6.4 平面向量的应用&专题2 解三角形中的定理-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

点P为中位线MN上靠近点N的三等分点，所以 S△ABP 快解：由“奔驰定理"得SAP： MC=2,故B错误.SAe:S0Pw-1:23,所以 1 2 SAABC S△ABC:S△PAB=6:3=2:1 N 图1 设BC的中点为H,则Ai=2(+A心)，结合题设得丽 -市-Ai-市应+⊙=应 ABIcos B ACI cos C 所以市成店成+交成-武+成 IABIcos B ACIcos C O,所以HPBC,又BC的中点为H,所以点P在BC的垂 直平分线上，所以动点P的轨迹经过△ABC的外心，故C 正确.如图2，设BG的中点为O. 图2 因为PA·PC=0,所以点P的轨迹为以AC为直径的圆， 连接BP,PO,则PE·PF=(BE-BP)·(BF-BP)= (2BA-)·(2BC-)=(2BG+2cA-): (2BG-2GA-BP)=(Bd+2GA-B)·(Bò 2ci-P)=(Pò+2)·(p0-2G)=P0 快解：连接EF(图略)，易知DF=1,且O为EF的中点，则由极化 恒等式可直接得到P庐.P序=Pd:-成=PO:- ,故当P0为直径，即PO=2时，P它·P市有最大值 1 4子只放D正确] 9.(1).c=4,b=5,a=6, co8∠BAC=62+c2-a' 2bc 8>0,A是锐角， 六sim∠BAC=V1-cos∠BAC=3W7 8 由等面积法得弓AD·BC=csn∠BAC, 则AD=csin∠BAC_4X5X3W7_57 6 84 (2)连接AI并延长，交BC于点E,连接BI(图略) 根据角平分线定理可知，是器=号，即成-式， 则A正-A店=号AC-A,A店=号AB+号AC 又在△ABE中，BI平分∠ABE, 根据角平分线定理可知，验-=1一之 =2 ∴Ai=花=（得Ai+号Ad)=号+Ad 连接OH,AG,AD(图略). G,O,H三点共线，OH1=30G1,∴.Oi=30G. 又AG-号×2蓝+aG)=号+ad, 故由欧拉线定理知，Ai-=A0+Oi=A0+3O亡=Aò+ 3(OA+AG)=-2A0+3AG=-2AO+AB+AC, :Ai.Ai=[-2Aò+(AB+AC]·Ai=-2Aò.Ai+ (AB+AC)·Ai, 而d.i-0(信+刻=号×号1+酷× 号Aac41-日×8+鼎×空=6， A店.AC=·Aeas∠BAC=4X5X日-号 +Ad·i=(A+AC·(号A+A) =+心+. 3×2-2 -号×16+号×25 ×5=27 i成=-x6+号=是 6.4平面向量的应用 变武孤练 [变式门BC[由正弦定理得AB所以s血B如A, 1 对选项A,sinB=sinA=72=1,则B=牙，只有一● 解，故A错误，对选项B,迎B6sin小-一2=多， a 30 a>b,则只有一解，故B正确.对选项C,sinB=bsinA- a 6×漫5 >1,则无解，故C正确.对选项D,sinB= √3 2 bsin A 9×2321,则无解，故D;误 a 6 41 9 [变式2]ABC[对于选项A,当k=5时，sinA-sinB_ 5 3 C,根据正弦定理不妨设a=5,6=3,c=4,a2=8+c, 故△ABC是直角三角形.对于选项B,当k=3时，inA 3 当B血C根据正弦定理不纺设a=3,6=3,(=,显然 3 △ABC是等腰三角形，且c为最大角，a2+b2一c2=9+9一 16=2>0,说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形.对于选 项C,当=2时，如A如B血，根据正弦定理不纺 2 3 设a=2,b=3,c=4,可得a2+b2-c2=4+9-16=-3<0, 说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形.对于选项D,当 k=1时，sin4-sinB_sin 1 3 4,根据正弦定理不妨设a=1, b=3,c=4,此时a十b=c,不能构成三角形，故结论错误.] 