8.6 空间直线、平面的垂直-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA 8.6 空间直线、平面的垂直 重点和难点 课标要求 重点：直线、平面垂直的判定定理和性 1.从空间点、直线、平面位置关系的定义和基本事实出 质定理。 发，借助长方体并通过直观感知了解空间中直线与直线、直线 难点：直线与平面、平面与平面垂直的 与平面、平面与平面的垂直关系，归纳出垂直的判定定理与性 性质定理的发现过程，直线、平面 质定理， 垂直的判定和性质的应用。 2.能利用所学结论证明空间基本图形的垂直关系. 必备知识梳理 基础梳理 知识点(1 直线与直线垂直 敲黑板⊙ 1.两条异面直线所成的角的定义 直线a,b所成角的大小与 点O的位置有关吗？ 如图，直线a,b是异面直线，经过空间任一点O,分别作直线 在定义中，空间一点O是 a'a,b'仍，这两条相交直线a',b'所成的角叫作异面直线a与b 任取的，根据空间等角定理，可 (转化为同一平面内相交直线所成的角) 以判定异面直线所成的角与 所成的角（或夹角）.·敲黑板。 a',b所成的锐角（或直角）相 、(异面直线所成的角的大小与点O的位置无关)》 等，角的大小与点O的位置无 关.为了简便，点O常取在两条 异面直线中的一条上 2.异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是0°<0≤90°. 3.两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异 面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b. 两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 知识点(2直线与平面垂直 划重点 1.直线与平面垂直的概念 1.判定线线垂直 (1)定义 若直线与平面垂直，则这条 如果直线1与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直 直线与这个平面内的所有直线 (五为充要条件，可以用来判定线线垂直) 都垂直，从而可判断直线与直线 线l与平面α互相垂直，记作l⊥a.直线l叫作平面a的垂线，平 垂直，即“若a⊥a,bCa,则a⊥ 面α叫作直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P b”,简述为“若线面垂直，则线线 叫作垂足.◆划重点。 垂直” 156 第八章立体几何初步 (2)画法 2.重要结论 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四 (1)过一点垂直于已知平面 的直线有且只有一条 边形的一边垂直，如图所示。 (2)过一点垂直于已知直线 垂面 的平面有且只有一个 (3)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫 拓视野为 作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面 线面距、面面距的定义 1.一条直线与一个平面平 的距离.◆拓视野) 行时，这条直线上任意一点到这 2.直线与平面垂直的判定定理和结论 个平面的距离，叫作这条直线到 (1)判定定理（直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况） 这个平面的距离 ①文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂 2.如果两个平面平行，那么 直，那么该直线与此平面垂直.◆提个醒。 其中一个平面内的任意一点到 ②符号语言：mCa,nCa,m∩n=A,l⊥ 另一个平面的距离都相等，我们 m,l⊥n→l⊥a. 把它叫作这两个平行平面间的 距离。 ③图形语言：如图所示， [说明]线面距与面面距 ④该定理可简记为：若线线垂直，则线面垂直. 最终都会转化为点到平面的距 ⑤该定理的作用：证明线面垂直 离，而点到平面的距离其实就是 (2)重要结论 点与平面内任意一点间的距离 如果两条平行直线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直 的最小值， 线也垂直于这个平面。 提个醒回 3.直线与平面所成的角 判定定理的条件中“平面内 (1)斜线及射影的概念 的两条相交直线”是定理的关键 点，一定要抓牢.但判定已知直 如图，一条直线PA与一个平面α相交，但 线与平面垂直时，已知直线与平 不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜 面内的直线可能为共面垂直（相 线，斜线和平面的交点A叫作斜足.过斜线上斜 交)，也可能为异面垂直（不相交）. 足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线 敲黑板) AO叫作斜线在这个平面上的射影.◆敲黑板。 理解直线与平面所成的角的 (斜线的射影是一条直线) (2)直线与平面所成的角的定义 注意事项 1.