6.3 平面向量基本定理及坐标表示&专题1 平面向量与三角形的“四心问题-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

6.3 平面向量基 A基础过关练 ●测试时间：20分钟 1.[题型1](2025·湖北宜昌一中期中)已知e1,e2 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底 的是(). 1 1 A.a=2e1+e2,b=2e1+4e2 B.a=4e1-2e2,b=e2-2e1 C.a=3e1+3e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1+4e2 2.[重难点1]如图，在三角形ABC中，D是BC边 上靠近点C的三等分点，E为AD的中点.若BE =xAB十yAC,则x=(). A号 3.[题型3]已知向量a=(2,-1),b=(1,6),c (7,3),则c可用a与b表示为(). A.3a+b B.a+3b C.3a+2b D.3a-b 4.[题型4]已知向量a=(3,0),b=(1,1),且 (a一2b)/∥(2a+kb),则实数k的值是(). A.2 B.-2C.4 D.-4 5.[题型5](2025·浙江宁波镇海中学单元检测) 已知向量a=(1,-2),1b|=1,若a-2b|= 23,则a·b= 6.[题型5]已知向量a,b满足|a|=4,1b=2, (a+b)⊥b,那么向量a,b的夹角为 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型1](2025·湖北十一校联考)在△ABC 中，D为AB的中点，E为BC边上靠近B的三 等分点，CD,AE交于点G,BG交AC于点F. 第六章平面向量及其应用 本定理及坐标表示 若BF=BE+BD,则=(). A号 c台 D 2.[题型4幻已知O,A,B,C是不同的点，下列说法 错误的是(). A.若AB=3BC,则A,B,C三点共线 B.若AB=(2,-1),AC=(2,4),则A,B,C三 点共线 C若0店=号Oi+号0C,则A,B,C三点共线 D.若AB=(1,-2),AC=(2,-4),则A,B,C 三点共线 3.[题型1](2024·山东青岛二中月考)如图，A, B,C是圆O上三个不同的点，且∠AOB=120°， ∠AOC=30°，则OC=(). A.23 B2 30A、2w 3 OB C0 noi-o 4.[题型5](2025·湖南株洲二中单元检测)已知 向量a=(-2,-1),b=(1,2),若a在b上的投 影向量为c,则c·(a十b)=(). A号 B-青 c告n号 5.[题型5]（多选）设向量a=(k,2),b=(1,一1)， 则下列叙述正确的是(). A.若k<2,则a与b的夹角为钝角 B.a|的最小值为2 C与b共线的单位向最只有-个，为停，受》 D.若|a|=2b|,则k=2或-2 6.[题型5]（多选）如图，设Ox,Oy是平面内相交 成60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴 5 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 正方向同向的单位向量.若向量OP=xe1十 ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量OP在坐标 系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2, 1),b=(-4,5),则(). y e O e A.a·b=-3 B.la|=√7 C.a⊥b D.a十b与a的夹角为60 7.[题型6](2025·湖北襄阳五中单元检测)在 △ABC中，AB=(2m,m+5),AC=(cosa,sina) (m,a∈R),若对任意的实数t,|AB-tAC|≥ AB-AC|恒成立，则BC的最小值是 8.[题型1、2]如图，四边形ABCD是正方形，延长 CD至点E,使得DE=CD.若P为CD的中点， 且AP=λAB十AE(a>0,>0),则入十μ= 9.[题型3、4](2025·河北邢台一中单元检测)设 OA=(-2,4),OB=(-a,2),0C=(b,0),a> 0,6>0,若A,B,C三点共线，则。+方的最小 值为 10.