后化葡为a十6ia,bER)的形式)：之=1十2- 1-i 音-得智-3号-名-÷复数：在复平 面内对应的点的坐标是（受，号），位于第四象限故选D] 4B[平=-1，的=i()2=i,六x=1++带1-1中 2+i 2+i =2+i-1-2i,2=1+21] 复数的平行四边形法则 5.43.[1之1-之212+|z1十之212=2(z2+z22)将已知 条件代入上述公式中，得引x1一x212+42=2×(42+42),则 |x1-z212=48,即|z1-z2=43.] ®v质，因为后+片0D火0-（受+》 2 5 +(告+）儿a00-+所以号+号 名且受+号=号，解得x=-1y=5所以x+y=, |x+yi=|-1+5i=√(-1)2+5-√26.] 综合提能练 1.B[由题意，不妨设x1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R), 则之1十z2=a十bi十c十di=(a十c)十(b十d)i若之1十z2是 实数，则b十d=0,即b=一d.由于a,c不一定相等，故之1， 之2不一定互为共轭复数，故充分性不成立.若之1，之2互为共 轭复数，则之2=a一bi,故之1十之2=2a∈R,必要性成立.因此 “z1十之2是实数”是“之1，之2互为共轭复数”的必要不充分 条件.] 2.BCD[设x=a+bi,w=c+di,a,b,c,d∈R. 对于A,z2=(a十bi)2=a2-b2+2abi,x12=(√a2+6)2= a2+b2,故x2≠|z|2,故A错误； 对于B音名又·g=水所以号品放B正确： 对于C,x-w=a+bi-c一di=a一c+(b-d)i, 则x-=a一c一(b一d)i,又因为z=a一bi,0=c一di,所 以乏一=a一c一(b一d)i,所以x一=乏一而，故C正确； 对于+-名+ (a+bi)(c-di) ac+bd-(ad-bc)i c2+d2 √+)+T a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 (c2+d2)2 _Va'c+bd2+ad2+62c2 c2+d2 |z=a2+bVa+b.√c2+d Vc2+d2 c2+d2 =√a2c2+bc2+a2d2+6d c2+d2 故品=品故D正确] 3.B[设x=x+yi(x,y∈R),则|z-2|+|z+2|+|z+2i 表示点Z(x,y)到△ABC三个顶点A(2,0),B(-2,0), C(0,一2)的距离之和.依题意结合对称性可知，△ABC的费 马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB=120°，则∠PAO= ∠PB0=30,如图，此时1PA+|PB|+|PC=cos30× 2+(2-2tan30)=2W3+2.] Ay B 4.ACD 选项正误 原因 A z=z12=(a+bi)(cos 6++isin 0)=acos 0- bsin 0(asin 0+bcos 0)i,f(0)=acos 0- B bsin 0,g(0)=asin 0+bcos 0 若f(0)=acos0-bsin0=cos0-√3sin0,则 C a=1,b=√3 若a=1,b=√3，且g(0)=2,则g(0)=sin0+ 0 5cos0=2,即2m(0+5）=2,即m(0+5) =1.因为0为锐角，所以0+号=受，故0= 6 7 5.B[由题意，z2= (园》-i则+e+父+中四 =x(1十z2+x4+…+x2024)=之[1十x2+(z2)2+…+ (z2)112]=x[1+(-i)+(-1)+i计1+…+(-i)+(-1)+ *层 6.√82.[因为复数之1，之2是关于x的方程x2-6x十10=0 的两个根，所以工=6±V一6一01=3士i,所以1十 2 2x2=|9+i=√82或|x1+2z2|=|9-i=√82.] 21 7.-1+3i. 3+i一3+D1+)_24-1+2i设复数x1一 1-i-(1-D(1+D2 1十2i,之2=一2十i,x3=0,它们在复平面内对应的点分别是 A,B,C..A(1,2),B(-2,1),C(0,0),.BC=√5，AC =√5，AB=√10，即BC2+AC2=AB2,∴.∠BCA=90° 设正方形ACBD的第四个顶点D对应的坐标是(x,y), AD=CB,.(x-1,y-2)=(-2,1),.x-1=-2, y一2=1，∴x=-1,y=3..第四个顶点对应的复数为 -1+3i.] 8.方案一选条件① 因为x1=1十i, 所以之=1+1+(a+D-a-1+(a+1)i a-ia-i(a-i)(a+i) a2+1 。<0,所以 -1<0, 解得a=-1, +1=0, 所以之2=一1十21 只有实数才能比较大小 由=1+1-十2 之21之2之122 得之= 2-3十i2+i, 之1十z2 3i 从雨1=√()+=， 3 方案二选条件②. 因为之1=1十i,之2=a十2i, 所以1z2=(1+i)(a+2i)=a-2+(a+2)i, 则在复平面内表示x1z2的点的坐标为(a一2，a十2). 依题意可知(a一2)十(a十2)十2=0，得a=一1， 所以之2=-1十2i, 由-1+1=十2 之之1之221之2 得之一之1之2一二3十1-1十i, 之1十之2 3i 从面1√侣》+-零. 31 方案三选条件③. 因为x2=a十2i,所以z2=a-2i, 由之2十z2=2a=-2,得a=-1, 所以之2=-1十2i. 好+ 得12一一3十1-3+， x1十x2 3i 从✉√+= 3 2 培优突破练 1.33 3 设=a+i则品计 因为号为纯虚数，所以a+6=1650. 所以a2=1-b2,所以-1<a<1. 所以|z2+之+3|=|a2-b2+2abi+a十bi+3引 =|a2-b2+a+3+(2ab+b)il =√(a2-b2+a+3)2+b2(2a+1)2 =√12a2+8a+5 V12(a+）》+g. 放当a=弓时，2+十3取得最小值，最小值为图] 2.1.[由之1一之2=3，知之1≠之2，又由方程解的定义知， 之1，之2是二次方程x2十x十q=0的两个虚根，则有△=1一 4g<0,解方程得12=一1±，49.所以1一4= 2 √/4g-1=√3，解得g=1.] 第七章单元学能测评 1.D2.B3.C4.B5.A 6.D[因为1一i是关于x的方程x2+px十q=0的一个根， 所以(1-i)2+p(1-i)十q=0,即p十q-(p十2)i=0.所以 p十q=0且p+2=0,解得p=-2,9=2,所以p一q=-4.] 7.D[对于A,e=osx+isin元=-1，A错误.对于B,由e =Q心登+im骨=号+会1其虑都为停，B错误对于C, e交-子十血子-号+号则复数。于在复平面内对 应的点（停号）位于第一象限，C错误对于D,1e-61- cosisin-cos 0-isin icos -isin 1(1-sin0)i-cos0l=√cos20+(1-sin0)7=√2-2sin0≤ 2,当9=-受+2kx∈☑时取等号，D正确] 8.B[由题意得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则BA=(-1,1), BC=(3,2,所以BD=BA+BC=(2,3),所以BD1=BD =√22+32=√/13.] 严名1，它名不可能物为实数 9.BD[对于A,因为b>d,所以不能比较大小，故A错误.对 于B,若m2一3m+2+(m2-1)i(m∈R)为纯虚数，则