斜线简单来说就是与平 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直 面相交但不垂直的直线， 线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线PA与平面α所 2.一条斜线与平面所成的 成的角 角是这条斜线与平面内所有直 (3)直线与平面所成的角的范围 线所成的角中最小的角 ①一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角的 157 重难点手册高中数学必修第二册RJA。 大小是0° ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. 拓视野心 ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的 直线与平面垂直的其他性质 取值范围是(0°，90). 1.如果一条直线垂直于一 ④直线与平面所成的角的取值范围是[0°，90门. 个平面，那么这条直线垂直于这 个平面内的任意一条直线。 4.直线与平面垂直的性质 2.垂直于同一条直线的两 (1)直线与平面垂直的性质定理 个平面互相平行」 自然语言 图形语言 符号语言 3.两条平行直线中的一条 0 垂直于一个平面，则另一条也垂 垂直于同一个平面的两条 a⊥a,b⊥a→a% 直于这个平面 直线平行 敲黑板⊙ 1.二面角的大小与垂足0 (2)性质定理的作用◆扬视野。 在1上的位置无关.一个二面角 ①由线面垂直证明线线平行， 的平面角有无数个，它们的大小 ②构造平行线. 是相等的. 知识点（③平面与平面垂直 2.当二面角的两个半平面 1.二面角 重合时，规定二面角的大小是 (平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部 (1)二面角的概念 分通常称为半平面) 0°；当二面角的两个半平面合成 一个平面时，规定二面角的大小 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这 是180°.所以二面角的平面角0 条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.如图是棱 的范围是0°≤0≤180°. 为l或AB,面分别为a,B的二面角，记作二面角a-lB(aAB-B) 拓视野② 或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分别为在a,3内且不在棱上的点). 作二面角的平面角的三种常用方法 ◆敲黑板 1.定义法：在二面角的棱上 找一个特殊，点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的射线。如 图1，∠AOB为二面角al-B的 平面角. (2)二面角的平面角 2.垂面法：过棱上一，点作与 自然语言 图形语言 符号语言 棱垂直的平面，该平面与二面角 的两个半平面各有一条交线，这 在二面角α-l-B的棱L上任 两条交线所成的角即二面角的 取一点O,以点O为垂足， a∩B=l,O∈l,OA 在半平面α和B内分别作 Ca,OB CB,OA 平面角.如图2，∠AOB为二面 垂直于棱1的射线OA和 L,OB⊥L→∠AOB 角a1B的平面角. OB,则射线OA和OB构 为二面角a-l-B的平 3.垂线法：过二面角的一个 成的∠AOB叫作二面角的 面角 面内异于棱上的，点A向另一个 平面角◆拓视野 平面作垂线，垂足为B,由点B (3)二面角大小的度量 向二面角的棱作垂线，垂足为 O,连接AO,则∠AOB为二面 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是 158 第八章立体几何初步锥 多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直 角的平面角或其补角.如图3， 二面角 ∠AOB为二面角αl-B的平面角， 2.平面与平面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 图 图2 就说这两个平面互相垂直.简记为：若线面垂直，则面面垂直， (两个平面五相垂直是两个平面相交的特殊情况) ②画法：在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行 图3 四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直（如 划重点淘 图1、图2).◆划重点。 1.两条直线垂直是利用两 条直线所成的角是直角来定义 的，两个平面垂直是利用两个平 面相交所成的二面角是直二面 图 图2 图3 角来定义的 ③符号表示（如图3）：a∩8=l,O∈l,OACa,OBC3,OA⊥l, 2.两个平面垂直的判定定 OB⊥1，∠AOB=90°→a⊥3. 理，不仅是判定两个平面互相垂 直的依据，也是找出一个平面的 (2)两个平面互相垂直的判定定理 垂面的依据.例如，建筑工人在砌 ①自然语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个 墙时，常用一端系有铅锤的线来 平面垂直. 