6.1 平面向量的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

第六章 平面 6.1平面 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[知识点1](2025·浙江嘉兴一中单元检测) 给出如下物理量：①密度；②温度；③速度； ④质量；⑤功；⑥位移.下列说法中正确的是 () A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 2.[题型1](2025·湖北黄冈中学月考)下列结论 中正确的是(). A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B.向量AB与向量BA的长度相等 C对任意向量a,日是一个单位向量 D.零向量没有方向 3.[题型3](2025·安徽师大附中月考)给出下列 四个说法：①若a=0,则a=0;②若a=bl, 则ab;③若a%,则la=b;④若a≠b,则a与 b不是共线向量.其中正确说法的个数为(). A.1 B.2 C.3 D.4 4.[题型3]（多选）如图所示，四边形ABCD、四边 形CEFG、四边形CGHD是完全相同的菱形， 则下列结论中一定成立的是() G B A.ABI=EF B.AB与FH共线 C.BD与EH共线 D.CD=FG 5.[题型2]如图所示，若小正方形的边长为1，则 |AB|=,|CD|= ,|EF|= 向量及其应用 向量的概念 6.[题型2、3](2025·安徽合肥一中单元检测)如 图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，若 向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与AB 平行且模为√2的向量共有 个 B综合提能练 ●测试时间：30分钟 1.[重难点1门](2025·浙江天台中学单元检测)设e 是单位向量，AB=e,CD=-e,|AD|=1,则四 边形ABCD是( A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 2.[题型3](2025·湖南师大附中期中)如图，在四 边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且AB =DC,则必有( A.AD=CB B.OA=OC C.AC=DB D.DO=OB 3.[题型3]（多选）设点O是平行四边形ABCD的 对角线的交点，则下列结论中正确的是(). A.AO=OC B.AO=BO C.AO-BO D.AB与CD共线 4.[题型3]如图，点O是正三角形ABC的中心，四 边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形， 则与向量AD相等的向量为 ;与向量 OA共线的向量为；与向量OA的模相 1 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 等的向量为 (均填图中画出的向量)， 第4题图 第5题图 5.[题型2]如图，在△ABC中，∠ACB的平分线 CD交AB于点D.若AC的模为2，BC的模为 3,AD的模为1，则DB的模为 6.[题型1、3]给出下列条件： ①a=b;②|a|=|bl;③a与b方向相反； ④a=0或|b|=0. 其中能使a∥b成立的条件是 (填 序号) 7.[重难点1](2025·湖北武汉二中月考)在四边 形ABCD中，AC与BD交于点O,且AO= OC,BO=OD,|AC1=|BD1,则四边形ABCD 的形状为 8.[题型2](2025·湖南长沙一中单元检测)如图 所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组 成，方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形 的顶点，且|AC=√5. (1)画出所有的向量AC; (2)求BC的最大值与最小值 2 9.[题型4](2025·浙江诸暨中学单元检测)如图， 半圆的直径AB=6,C是半圆上的一点，D,E 分别是AB,BC上的点，且AD=1,BE=4,DE =3. (1)求证：ACDE; (2)求|AC1. C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.一位汽车模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向 前进1m,然后将行驶方向按逆时针方向旋转角 α，继续按直线方向前进1m,再将行驶方向按逆 时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进 1m,…,按此方法继续操作下去. (1)作图说明当a=45°时，最少操作几次可使赛 车的位移为零？ (2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发 点的情况参考答系 第六章 平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 基础过关练 1.D2.B 3.A[对于①，模为零的向量为零向量，①正确.对于②，a,b 的模相同，但方向不确定，a,b不一定共线，②错误.对于③， 若a仍，则a,b同向或反向，但模未必相同，③错误.对于 ④，当a≠b时，它们可以同向或反向，故a与b可以为共线 向量，故④错误故选A] 4.ABD[由题意可知，AB=EF|,A正确；由题图可知， ABFH,即AB与FH共线，B正确；CD与FG方向相同 且长度相同，即CD=FG,D正确；∠DEH不一定等于 ∠BDC,故BD与EH不一定平行，C不一定成立.] 5.3√2；√26；2√2.[由题意知，|AB|=√32+32=3√2， |CD1=√52+1平=√26，|EF1=√22+22=2√2.] 6.24.[小正方形对角线的长度均为√2，故所求向量有24个.] 综合提能练 1.B[因为AB=e,CD=-e,所以AB=-CD,则AB/CD. 又AB1=|CD1=1,则四边形ABCD是平行四边形.因为 |AD1=1,所以AB1=|AD,所以四边形ABCD是菱形.] 2D[:在四边形ABCD中，AB=DC,AB=CD,ABCD, ∴四边形ABCD为平行四边形，∴DO=OB.] 