基础过关练 1.D 2.BCD[在等腰梯形ABCD中，点P不为BD的中点，故BP 与P方不可能相等，故A错误：由A泸=号A+号Ad,得 }(A-A)=子(AD-A的)，即为B成=2PD,故P为线 段BD上靠近D的三等分点，又P为等腰梯形ABCD对角 线AC与BD的交点，则△DCP∽△BAP,且DC:AB=1:2, 所以AB=-2CD,即AB+2CD=0,故C正确；设AB=4, 则CD=2,又∠DAB=60°，如图，过点C,D向AB作垂线， 垂足分别为N,M,则AM=1,可求得AD=2,则DM= V√AD2-A=√3，BD=√D+B=√3+3=2√3， 所以BD2+AD2=AB2,故AD⊥DB,即AD·DB=0,故 B正确：AC+D丽-A泸+号P店-是A店，AC-AD DC,所以(AC+DB)AC-AD),故D正确.] D 归纳总结 解决向量问题常用的方法 (1)定义法：利用定义求解是解决相关问题的最基本的 方法，对向量来说，知道了“模”和“夹角”，内积就知道了. (2)基底法：利用平面向量基本定理，将所求的两个向 量转化到题中已知的两个不共线向量来求解 3.B[在△ABC中，simA-$inB+2a一2b=0,则由正弦定 c 10 理可得smA-血B)+2CAC血BD=(+品2)· sin C (sinA-sinB)=0.因为A,B,C∈(0，x),所以sinC>0,可 得sinC+1≠0，所以sinA=sinB,则有a=b,则△ABG一 定为等腰三角形.] 41.[由A十C=2B知B=子，由正弦定理知siA- b 又a<6,因此A=吾故C=受smC=1.] asin B 1 5206 3 [如图，A为折断点，AO为树桩，B为树尖着地点， 则∠A=60°，A0=20sin45°_20 sin60° 3m.] A 20 综合提能练 1.A[如图，O是△ABC的垂心，延长CO,BO,AO分别交边 AB,AC,BC于点P,M,N,则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC, ∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC,因此= 2OC·BP S.C.AP BP_OPtan∠BOP_tan∠BAC AP OPtan/AOP tan/ABC,同理可以得到，S tan∠BAC an∠ACB于是得iam∠BAC:tam∠ABC:tan∠ACB= s,:s,:S.因为ai+20店+3元-0，所以0元=-号ai- O成.由奔驰定理"得S10i+5。·0成+S,·0心=0， 则0心-冬，0i受0成又a与0成不共线，所以 令号令-号，即S:SS=12:8所以m∠C tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.] M B N 2.B[在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB· AC·cos∠BAC=37,所以BC=√37，在△ABC中，由余 弦定理得cosB=AB十三1137.又2BE- 2XABXBC BC所以BE=在△ABE中，由余孩定理得AE- AB+BE-2AB,BE·asB=16+智-2X4XX 11/3749 74 -得，所以AE=子J 3.ABC[:√3(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2 bsin B, ∴.由正弦定理可得√3(sin∠CAB·cos∠ACB+sin∠ACB· cos∠CAB)=2sin2B,∴.√3sin(∠CAB+∠ACB)= 2sin2B,∴√3sinB=2sin2B.又，'sinB≠0，，∴.sinB= :∠CB-骨，B∈(6，)，B-青 “∠ACB=元-∠CAB-B=令，因此A,B正确，四边形 ABCD的面积等于S十Sa-9AC+号AD·DC: Sn∠ADC-(AD+DC-2AD·DC·os∠ADC)+ 台AD,DC·sm∠ADC-5X(9+1-6s∠ADC)+ 合×8X1:m∠A0-59+am(A0爱)<89+ 3,当且仅当∠ADC-号=受，即∠ADC-爱时，等号成立， 因此C正确，D错误.] 4.B[如图，过点C作直线AB的垂线，垂足为D.由题意得 AB=300×品-10(km.∠ACB=80,因为n ZACB AB m∠BAc所以Bc=AB·二S-1D2(km.又 BC sm7万°=n45+30-5+2,所以CD=BC·sm∠CBD= 4 10/2×5+2-5(/5+1）≈13.66(km.故山顶的海拔约 4 为19-13.66≈5.3(km.] A B D 45° 7.5 5.ABD[对于A,B选项，当sinA十sinB=sinC时，由正弦 c2 c2 定理可得a2十b2= inC,即sinC-a+,因为0<C<, c2 所以0<sinC≤1，所以0<a+b≤1，即0<c≤a2+b, 得a2+b2=c2≥0，所以cosC=26bC≥0，则0<C≤ 受，无法判△ABC的形状，故A,B错误.