[题型4、5、6]在平面直角坐标系中，O为坐标 原点，A,B,C三点满足6元-O+号0店. 3 (1)求证：A,B,C三点共线，并求BC的值； IBA 6 (2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),x∈ (0,π)，且函数f(x)=OA·OC十 (2m- )IA店的最小值为分，求实数n 的值 C培优突破练 ●测试时间：10分钟 1.(2025·南京大学强基计划)已知点P是边长为 1的正方形ABCD所在平面上一点，满足PA· (PB+PC十PD)=0,则|PD|的最小值是 (). A.52 B②1 3 3 C52 2 n 2.(经典·全国高中数学联赛A卷)在平面直角坐 标系中，e是单位向量，向量a满足a·e=2,且 |a|2≤5a十te|对任意实数t成立，求|a|的取 值范围。 专题1平面向量与 1,记△ABC的外心为0，AB=2,AC=3,A=牙， 若A0=xAB+yAC,则4x十3y=(). A司 B.1 c. D.2 2已知△ABC外接圆的半径为1，A-否，点G 满足GA+GB+GC=0,且AG·AB=AG· AC,则△ABC的面积为(). A9Rc得 D调 3.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1,点P 在AM上满足AP=2PM,则PA·(PB+ PC)=() A-号 c号 4.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC 的面秋80，S定 S△ABC 义f(P)=(1,λ2，入3).若G是△ABC的重心， fQ》-(经，3若》则( A.点Q在△GAB内B.点Q在△GBC内 C.点Q在△GCA内D.点Q与点G重合 5.设点O在△ABC内部，且有OA+2OB+ 3OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之 比为(). A.2:1B.3:2C.3:1D.5:3 6.(2025·湖北黄冈中学月考)若△ABC所在平 面内一点0满足 A0·AB_A0.AC ABI ACI ò.CA_cò.c ,则点O是△ABC的 CA CBI (). A.重心B.垂心C.内心D.外心 7.(多选)设P为△ABC所在平面内一点，则下列 说法正确的是(). A.若PA+PB+PC=0,则点P是△ABC的 重心 第六章平面向量及其应用锥 三角形的“四心”问题 B.若PA·PB=PB·PC=P元.PA,则点P 是△ABC的垂心 c若市- AC ,λ∈[0，十∞)，则 AC 点P是△ABC的内心 D.若(PA+PB)·BA=(PB+PC)·CB= (PC+PA)·AC=0,则点P是△ABC的 外心 8.（多选)已知点P在△ABC所在的平 面内，则下列命题正确的是(). A.若点P为△ABC的垂心，且AB· AC=3,则AP·AC=3 B.若PA+2PB+3PC=0,则△ABC的面积 与△ABP的面积之比为3：1 C.若AP=（ 1 LACI cos C +号)AC,则动点P的轨迹经过△ABC的 外心 D.若E,F,G分别为AB,BC,AC的中点，且 AC=BG=2,PA·PC=0,则PE·PF的 最大值为 9.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C 的对边，且c=4,b=5,a=6,如图，边BC对应 的高为AD,△ABC的内心、重心、外心、垂心分 别为点I,G,O,H. (1)求△ABC中高AD的长度. (2)欧拉线定理中指出若△ABC的垂心、外心、 垂心分别是G,O,H,则G,O,H三点共线， 且OH|=3OG引.请合理运用欧拉线定理， 求AH·AI的值. ·G 0 7代入AD=XD成+D,可得gBC-BA=λ(-号BC+ 日函）)+号A,所以（号+3）成-(G+号+)A。 =-1, 所以 所以入 (61+ 1 3u+1=0, =-, 所以X+=1一=] 4 8.105.[:a-b=|IOA1-|1o211≤1OA-O1=AB1≤ IOAI+IOBI=a+6, a+b=15,. a=10, 解得 a-b=5, b=5. 9.