检查所砌的墙面是否和水平面垂 ②符号语言：ABCB,AB⊥a→3⊥a. 直，依据的就是这一判定定理 ③图形语言：如图1和图2. ④判定定理的要点：在其中一个平面内找一条直线是另一个 平面的一条垂线 3.平面与平面垂直的性质 提个醒回 (1)平面与平面垂直的性质定理 1.平面与平面垂直的性质 自然语言 图形语言 符号语言 定理成立的条件有三个： 两个平面垂直，如果一个平 (1)两个平面互相垂直. 面内有一直线垂直于这两 a⊥B,a∩B=l,aC (2)有一条直线在其中一个 个平面的交线，那么这条直 a,a⊥l→a⊥β 平面内. 线与另一个平面垂直 (3)这条直线垂直于两个平 面的交线。 (2)性质定理的作用◆提个醒 2.如果两个平面垂直，那么 ①证明线面垂直、线线垂直. 分别在这两个平面内的两条直 ②构造面的垂线. 线可能平行、相交（含垂直相交） (3)平面与平面垂直的其他性质 或异面 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂 直于第二个平面的直线在第一个平面内.即a⊥B,A∈a,A∈b, 159 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA, b⊥3→ba. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面 垂直于另一个平面，即a⊥3，YB→y⊥a ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于 另一个平面或在另一个平面内，即a⊥β，b⊥B→b∥a或bCa. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线 垂直于第三个平面，即a∩B=l,a⊥y,B⊥y→l⊥Y, ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即a⊥β，α∩3= l,B⊥y,B∩y=m,Y⊥a,Y∩a=n→l⊥m,m⊥n,l⊥n. 重难拓展 重难点1 三垂线定理及其逆定理 敲黑板⊙ 1.三垂线定理 用三垂线定理及其逆定理 证明线线垂直的关键在于构造 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影 三垂线定理的基本图形，创设应 垂直，那么它也和这条斜线垂直， 用定理的环境.构造三垂线定理 如图，设PA为平面a的一条斜线，PO⊥a,AO为PA在平 的基本图形时要抓住下面三个 面a内的射影，lCa.即若l⊥AO,则l⊥PA. 环节：(1)确定射影面；(2)作出 证明：.PO⊥a,lCa,∴.PO⊥l. 垂线；(3)确定射影， .AO⊥l,PO∩AO=O, Q ∴.l⊥平面PAO. 又.PAC平面PAO,∴.L⊥PA. 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据，三垂 线定理跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，为证明线线 垂直提供了一条捷径， 划重点四 2.三垂线定理的逆定理 三垂线定理及其逆定理的 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它 实质是空间内一条斜线和平面 内一条直线垂直的判定定理，主 也和这条斜线在该平面内的射影垂直.◆敲黑板 要用于证明空间中两条直线的 即若1⊥PA,则L⊥AO. 垂直问题 证明：PO⊥a,lCa,∴.PO⊥l. 当图形比较复杂时，要认真 又.LLPA,PA∩PO=P,.l⊥平面PAO. 观察图形.证明的思维过程是 又.AOC平面PAO,∴.1⊥AO “一定二找三证”“一定”是定平 3.三垂线定理及其逆定理的联系与区别 面和平面内的直线，“二找”是找 平面的垂线、斜线和斜线在平面 (1)三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其 内的射影，“三证”是证明直线垂 (一定要找射影面内的一条线与射影或者与斜线的垂直关系) 直于射影或斜线 逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直.◆重点· (2)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线。 160 第八章立体几何初步期 例①如图1，已知在正方体ABCD-A1B,C1D1中，O为底面 ABCD的中心，E为CC1的中点.求证：EO⊥平面A1DB. 图1 证明方法一如图2，取F,G分别为DD1和AD的中点，连接EF, FG,GO. 由正方体的性质知，FG为EO在平面ADD1A1上的射影，CO为EO 在平面ABCD上的射影. A1D⊥FG,A1D⊥EO. 支妙招迪 又.AC⊥BD,.EO⊥BD, 解答例1可先证明EO⊥ (三垂线定理) A1D,EO⊥BD,再由直线与平 又，A1D∩BD=D,∴.EO⊥平面A1DB.◆支妙招 面垂直的判定定理得出结论， 敲黑板⊙ 三种垂直关系的转化 由线面垂直和面面垂直的 图2 图3 判定定理及性质定理可知，线线 方法二如图3，连接A1O,A1E,A1C1,设正方体的棱长为2. 