对于C,D选项，当 sinA+sin2B+sinC=2时，由sinC+cos2C=l,得sinA+ sinB+sin2C=2(sin2C+cos2C),整理得sin2A+sinB一 sinC=2cosC,由正弦定理得2+b2-c2 (2R)2 =2cos2C,由余弦 、R是△ABC外接国的半径 定理得2 bcos C.=2cosC,所以由正弦定理得sin Asin B· (2R)2 cosC=cosC,整理得cosC(cosC一sin Asin B)=0,解得 C=2或sin Asin B=-cosC=-cos(A+B),即cosAcos B=- 0,解得A=受或B=受，所以△ABC为直角三角形，故 C正确，D错误.] 3 6号.[由正弦定理得sin AcosC+-sin Csin AosA=了snC, A+B+C=π，.sinAcos C.+-sin Csin Acos A=sinA· (sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin (A++C)=sin Asin B= sin C.BE (0.cos B5,sin B-v5 1 5, :号血A=号如C.由正弦定理得5。-}c, .1 a=3c,a=5。 3c. 由余弦定理得6=a2+2-2 ac B=号e2+e-专 3 号-2解得c-3,ia-5,∴Sa习ar血B 1 日×w5x8x9-是] 7.(2,2√2).[在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，由余弦定理 得4=2+x2-20x×号，即e2-反cx+x2-4=0.因为符 合条件的三角形有两个，所以关于c的方程有两个正根，所 [4=2x2-4(x2-4)>0, 以3x2-4>0, 解得2<x<2√2.] W2x>0, 8.(10000√5+25000)m2.[在△OAB中，因为∠AOB=0, OB=100,OA=200,所以AB2=OB2+OA2-2OB·OAcos0, 即AB=100√5-4cOS0,所以S四边形OACB=S△0AB十S△ABC 20A·0Bsn0+2AB=100(sm0-2os0+号. 令m9=2,则Sn0a=1o5sn(0-gp+]≤ 10心5+)，所以直接监测覆盖区域”面积的最大值为 11 (10000√5+25000)m2.] 91)因为6+c2-a cos A =2,由余弦定理得26c0A=2, cos A 所以bc=1. (2)由正弦定理得sin Acos B-sin BeosA_sinB sin Acos B-sin Bcos A sin C=1, sin Acos B-sin Bcos A-sin B=sin Acos B+sin Bcos A, 化简得2 sin Bcos A=-sinB. 因为A,B∈(0，π)，所以sinB≠0， 则osA=-,放如A- 21 则5-女血A-只 1 10.(1)若选①，由题意结合sin(A十C)=sinB, 可得asin B=-bcos(A-否)， 由正弦定理得sin Asin B=-sin Bos(A-), 又sinB≠0，所以sinA=cos(A-6）: √3 1 化简得sinA -2 cos A+sin A, 所以cos(A+)=0, 所以A+晋=受所以A=子 若选②，由正弦定理可得0sA sin A cos C 2sin B-sin C 整理得2 cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C, 1 即2c0 s Asin B-=sinB,所以cosA=2,A=号 若选③，由题意得(b-c)sinC=(b-a)(sinA+sinB), 由正弦定理角化边，得c(b一c)=(b一a)(b十a), 即bc-c2=b2-a2, 所以osA=+次2-子A-号 2bc (2)因为A=音， 所以由余弦定理得a2=b2+c2-bc=(b十c)2-3bc, 又a=3,6十c=5,所以9=25-3欢，解得c=号， 则△ABC的面积S-支女血A-×5×9- 培优突破练 1.BCD sin C+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)= 2sin Bcos A=2sin 2A=4sin Acos A, 12 可得cosA=0或sinB=2sinA,即A=乏或b=2a. 