(1)由BC=kAD,得BC∥AD, 因为A店.BC-1,∠B=120,AB=2,所以BC=1. xCP-CB+BA+AP-CB+BA+2AD-BA+2BC, 所以1-√(@i+号C) √+成·BC+忘 -V√4++2x1Xs120= 2 (2)不妨令点Q在点P的左侧，设AQ=mBC,0≤m≤2， 则C应=CB+BA+AQ=BA+(m-1)BC, CP=CB+BA+AP=BA+mBC, 把CQ,C币都用BA和BC表示，为数量积的计算提供方便 所以CQ·CP=[BA+(m-1)BC]·[BA+mBC]=BA2+ 2m-lai.成+m2-m成=m-3m+5=(n-)月 +兴， 当m=时，成.C户取得最小值，最小值为只 10(1由题意得心-A方-6，定=号=号=号店 =-号a,所以成-B成+花-b-号a. (2)假设在线段BC上存在一点F满足AF⊥BE,设BF tBC=tb(0≤t≤1)， 则AF=AB+BF=a十tb. 因为在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°， 所以a=b1=1a·b=a1b1cos60=2 因为AF⊥BE, 4 所以A正，B成=a+b)·(b-号a) =(1-号)ab-号a+b =1-)×号-号+： =0, 解得=子 所以点F为线段BC的靠近点B的四等分点， 所以1A=a+b =√a2+2ab+i6b 1×1+1-2I =√1+2X2+i6=4 综上，当点F为线段BC的靠近点B的四等分点时，AF⊥ B成，且A= 4· 培优突破练 1.D[取AB的中点D,则OA.A店=|OA·A1·cos(x ∠0AB)=-A1(1Oi1·os∠0AB)=-合1A, 同理可得O.BC=2BC,0心.ci=21c, 放原式=名+BC+试)=一空] 2B[如图，设圆0的半径为？，∠A0C=60,2c是以0为 起点，圆周上的点为终点的向量，则b一之c是以圆周上一 点为起点、点A为终点的向量 此时最小 60 当b-c为向量BA时，b-弓c在a十b上的投影向量的 模最小，(a十b)·(2b一c)取最小值，此时原式=2(a十b)· 。）=2x5×慢号）=85.1 6.3平面向量基本定理及坐标表示 变式孙练 [变式1(，-）.[设0为坐标原点，：AC-2BC, 0c-oi=是(0d-0i),.0心=20i-0i- (3,-6),“点C的坐标为(3，-6.又：1C花-1E币1， 且点E在DC的延长线上，C定-一式 方法一（向量相等法）设E(x,y),则(x一3，y十6)=一 4- x-3=-子4-x0, 8 x,-3-y),∴. 解得 x一3' 1 y+6=-4(-3-y), y=-7, “点E的坐标为（停，一） 方法二（定比分点公式法）设E(x,y).:C它=一ED, C3,-6),D4,-3),则x=3-1_8y=-6+4 1- 7 1一4 “点E的坐标为（号，-7）门 [变式2]C[如图，连接AM. Q 以 B :BC=AC-A店，Ci=2Mi,∴Bi=号BC=号(AC A),AM-A店+BM=子AC+子A店.：A护=mA店， 动=忘，成=d+品应：p,M,Q三点共 线，十品1，m+nom)（+） 号(6+0+只)≥1+29，当且仪当m=反a时，等号 成立.] 基础过关练 1.D[A选项，因为a=4b,所以a,b共线，a,b不能作为基 底，A错误；B选项，因为a=一2b,所以a,b共线，a,b不能 剃断能否作为基底，本质是判断向量是否共线，共线不可作为 基底，不共线可作为基底 作为基底，B错误；C选项，因为a=3b,所以a,b共线，a,b 不能作为基底，C错误；D选项，设a=mb(m∈R),则e1一 (2m=1, 2e2=2me1+4me2,则 4m=-2, 无解，故a,b不共线，则 a=e1-2e2,b=2e1十4e2可以作为基底，D正确.] 2.C[已知D是BC边上靠近点C的三等分点，所以AD= 号A店+号AC.又E为AD的中点，所以成=A心-A店- 曲茄+励-A店+号式-A店+号C-A店)得到 号(3店+号)-店=-号店+号A心，所以x 3.A[设c=xa十yb,x,y∈R,则(7,3)=(2x+y,-x+6y), 12x十y=7, x=3, 即( 解得{所以c=3a十b.] -x+6y=3,y=1, 4.D[由题意知，a-2b=(3,0)-2×(1,1)=(1,一2)，2a十 kb=(6+k,k).因为(a一2b)∥(2a+kb),所以k=(一2)× (6十k)→3k=-12→k=-4.] 5- .[因为a=(1,-2),所以a|=√/1+4=√5，又|a 2b|=23,所以(a-2b)2=12,则a12+4|b12-4a·b= 12,又1b1=1,所以5十4-4a·b=12,解得a:b=-号] 6 .