垂直、线面垂直及面面垂直的转 由三垂线定理可知BD⊥OE, 化关系如图所示」 又，OE2=(√2)2+12=3，A102=22+(√2)2=6，A1E2= 线线判定线面判定面面 垂 (2√2)2+12=9， 性质垂直性质垂直 ∴.A1E2=OE2十A1O2,.A1O⊥OE. 由上图可以看出，几种垂直 又.A1O∩BD=O,.EO⊥平面A1DB. 关系的转化就是线线、线面和面 面垂直的判定定理和性质定理 重难点②空间垂直关系的判定方法 反复交替运用的结果， 空间中的垂直关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的 在线线垂直和线面垂直的 形式出现，我们总结如下：◆敲黑板 转化中，平面在其中起到了至 1.直线与直线垂直的判定方法 关重要的作用，应考虑线和线所 在平面的特征，以找出需要证明 方法1（共面直线垂直）：利用勾股定理逆定理直接证明，或利 的转化关系，如证线线垂直，可 用特殊图形的性质判断，常见的有：①正方形、菱形的对角线互相 先证线面垂直，进而由性质定理 垂直；②线段的垂直平分线与线段垂直， 得到线线垂直.因此线面垂直关 方法2（线面垂直→线线垂直）：a⊥β，bCβ→a⊥b,如图1. 系是线线垂直、面面垂直关系的 方法3（面面垂直→线面垂直→线线垂直）：⊥B,α∩β=l, 枢纽 aCa,bC3,a⊥l→a⊥B→a⊥b,如图2. 161 重难点手册高中数学必修第二册RJA 方法4（利用平行）：a⊥b,a∥c→c⊥b,如图3. 方法5（三垂线定理及逆定理）：aCa,PA⊥a,a⊥AO→a⊥PO; (PO是平面a的斜线，AO是PO在平面a内的射影，垂影必垂斜) a二a,PA⊥a,a⊥PO→a⊥AO.如图4. (垂斜必垂影) RO A 图1 图2 图3 图4 2.直线与平面垂直的判定方法 方法1（定义法）：Hba,a⊥b→a⊥a. 方法2（线线垂直→线面垂直）：a⊥b,a⊥c,bC3,cC3,b∩ c=P→a⊥3，如图5. 方法3（面面垂直→线面垂直）：a⊥3，a∩B=l,aCa,a⊥l→ a⊥3，如图6. 方法4（利用线线平行）：a⊥3，a仍→b⊥3，如图7. 方法5（利用面面平行）：a⊥a,a/8→a⊥3，如图8. 图5 图6 图7 图8 3.平面与平面垂直的判定方法 方法1（定义法）：a-1-3=90°→a⊥B,如图9， 方法2（线面垂直→面面垂直）：a⊥B,aCa→a⊥3，如图10. 方法3（利用面面平行）：a⊥3a∥y→Y⊥3，如图11. 方法4（利用线面平行）：a⊥3，a∥a→a⊥3，如图12. 方法5（线线垂直→面面垂直）：a⊥a,b⊥3，a⊥b→a⊥B,如 图13. 图9 图10 图11 图12 图13 例2(2024·九省联考)设a,B是两个平面，m,1是两条直 线，则下列命题为真命题的是() A.若a⊥B,ma,lB,则m⊥l 162 第八章立体几何初步 B.若mCa,lC3,m∥L,则a∥g C.若a∩B=m,l∥a,lβ，则m D.若m⊥a,l⊥B,m∥l,则a⊥B 解析如图1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，假设底面ABCD 支妙招四 为平面a.对于A,假设平面ADD1A1为平面B,符合条件a⊥B,假设m= 有关空间线、面关系的综合 A1D1,l=BC,符合条件m∥a,l∥B,由图1可知，此时m∥l,不符合m⊥l 判定问题，一方面要灵活运用定 的结论，所以A错误.对于B,还是假设平面ADD1A1为平面B,接着假设 义、判定定理、性质定理，另一方 面要适当构建空间几何体模型， m=BC,l=A1D1,符合条件mCa,lCB,m∥l,但此时a⊥B,不符合a∥B 以直观辅助，从而快捷准确地作 的结论，所以B错误.对于C,如图2所示，过直线l作平面Y,与平面。交于 出判断. 直线l1,因为l/,由线面平行的性质定理可知l亿1，又因为1B,所以1∥ B,又因为a∩B=m,且l1Ca,所以l1m,因此lm,故C正确.对于D,在 图1所示的正方体中，假设m=BB1,l=DD1,平面A1B1C1D1为平面B, 此时符合条件m⊥a,l⊥B,m∥儿，但由图1可知aB,不符合a⊥B的结论， 所以D错误.◆支妙招 m 图1 图2 答案C 培优突破 突破点1直线与平面所成的角的求法 1.定义法求线面角 (1)作（找）：如图，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，得到 垂足，垂足与斜足相连即可得到斜线在平面上的射影，这一步的关 键是确定垂足的位置；◆拓视野) 拓视野) (2)证：证明作（找）出的角就是直线与平面所成的角，这一步 点在平面内射影位置的常见结论 的关键是证明线面垂直； 1.如果一个角所在平面外 (3)算：借助三角形的相关知识求该角的值. 一点到角两边的距离相等，那么 这一点在平面内的射影在这个 角的平分线所在的直线上.如 斜线 垂线 图，若PC⊥AC,PD⊥AD且 PC=PD,则P在平面a内的射 A射影O 影B在∠CAD的平分线所在 的直线上 A为斜足 O为垂足 163 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 2.三余弦定理 2.