向量相等要求方向相同且长度相等 3.AD[因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所 以O是AC的中点，即有AO=OC,A正确；平行四边形的 对角线不一定相等，则|AO|与BO不一定相等，B错误；点 A,O,B不共线，C错误；在平行四边形ABCD中，ABCD, 即有AB与CD共线，D正确.故选AD.] 4.OC;DC,EB;OB,OC,DC,EB,AD.[:0是正三角形 ABC的中心，.OA=OB=OC,易知四边形AOCD和四 边形AOBE均为菱形，∴.与AD相等的向量为OC;与OA 共线的向量为DC,EB;与OA的模相等的向量为OB,OC, DC,EB,AD.] ,[如图，延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延 长线于点E. 、D 与提示 因为∠ACD=∠BCD=∠AED, 所以|AC|=|AEL. 因为△ADE∽△BDC, IADI IAEI IACI 所以 DBI BCI BCI 故D成1-] 6.①③④.[若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以 a仍；若|a=|b,则a与b大小相等，而方向不确定，因此 不一定有a仍；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此 若a与b方向相反，则有a仍；零向量与任意向量平行，所以 若|a=0或b=0,则ab.] 7.矩形.[由AO=OC,BO=OD,|AC1=|BD1,可知四边形 ABCD的对角线相互平分且相等，所以四边形ABCD为 矩形.] 士对角线相互平分→四边形ABCD为平行四边形 8.(1)画出所有的向量AC,如图所示. (2)由(1)所画的图知， 当点C位于C1或C2时，BC取得最小值，为√1+2=√5； 当点C位于C5或C6时，BC取得最大值，为√4+5=√. ∴BC的最大值为√4红，最小值为√5. 9.(1)由题意知，在△BED中，BD=5,DE=3,BE=4, 所以DE2+BE2=BD, 即△DEB是直角三角形，∠DEB=90°. 因为点C为半圆上一点，且AB为半圆的直径， 所以∠ACB=90°， 所以ACDE,故ACDE. (2)因为ACDE,所以△ABCp△DBE, 所u能品即S号， 解得AC=9,即1AC-8 培优突破练 1.记出发点为A, (1)当α=45时，如图1，赛车行进路线构成一个正八边形， 赛车所行路程为8m,最少操作8次可使赛车的位移为零. 1 (2)当α=120时，如图2，赛车行进路线构成一个正三角形，赛 车所行路程为3m,操作3次可使赛车回到出发点；当a=90° 时，如图3，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为 4m,操作4次可使赛车回到出发点；当a=60°时，如图4，赛 车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6m,操作 6次可使赛车回到出发点 图1 图2 图3 图4 6.2平面向量的运算 变武孤练 [变式1门A[若向量a与b同向共线，由a=3,b=4,可得 |a十b=7;若向量a与b反向共线，由a=3,1b|=4,可 得引a十b|=1.所以由“向量a与b共线”不能推出“|a十b1 =7”.若a十b=7,|a=3,|b=4,则向量a与b共线，所 以由“|a十b|=7”能推出“向量a与b共线”.因此，“|a十b =7”是“向量a与b共线”的充分不必要条件.故A正确.] [变式2]B[由OP=OA+(AB+AC),A∈[0，十∞)，得A2 =λ(AB+AC),则AP与△ABC的边BC上的中线对应向 量共线，又由入∈[0，十∞)可知点P的轨迹通过△ABC的 重心.] [变式3]-149 [过点O作AB的垂线，垂足为D,可知D 为AB的中点，则O在A店上的投影向量为2BA,所以 OA·A店=2BA.AB=-?·A.同理，O成.BC -21BC,0d.CA=-子1CA,所以oA.A店+o店. 成+o,i-合×6+r+8)=-19] 基础过关练 1.A[①当a与b不共线时成立；②当a=b=0或b=0,a≠0 或a=0,b≠0时成立；③当两个非零向量a与b共线，方向 相反时成立；④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时 成立.] 归纳总结 向量和与差的三角不等式： 1Ia-b|l≤|a±b≤|a|+|bl. 如图，可以借助三角形两边之差的绝对值小于第三边， 两边之和大于第三边来记忆，取等号是共线的特殊情况 D C a+b 2 2.D[因为a,b,c均为单位向量，且2a=3b+4c,所以2a一 3b=4c,则(2a-3b)2=(4c)2,即4a2-12a·b+9b2=16c2, 之所以要移项，是因为平方之后可以出现口与b的缴量积 的形式 即4-12as(a,b)十9=16，解得c0sa,b)=-子，即a与 b的夹角的余弦值为-子】 3.D[因为AB·BC+AB=0,所以AB.(BC+AB)=0, 即AB·AC=0,所以AB⊥AC,即AB⊥AC.所以△ABC 为直角三角形.] 4.C[依题意得，BD=AD-AB=AC+CD-AB,即BD= b-a+c.] 5.6.[:(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2- |allb|cos60°-6lb12=a|2-2la|-96=-72,∴.la|2 2a-24=0,解得|a=6或al=-4(舍去).] 综合提能练 1.C[方法一因为△ABC为等边三角形，G是边BC的中 点，故AGLBC,AG=}A+AC.又M是线段AG上任 意-一点，故设MG=XAG(0≤≤1)，因为BG=BM+MG, 所以BM=BG-MG,故BM.MG=(BG-MG)·MG= 吉成.流-店-店，又AG-<1,放 AAGE[-30 方法二如图，因为△ABC为等边三角形，G是边BC的中 点，所以G-停 G 因为M为线段AG上任意一点，则|MG|的取值范围是 [0写]，由向量的几何意义知成店=，所以 矿，G的取值范围是o,名]，由图可知，向量威与NG 的火角为纯角，所以·花的取值范国为[-子，0]，门 2BCD[如图，因为CD=号CA,P为线段BD上一点，所以 3 产号>0，款两向香同向，且CD=号CA, 2 AP=XA店+AC=λA访+3AD.由此可得点D的位置