[设向量a,b的夹角为0，因为(a+b)Lb,则(a十b)· b=0→a·b+b2=0,所以|a11b1cos0+|b12=0→4X 2os0十4=0，解得cos0=-2,所以0=经】] 综合提能练 1.B[由D,G,C三点共线，设BG=(1-k)BC+kBD= 1-k)D心+号A(∈R,由A,G,E三点共线，设心- (1-)BA+B=(1-)BA+号BC(u∈R),则有 =g 解得 所以成=号威+号成-号动 (2=1-t, 4 k=5’ +砣.由B.G,F三点共线，设亦=aBG-台ò+号砣 3a =BE+BD(a∈R),则A= 5 归纳总结 对于向量的分解问题，求解的一个重要方法是待定系 数法，然后利用向量相等求解参数.若不能正确设出向量分 解式，则难以求解 2.B[对于A,若AB=3BC,则AB,BC共线且AB的终点是 BC的起点，所以A,B,C三点共线，故A正确；对于B,因为 号≠，所以店，A亡不共线，则A,B,C三点不共线，故 5 B错误：对于C,若O成-}Oi+号心，则}O成+号O- oi+0元，0-}0i-号0d-号0，即 2BC,则AB与BC共线，又AB,BC有共同端点B,则A,B,C 三点共线，故C正确：对于D,若AB=(1,-2),AC=(2,一4)， 则A店=2AC,则A店与AC共线，又A忘，AC有共同端点 A,故A,B,C三点共线，故D正确.] 3.D[如图，建立平面直角坐标系.设圆的半径为1，因为 ∠A0B=120,∠A0C=30,所以A(-1,0,B(号，号）， c(-,-),所以i=(-1,0).成-（日，9）， 0之-(-，名）.因为0,0成不共线，所以由平面向量 基本定理可知，存在实数入4，使得OC=OA十OB, 所以(-，)=x(-1,o)+(},), √3 -+2= 2 -3 所以 解得 3 μ=-2 3 所以文-ai-停0.] 4.B[因为a=(-2,-1),b=(1,2),所以a在b上的投影向 为合后言12=（台号）所 以c=(←号，号）.因为a+b=(-1,1,所以c(a+b)= 5.BD [选项正误 原因 当k=-2时，a=(-2,2),b=(1,-1),a= A × 一2b,a与b反向共线，夹角为180°，此时a与 b的夹角不为钝角 因为a=(k,2),所以|a|=√k2+4≥2，所以 |a|的最小值为2 6 续表 选项正误 原因 由b=(1,-1)得与b共线的单位向量为 停-》(-g》 因为a=(k,2),b=(1,-1),且|a=2|b|,所 D 以√2+4=22，解得k=2或k=一2 6.BCD [由已知条件得e1·e=1X1×cos60=分，则 a·b=(2e1+e2)·(-4e1+5e2)=-8e+6e1·e2+5e2= -8+6×号+5=0，故A错误，C正确， lal=√(2e1十e2)月 =√4ei+4e1·e2十e3 √4+4x日+1=万， 故B正确； cos(a+b,a)=a+b)·a a+b al =-2e1+6e2)·(2e1+e2) √7|-2e1+6e2l -4e+10e1·e2+6e3 √7√4e1-24e1·e2+36e 1 4+10X2+6 1 万V4-24×+36 2 又a十b,a)∈[0x],放(a+b,a)=苔，故D正确故 选BCD.] 7.√9.[设AD=AC,如图所示. D 因为对任意的实数t,都有A店-AC≥A店-AC1恒成立， 所以A店-AC=A-AD1=DB≥CB1恒成立，则AC头 BC.因为AB=(2m,m+5),AC=(cosa,sina),所以AB|= DB≥CB恒成立，则CB为点B和直线AC上一点连线的最 短距离，即垂线段 √5(m+1)+20,AC1=1,所以BC=√AB12-AC12= √5(m+1)2+20-1≥√20-1=√19，当且仅当m=-1 时，等号成立.] 思维过程 设AD=tAC,得到|AB-tAC1=|DB|≥|CB|恒成 立，得出AC⊥BC,根据题意，结合勾股定理，得到BC= √1AB2-AC2,即可求解. &号.[方法-A妒-名心+O)=号ò+店+)= 分茹+)-花+ò+号A店=花+号A店，所以 A+公=多 方法二（利用等和线的结论）如图所示，连接BE,交AP 于点Q,则8-器-2由等和线的结论得A+一侣 AP 0站02生3-J AQ 2 E D 93+22 [由题意得AB=(-a十2，-2)，AC=(b+2,-4). 