经过一个角的顶点引这 例③[回归教材P152例4改编]在正四面体A-BCD中，AB 个角所在平面的斜线，如果斜线 与这个角的两边的夹角相等，那 与平面BCD所成角的正弦值为( ). 么该斜线在平面内的射影是这 号 R胃 个角的平分线所在的直线，如 图，若∠PAC=∠PAD,则PA 解析方法一设正四面体A-BCD的高为AH, 在平面a内的射影AB是 连接BH,如图，则H为底面正三角形BCD的外心， ∠CAD的平分线所在的直线. 则∠ABH是AB与平面BCD所成的角. B 设正四面体A-BCD的棱长为a,在Rt△ABH H 中，BH=3、 2ax 33a,AH= a 3a, D (牢记正四面体中的有关数据，做，小题时即可速解) 3.对于三棱锥A-BCD,有 6 下列结论： 所以sim∠ABH-A-3a-6 AB a (1)若AB=AC=AD,则 31 ,点A在平面BCD内的射影为 方法二设正四面体A-BCD的高为AH,连接BH,则H为底面正三 △BCD的外心； 角形BCD的外心，则∠ABH是AB与平面BCD所成的角.设正四面体的 (2)若点A到棱BC,CD, 棱长为a,因为∠ABD=60°，∠DBH=30°，所以由cos∠ABD=cos∠DBH· BD的距离相等，且，点A的射影 eos∠ABH,即cos60°=cos30°·cos∠ABH,则cos∠ABH=,所以 在△BCD的内部，则点A在平 面BCD内的射影为△BCD的 sin∠ABH=y6 1 内心； 答案A (3)若AB⊥CD,AC⊥ BD,则点A在平面BCD内的 深挖教材 射影为△BCD的垂心. 三余弦定理 (1)内容 如图，设A为平面a上一点，平面外一点O在 平面α上的射影为B,即斜线OA在平面a上的射 拓视野⊙ 影为AB,AC为平面a内的一条直线，∠OAB=01 B 线面角的最小角定理 (线面角)，∠BAC=02,∠OAC=0,则cos0= 如左栏图所示，根据余弦函 c0s01·c0s02. 数的有界性，可知cos0≤cos01, (2)证明 则0≥01，故斜线与平面所成角 设BC⊥AC于点C,易知OB⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以OB⊥ 是斜线与平面内所有直线所成 AC,因为OB∩BC=B,OB,BCC平面OBC,所以AC⊥平面OBC,又 角中最小的 OCC平面OBC,所以AC⊥OC,所以∠OBA=∠BCA=∠OCA=90°，所以 AC AB cos 0-Ocos OA,cos02一A号.所以cosB=cos日1·cos02,◆场视野3 164 第八章立体几何初步用 888888888 11 关键能力提升 110101100010110011011111101010111111111101010010001001110011001011001000111011 题型(1求异面直线所成的角 A1B1,B1C1的中点，则异面直线DB1与EF 1.定义法求异面直线所成的角 所成的角的大小为 例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, 解析方法一如图1所示，连接A1C1,B1D1, 并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG, F分别为CC1,BB1的中点，则异面直线AF A1G,C1G,则OGB1D,EF∥A1C1, 与BE所成角的余弦值为( ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角（或 AB项 C26 其补角) ,GA1=GC1,O为A1C1的中点， 解析如图所示，取DD1的中点M,连接AM, .G0⊥A1C1. MF,ME 故异面直线DB1与EF所成的角为90° M,E分别为DD1,CC1的中点， D D ..D MLLC E, B A ,.四边形D1MEC1为平行四边形， ..ME LLC D. B E 图1 图2 方法二 如图2所示，连接A1D,取A1D的中 点H,连接HE,则HEDB,HE-DB, 又.C1D1LAB,.ME⊥AB, ∠HEF为异面直线DB,与EF所成的角（或 .四边形ABEM为平行四边形， 其补角) .AM∥BE. 连接HF,设AA1=k(k>0), .∠MAF(或其补角)为异面直线AF与BE所 则EF=号，HE=AP+AE-停. 成的角， (异面直线所成角的范围是0°<日≤90°) 取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF, ,AM= 设正方体的棱长为1，易得AF=5 2, Hr-Hn+1F-, MF=√2. .HF2=EF2+HE2,.∠HEF=90° 在△AMF中，由余弦定理得cos∠MAF= 故异面直线DB1与EF所成的角为90° 》+()-2 方法三如图3所示，连接A1C1,分别取AA1, 1 5 CC1的中点M,N,连接MN. E,F分别是A1B1,B1C1的中点， 答案D .EF∥A1C1. 2.平移法求异面直线所成的角 又MN∥AC1,.MNEF, 例5(2025·浙江富阳中学单元检测)在 连接DM,B1N,MB1,DN, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是 B NILDM, 165