当A=5时，b= 2W343 3a= 3 则△ABC的周长为2+25，面积为2 31 当b=2a时，由c2=a2+b2-2 abcos C, 可得a-25B-受6- 4√3 3 则△ABC的周长为2+23，面积为23 3 综上可得A错误，B,C正确。 设△ABC外接圆的半径为R,则2R-sinC=3 4 每得及=29放D正确] 2.ABCD[根据题意，PA,PB,PC方向上的单位向量之和为 零向量，因此∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，进而P为 △ABC的费马点.如图，以AB,BC为边作等边三角形 △ABE,△BCD,则∠BPD=∠BCD=60°，故B,P,C,D四 点共圆，故∠PBC=∠PDC,故∠PBA=∠ADB.故△PABO △BAD,路-0安同理，△FPBC△BC→是- PC 咒-子，因此所有选项均正确] 视野拓展 费马点指位于三角形内且到三角形三个顶，点距离之和 最小的点。 其角度性质为：①当三角形的三个内角均小于120°时， 费马点位于三角形内部，且与三角形三个顶点的连线所成 的夹角均为120°；②当三角形有一个内角大于120°时，费马 点就是这个内角的顶点. 专题2解三角形中的定理 1.A[:b=a(osC+号mC小，由正弦定理得smB= inA+得mc,脚血B=AoC+月 3 sin Asin C, 又'sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),.sin Acos C.+ cos Asin C-sin Acos C3s 3 sin Asin C,得cos Asin C 3 sin Asin C..C∈(0，x,sinC≠0，tanA=5. A∈(0，π)，A=交.AD是△ABC的角平分线， 3 由角羊分执的定理可知，是-器布后品子 、cBD1 :CD=3BD-,代入断率骑定理AD=AB,AC BD·CD中，也可求出a与另两边的关系，从而求解 ∴∠BD=∠CAD=否.又SaAx=SAm十SAc, ∴ZAB·ACsm∠BAC=AB·AD·sim∠BAD+ 号AD·ACm∠DaC,即2 exxx号x5cXg 合×w5X3cX2,解得c=专，6=3c=4由余弦定理 可得a2=8+e2-2张msA=16+9-2X4×号×ms子， 解得a识 2.B /5sin C+o sin Co sim(c+）=1.c∈0，，c+吾=受，即c=子 在△ABC中，c=3,A品BC-25. b :M是AC的中点，CM=合：N是EC上的一点，且 BN=AC,.CN=a-b.在△CMN中，由余弦定理得 MN2=CM+CN2-2CM·CN·cosC +a-6r-ga-60 =62 =2+6-0 2a6. B=2A,a=2/3sin A,6-2/3sin B, 3 MN2=(2saA)+子[25sm(管-A)] -30 sin Asin(F-A） 9 4 cosA-9/3 inA+63 4sin 2A =54.cos2A+1_9 4 2 93m2A+号 -25停m2A方24)+9 -38sA+8）+9. 0<A<经2A+吾∈（后，），÷当A-是，即 2A十石=元时，os(2A+若)取得最小值-1.∴MNa √g √/层4-2)-g-1-363 2 3.ACD[在△ABC中，由余弦定理得BC2=1+42-2X1X4× Qos号-13，即BC=V瓜.由角平分线定理得BE:BC= BA·AC=1:4,得BE:BC1:5,即BE3,故A正 确，因为SE十5E=Sc,所以号×AEX1Xsm百十 XA2X4X血音-号X1X4×血号解得AB-45 1 5 故B错误.S△ABE= 号×AEX1X血吾-得放C正确在 △ABD中，BD=√/1+2-2X1X2Xos5=3,∠BPD= 吾或，设∠PBD=Q.当∠BPD=音时，∠PDB-否-0， 点A,P都症△ABD的外接国上，放∠BPD=∠BAD=号 或LBPD=T-∠BAD=2 3 由正弦定理得PD BP BD3 sin 0 -=2,所以 2 +PD=2sin ()+sin 0/5 05 02sin 0 7sin0+p)万，其中amp=号.同理得当∠BPD-经 √3 3 时，PB+号PD≤B,故PB+号PD的最大值为N7,故 D正确.] 4.C[由(c一a)sinA=csin C-bsin B及正弦定理可得(c a)a=c2-b2,即a2+c2-b2=ac,又b=3,所以a2十c2 9=ac.因为ac≤&，C,当且仅当a=c=3时等号成立，所》 以G+e-9<告，则。+e≤18设AC边上中线的 长度为，则h=合V2@+e)西≤号×V-35.所 一利用中线长公式现-名V2@)-不计年 以AC边上中线长度的最大值为3.] 