2 因为A,B,C三点共线，所以AB∥AC,所以-4(-Q十2)= -26+20整理得2+6=2，所以2+号-2(2+6)… (日+)=(3+台+合)≥2(+2√2·) 3+2正，当且仅当b-2a时等号成立.] 2 10:o心-3ai+号oi, :0心-0成-}0-0i, BC=子BA,又BC,BA有公共点B, AB,C三点共线，BC1 (2).'A(1,sin x),B(1+sin z,sin x), :o心=}oi+号oi=(1+号snx,sinx), ∴oi.o心-1+号smx+sirz 又|AB|=sinx, fx)=Oi.o心+(2m号)1A =sinx+2msin x+1. 设sinx=t,x∈(0，π)，.t∈(0,1]， ∴.y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2. ①当-m≤0，即m≥0时，y=t2+2mt十1无最小值，不符 合题意； ②当0<-m≤1，即-1≤m<0时，若t=一m,则y=1一 2 1 ③当-m>1,即m<-1时，若t=1,则ym=2+2m=2, m=- 4>-1,不符合题意。 综上可知，m= ② 培优突破练 1.A[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0), C(1,1),D(0,1). D A B 设P(x,y),则PA=(-x,-y),PB=(1-x,一y), PC=(1-x,1-y),PD-(-x,1-y)=PB+PC+PD- (2-3x,2-3y), 由题意知，(-x)(2-3x)十(-y)(2-3y)=0, 即(x-)》+(-）°=（〉， 点P在以M(侣，号)为圆心，半径为-号的圆上 又PD表示圆上的点到P的距离，∴P1m=DM- -√+(-号-52 3 思路点拨 解答本题的关键是数形结合 建立平面直角坐标系，设P(x,y),根据题千信息列方 程，求出x,y的关系式，由点P的几何意义可求得PD的 最小值 2.不妨设e=(1,0).由于a·e=2,可设a=(2,s),则对任意 实数t,有4+s2=|a|2≤5la+te|=5√(2十t)十s2,该式 等价于4+s≤5s,解得1s|∈[1,4幻，即s2∈[1,16]，于是 |a|=√4+s2∈[5,25]. 专题1平面向量与三角形的“四心”问题 1D[AB=2,AC=3,A=骨，A店：A0=2X3x号-8 7 0是△ABC的外心，枚Ad,A店=号1A店2=2，即 (xAB+yAC).AB=xAB2+yAB.AC=4x+yAC.AB =4x+3y=2.] 2A[由正弦定理得a=2 Rsin A=2×sin2=3.:GA+ G品+GC=0,“点G为△ABC的重心.又AG.AB=AG. AC,则AG.(AB-AC)=0,即AG.CB=0,.AG⊥BC, 因此△ABC为等腰三角形，且顶角A=经由。2=6十e2 2bc·cosA,且b=c,a=√3得b=c=1,∴.S△4c= 3.A[由M是BC的中点可知AM是BC边上的中线，：点 P在AM上且满足AP=2PM,.P是△ABC的重心. ..PA.(PB+PC)=PA .2PM=PA AP=-IPA. 又：AM=1,Di-子，i.pi+P)=手] 4A[由于G是△ABC的重心，从而fG)=(号，行，号)， 1 因此SAc=S△GCA=SAGAB=3SaAc.不妨设SAAIC=1, 则Sar=SaM=Scw=弓，故排除D选项若点Q在 △GCA内，则Sa<Sa=号，与Soa=专不符，放排 除C选现若点Q在△GBC内，则Sac<Sac=了，与 S△a©=2不符，故排除B选项.从而点Q在△GAB内，如 图所示，故A选项正确.] Q B 思维过程 本题的难点在于其创新的设问方式，因此读懂题意是 关键，相当多的考生因为读不懂题意而随便选了一个，如 果只是一味地将目光锁定在f(P)=(入1，入2，入3)上，将会难 以前进，甚至误入歧途，但若能注意到其几何背景，则不难 解决 5.C[如图，延长OB至B1,使BB1=OB,延长OC至C1,使 CC1=2OC,连接AB1,AC1,B1C1,B1C,则OB1=2OB, oc,=30C. 8 B C 由条件得，OA+OB1+OC1=0,点O是△AB1C1的重 心，从而SK=S2Com=S=号S,其中S表示 △AB,C的面积，则SAx=)S,SAm=日S,Sx 名a=合×号9oa,四=6s,于是Sae=5aw+ 1 1 SA+S△r=号S.故△ABC的面积与△A0C的面积的 比为3：1.] 6c由0应0花可得（店交）=0， IABI IACI IABI ACI 即AO与∠BAC的外角平分线垂直，所以点O在∠CAB的 平分级上，由ò感i庙，可得d.( ICAI ICBI ICAL ©主)=0，同理可得点0在乙ACB的平分线上，则点0是 Ic △ABC的内心.] 7.ABD[对于A,取AB的中点D,则PA+PB=2PD,若 PA+PB+PC=0,则PA+PB=-PC,2PD=-PC,所以 CP=2PD,又PD与PC有公共点P,故点P为中线 CD上靠近点D的三等分点，同理可得，点P也是边AC和 边BC上的中线的三等分点，所以点P为△ABC的重心，故 A正确.对于B,若PA·PB=PB.PC,则(PA-PC)· PB=0,即CLPB,同理可得，BALP乙，BCLPA,故点P 是△ABC的垂心，故B正确对于C,由A=A(A5十 IABI AC) ,A∈[0，十o∞)，知点P在∠BAC的平分线上，但不 一定在∠ABC或∠ACB的平分线上，故C错误.对于D,因 为(PA+PB).BA=0,所以(PA+PB)·(PA-PB)=0, 所以PA12-PB12=0,即PA1=PB,同理可得，PB= IPC1,PA=PC,所以点P为△ABC的外心，故D正确.] 8.ACD[由点P为△ABC的垂心，可得AP.AC=(AB+BP)· AC=AB·AC=3,故A正确.如图1，设AC的中点为M,BC 的中点为N,连接PM,PN,则PA+2PB+3PC=PA+ PC+2PB+2PC=2PM+4PN=0,即PM=-2PN,所以 点P为中位线MN上靠近点N的三等分点，所以 S△ABP 快解：由“奔驰定理"得SAP： MC=2,故B错误.SAe:S0Pw-1:23,所以 1 2 SAABC S△ABC:S△PAB=6:3=2:1 N 图1 设BC的中点为H,则Ai=2(+A心)，结合题设得丽 -市-Ai-市应+⊙=应 ABIcos B ACI cos C 所以市成店成+交成-武+成 IABIcos B ACIcos C O,所以HPBC,又BC的中点为H,所以点P在BC的垂 直平分线上，所以动点P的轨迹经过△ABC的外心，故C 正确.如图2，设BG的中点为O. 图2 因为PA·PC=0,所以点P的轨迹为以AC为直径的圆， 连接BP,PO,则PE·PF=(BE-BP)·(BF-BP)= (2BA-)·(2BC-)=(2BG+2cA-): (2BG-2GA-BP)=(Bd+2GA-B)·(Bò 2ci-P)=(Pò+2)·(p0-2G)=P0 快解：连接EF(图略)，易知DF=1,且O为EF的中点，则由极化 恒等式可直接得到P庐.P序=Pd:-成=PO:- ,故当P0为直径，即PO=2时，P它·P市有最大值 1 4子只放D正确] 9.(1).c=4,b=5,a=6, co8∠BAC=62+c2-a' 2bc 8>0,A是锐角， 六sim∠BAC=V1-cos∠BAC=3W7 8 由等面积法得弓AD·BC=csn∠BAC, 则AD=csin∠BAC_4X5X3W7_57 6 84 (2)连接AI并延长，交BC于点E,连接BI(图略) 根据角平分线定理可知，是器=号，即成-式， 则A正-A店=号AC-A,A店=号AB+号AC 又在△ABE中，BI平分∠ABE, 根据角平分线定理可知，验-=1一之 =2 ∴Ai=花=（得Ai+号Ad)=号+Ad 连接OH,AG,AD(图略). G,O,H三点共线，OH1=30G1,∴.Oi=30G. 又AG-号×2蓝+aG)=号+ad, 故由欧拉线定理知，Ai-=A0+Oi=A0+3O亡=Aò+ 3(OA+AG)=-2A0+3AG=-2AO+AB+AC, :Ai.Ai=[-2Aò+(AB+AC]·Ai=-2Aò.Ai+ (AB+AC)·Ai, 而d.i-0(信+刻=号×号1+酷× 号Aac41-日×8+鼎×空=6， A店.AC=·Aeas∠BAC=4X5X日-号 +Ad·i=(A+AC·(号A+A) =+心+. 3×2-2 -号×16+号×25 ×5=27 i成=-x6+号=是 6.4平面向量的应用 变武孤练 [变式门BC[由正弦定理得AB所以s血B如A, 1 对选项A,sinB=sinA=72=1,则B=牙，只有一● 解，故A错误，对选项B,迎B6sin小-一2=多， a 30 a>b,则只有一解，故B正确.对选项C,sinB=bsinA- a 6×漫5 >1,则无解，故C正确.对选项D,sinB= √3 2 bsin A 9×2321,则无解，故D;误 a 6 41 9