5.C[由射影定理知acos C十ccos A=2bcos∠ABC=b, 运用定理求解选摸题，减少计算量，更便提 ∴ms∠ABC=“ZABC是三角形内角，“乙ABC=子 31 由余弦定理得b2=a2十c2-2 accos∠ABC→9=a2十 c2-ac.由中线长定理知a2十c2=2(BD2+AD2),即a2+ 13 c2=2×[2+()]=罗，∴ac=子，se= 6123 7 ,[方法一（面积法）在△ABC中，由余弦定理得3十 AC2-2X3XAC×cos60°=13，又AC>0,解得AC=4.由 Sc=Sm+S△m且AD平分∠BAC,得号X3X4X sn60°=号×3 XADXsi轴30+号×ADX4Xsn30,解得 AD=123 7 方法二（角平分线定理法）在△ABC中，由余弦定理得3+ AC2-2X3 XACXcos60°=13，又AC>0,解得AC=4.因 为D为∠BAC的平分线，所以是-船-是又BC= 7°，CD=413 V3,所以BD=3 7°，则AD2=ABXAC- 在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于，点D,刚AD2= ABxAC一BD×CD,这是角平分线长公式 BDXCD=-sX43平x4F-错所以AD-2y 7 7 7 方法三（张角定理法）在△ABC中，由余弦定理得32十 AC2-2X3 XACXcos60°=13，又AC>0,解得AC=4.由 张角定理知mBAC_sin BAD+nDAC,又AD平 AD AC AB 分∠4C,可得-血”血C,解得AD12] AD 4 7 7.5V.[方法-设∠BAD=∠CAD=0,由张角定理，得 7 sin 20 sin sin AD 器+2故289-2+肥2，因为 AD 如640所密市+以密专+号高 7cos81.因为c0s20=20s0-1=子，20∈(0，x0. 则AD=2 所以os0=4, 4,所以AD=20 =%s0=20×V14=5vg 4 7 方法二（本题也可利用角平分线定理和角平分线长公式求解） 由余弦定理得BC=V,由角平分线定理得怨-BD AC DC 多，BD-号BC=5y,cD=号BC-2Y→AD 7 ABXAC--BDXCD=-5X2-5Y平×2-9，解得 7 7 AD=54.] 7 14 &3反、[由mAc-号得-5 2 2 3 2Ccos∠48C2w2 则sin∠ABC=2sin∠ABC 2 3 由血C-停号和<故乙<吾 2 2 ·sin∠ABC=22, 1 3，cos∠ABC=3 设AB=x,BC=y,AC=3z,则AD=2z,CD=之. (当题目中出现五边两角的结构，且AD,CD星现比例关系时，可利用 BD2+AD2-AB2BD+CD一AB=0杓建五条边的等量关系) 2BD·AD 2BD·CD 16+422-x2 在△ABD中，由余弦定理得coS∠BDA= 4W 2× 3×2 161 在△CBD中，由余弦定理得cos∠BDC3十？一y2 45 2× :∠BDA十∠BDC=π，∴.cos∠BDA+cos∠BDC=O, 即 9+-y 2xx 整理得16十6z2-x2-2y2=0. ① 在△ABC中，由余弦定理得x2+y2-2 xycos∠ABC= a,则6-号+号-音 代人0式中得写2+专>+告y-16 -x,y>0 32xy, 16≥2√2+w放w≤9，当且仅 当写女=专封，即=3-3号时等号限立 2 .(ABXpC))Xm∠ABC=号x9x2号 3 =3√2.] 9.3.[:DALAC,∠DAC= (从题千中获取了两角两边的信息，放可考虑用张角定理求解) C-D+出BAC:m∠AD AD AC 易知LBACE(受，)，故cs∠BAC<0 m(∠BAC-受)-二os∠BAC=号，代入定理式中得 221 亨-是+2即-c+将，得4C-3wvg, 3 3 ∴.CD=√AC2+AD2=√I8+9=3W3.] 10.(1)由btan A=(2c-b)tanB得 bsin Acos B=(2c-b)sin Bcos A, 由正弦定理得sin Bsin Acos B=(2sinC-sinB)sin Bcos A. 严在△ABC中，BE(0,π) ,'sinB≠0，'.sin Acos B=(2sinC-sinB)cosA, .'sin (A+B)=2sin Ccos A=sin C. 1sin C=sin [x-(A+B)]= 又：sinC≠0，cosA=2:sn(A+B) :A∈(0，)，A=3 π (2)①（本问是对中线定理的证明） ,D是BC的中点， 在△ADC中，6=AD2+-2AD·号ms∠ADC, 在△ABD中，C2=AD+号-2AD·号0∠ADB, 'cos∠ADB+cos∠ADC=0, b2+c2=2AD2+g, Y∠ADB+LADC=R 即a2=2(b2+c2-2AD2). ②当a=AD=2时， 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 b3, .b2+c2-bc=4. 由0知6+-号+2AD=10,得c=6, .(b+c)2=b2+c2+2bc=10+2X6=22, ∴.b十c=22 △ABC的周长为2+√22 第六章单元学能测评 1.C[利用平行四边形法则作出向量OP十OQ,通过平移即 可发现OP+OQ=F0.] 2.D[因为a|=|b|=1,lc|=√2，a+b+c=0,所以a+b= -c,所以(a+b)2=(-c)2,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+ 2a·b=2,所以a·b=0.同理，a·c=-1,b·c=-1,所以 (a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2=4,|a-cl2= a2-2a·c+c2=1+2+2=5,即|a-cl=√5,1b-cl2= b2-2b·c+c2=1+2+2=5,即|b-c|=√5，所以 ma6b-e-8:0日5文5专制 3.B[因为a=2e1+te2,b=(t+3)e1+2e2,且ab,所以2e1+ te2=[(t+3)e1+2e2]=λ(t+3)·e1+2λe2(a∈R),即 [2-λ(t+3)]e1=(2x-t)e2.又向量e1,e2不共线，可得 2=入(t十3)，两不共线向量相等，可得到两向量前的系数为0 消去λ得到t2+3t-4=0,解得t=1或t=一4.] t=2λ， 4.D[由题意可得a>b>c,且a,b,c为连续的正整数，不妨 设c=n,b=n十1，a=n十2(n>1,且n∈N"),则由余弦定 理及3b=20 acos A可得3(n+1)=20(n+2)· 元2+(n+1)2-n+2),化简得7m2-13m一60=0，n∈N”, 2n(n+1) 解得n=4.由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c =6：5：4.] 5.B[因为sinB+cosB=2,所以w2sin(B+于）=2，所 以sin(B+T)-1.因为B∈(0，x),所以B+年∈ (年，），所以B十平=，所以B=不由正弦定理得 如A-gB_和子-号因有<6所AB所 b 2 以A=吞] 6.C[由正弦定理得acos B十bcosA -如A时BA-十-， sin C 即有260sC=1,osC-2,因为0°<C<180,所以C=60 因为Se=23,所以26sC=25,得b=8,又a+ b=6;c2=a2+62-2abcos C=(a+b)2-2ab-ab= (a十b)2-3ab=62-3X8=12,解得c=23.] 7.D[由平行四边形法则得PA+PB=2Pò，故(PA+PB)· PC=2PO.PC,又1PC=2-|PO1,且PO与PC反向，设 PO1=t(0≤t≤2)，则(PA+PB)·PC=2PO.PC= -2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].因为0≤t≤2，所以， 当t=1时，(PA+PB)·P心取得最小值，最小值为-2.] 8.A[如图，在△OPA中，OA⊥PA,PO=√2，OA=1,则PA =1,∠OPA=F.在△OPD中，OD⊥PD,OP=2,设 ∠0PD=aa∈[-，]，则PD=cos,所以PA, PD=|pA1IPD1cos∠APD=1×2(a+T)- mm。81+ga号m2a=+号(2a+ 2 因为a∈[至]，所以2a+平∈[-牙，]，当 15铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 6.4平面 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型2]若同一平面内的三个力F1,F2,F3作 用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知 |F1=3,|F2=4,且F1与F2的夹角为120°， 则力F3的大小为(). A.37 B.√37C.13 D.√13 2.[题型1]（多选）在等腰梯形ABCD中，AB∥ CD,∠DAB=60°，点P为对角线AC与BD的 交点若A-A正+号A0,则()。 2 A.BP=PD B.AD·DB=0 C.AB+2CD=0 D.(AC+DB)/∥AC-AD) 3.[题型3、4](2025·湖北襄阳四中期中)在 △ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, snA一sinB+2a一2b=0,则△ABC的形状- 定为(). A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 4.[题型3](2025·浙江舟山中学单元检测)已知 a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对 的边，若a=1,b=√3，A+C=2B,则sinC= 5.[题型6]某路边一树干被台风吹断后，树尖与地 面成45°角；树干也被台风刮斜，与地面成75°角. 已知树干底部与树尖着地处相距20m,则折断点 到树干底部的距离为 m. B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型1]已知O是△ABC内的一点，若△BOC, △AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3,则 S1·OA十S2·OB+S3·OC=0.这个定理对 应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地 称其为“奔驰定理”.已知O是△ABC的垂心， 8 向量的应用 且OA+2OB+3OC=0,则tan∠BAC: tan∠ABC:tan∠ACB=(). A.1:2:3 B.1:2:4 C.2:3:4 D.2:3:6 2.[题型3](2025·浙江金华一中单元检测)在 △ABC中，已知AB=4,AC=3,∠BAC= 120°，点E在线段BC上，且满足2BE=EC,则 AE的长为(). A c29 D.2√2 3.[题型5]（多选）如图，△ABC的内角A,B,C所 对的边分别为a,b,c,√5(acos∠ACB+ ceos∠CAB)=2 sin B,且∠CAB=于若D是 △ABC外一点，DC=1,AD=3,则下列说法中 正确的是() A.△ABC的内角B= 3 B∠ACB=S C.四边形ABCD面积的最大A 值为59+3 D.四边形ABCD的面积无最大值 4.[题型6]如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂 面内，若飞机的高度为海拔19km,速度为 300km/h,飞行员先在A处看到山顶C处的俯 角为45°，2min后，又在B处看到山顶C处的俯 角为75°，则山顶的海拔约为（结果精确到0.1， 参考数据：√3≈1.732)( 451 75 A.4.3 km B.5.3 km C.6.3 km D.13.7km 5.[题型4、5](2025·华中师大一附中单元检测) (多选)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,下列说法错误的是(). A.若b2十c2-a2>0,则△ABC一定是锐角三 角形 B.若a2tanB=b2tanA,则△ABC一定是等腰 三角形 C若公2=sr受，则△AC是直角三角形 cos Acos B”是“△ABC是等边三角形” D.“a b 的充分不必要条件 6.[题型4、5](2025·吉林长春外国语学校期中)在 △ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, Basin Acon C+esin Aco 5 b=√2，则△ABC的面积为 7.[题型3、4]在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且a=x,b=2,B=45°，符合条件的三角 形有两个，则实数x的取值范围为 8.[题型6](2025·广东深圳中学单元检测)如图，某 湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆 心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计）， 在其正东方向相距200m的点A处安装一套监 测设备.为了使监测数据更加准确，在半圆弧上的 点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设 备，且满足AB=AC,∠BAC=90°.定义：四边形 OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设 ∠AOB=0,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值 为 9.[题型4、5](2023·全国甲卷)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,bC,已知十c2a =2. cos A (1)求bc; 第六章平面向量及其应用 (2)若BcA。-1,求△ABC的面积 acos B+bcos A c 10.[题型4、5]在①asin(A十C)=bcos(A-), ②c0sA o8C2b”c®6-c)sin(A+B)=(b7 a)(sinA十sinB)这三个条件中任选一个，补 充在下面的问题中并解答. 问题：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且满足」 (1)求角A; (2)若a=3,b十c=5,求△ABC的面积. C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(2023·清华大学强基计划)（多选）△ABC的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设c=2,C= 3,且sinC+sin(B-A)-2sin2A=0,那么有 (). A.b=2a B.△ABC的周长为2+2√3 C.△ABC的面积为3 ,23 D△ABC的外接圆半径为2 2.(2025·上海交通大学强基计划)（多 选)在△ABC中，∠A=90°，AB=1, AC=√3.点P满足 PA PB IPAIPBI PC =0,则( PCI A.∠APC=120° B.∠APB=120° C.PBI=2PA D.PCI=2PBI 9 用重难点手册高中数学必修第二册RJA 专题2解 满分：150分 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若6=asC+停nc小AD是△ABC的角 平分线，点D在BC上，AD=3,b=3c,则a= （). A4⑦ 3 B c专 D.4 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c,c=3,W3sinC+cosC=2,N是BC上一点， 且满足BN=AC,M是AC的中点，则MN的 最小值为(). A号 B33-3 2 c D.22-1 3 3.(多选)已知△ABC中，AB=1,AC=4,∠BAC =于，AE为∠BAC的平分线，AE交BC于点 E,D为AC的中点，则下列结论正确的是 A.BE=13 B.AE=42 5 C.△ABE的面积为S3 D.P在△ABD的外接圆上，则PB+2PD的 最大值为√7 4.(2025·湖北黄冈中学月考)已知△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c一a)· sinA=csin C-bsin B,b=3,则AC边上中线 长度的最大值为(). 吗 R C.33 2 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, c,b=3,BD为AC边上的中线，BD=2,且 10 角形中的定理 时间：120分钟 acos C-2 bcos B+ccos A=0,则△ABC的面 积为( ). A.2 C.23 8 n 6.(2025·广东佛山高明一中期末)在△ABC中， ∠BAC=60°，AB=3,BC=√13，∠BAC的平 分线交BC于点D,则AD= 7.在△ABC中，∠BAC的平分线为AD,AD与 BC交于点D,os∠BAC=,AB=5,AC=2, 则AD= 8.(2025·浙江萧山中学单元检测)如图，在 △Ac中，m4C-语，点D在AC上，且 2 AD=2DC,BD-4,则△ABC的面积的最 大值为 B C 9.在△ABC中，记A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知点D在BC上，AD⊥AC,sin∠BAC= ，AB=32,AD=3,CD= 22 10.记△ABC的内角分别为a,b,c,已知btan A= (2c-b)tan B. (1)求A. (2)若D为BC的中点， ①求证：a2=2(b2+c2-2AD2); ②若a=AD=2,求△ABC的周长.