8.5 空间直线、平面的平行-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第八章立体几何初步用 8.5空间直线、平面的平行 重点和难点 课标要求 1.了解基本事实4和等角定理. 重点：直线、平面平行的判定和性质 2.从空间点、直线、平面位置关系的定义和基本事实出 难点：直线与平面、平面与平面平行的 发，借助长方体并通过直观感知了解空间中直线与直线、直线 性质定理的发现过程；直线、平面 与平面、平面与平面的平行关系，归纳出平行的判定定理、性 平行的判定和性质的应用 质定理. 3.能利用所学结论证明空间基本图形平行关系的简单命题 MIIEIIIIIIIBIIB1IBI1IILI111011011110B111011111 必备知识梳理 IIIBIABIIIIIAIBAIBB0BB10I01B1111110111110111111 基础梳理 知识点（①直线与直线平行 敲黑板⊙ 1.基本事实4是证明空间两 1.基本事实4（平行线的传递性）~敲黑板 条直线平行的重要依据与方法. 自然语言 图形语言 符号语言 作用 2.基本事实4是平面几何中 平行结论在空间几何中的推广. 平行于同一条直线 a∥%，b∥c→判断或证明空间 3.应用基本事实4证明空 的两条直线平行 中两条直线平行 间两条直线平行时，常与平行四 边形、三角形的中位线、梯形的 中位线等平面几何知识结合. 2.等角定理 4.在空间中证明两角相等， 自然语言 图形语言 符号语言 作用 可利用等角定理或三角形相似 或全等 如果空间中 A 在∠AOB与∠A'OB 两个角的两 判定与证 5.等角定理的推论 B 条边分别对 中，OA∥O'A',OB∥ 明两个角 ①如果一个角的两边与另 应平行，那 A A OB',则∠AOB 相等或互 一个角的两边分别对应平行，并 么这两个角 B ∠A'O'B'或∠AOB 且方向相同或相反，那么这两个 O B 补 +∠A'O'B'=180° 相等或互补 相等 互补 角相等。 ②如果一个角的两边与另 知识点（②直线与平面平行 一个角的两边分别对应平行，并 且一组对应边的方向相同，另一 1.判定定理◆敲黑板 组对应边的方向相反，那么这两 个角互补 自然语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条直线与此 敲黑板⊙ a中a,bCa,且a%→ 平面内的一条直线平行，那 1.线面平行的判定定理包 么该直线与此平面平行 alla 含三个条件：(1)直线a在平面 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行” a外，即a中a;(2)直线b在平面 145 重难点手册高中数学必修第二册RJA 2.性质定理 &内，即bCa;(3)两直线a,b平 行，即a仍.三个条件缺一不可. 自然语言 图形语言 符号语言 2.直线与平面平行的性质 条直线与一个平面平行，如 a/∥a,aCβ，a∩B=b→ 定理中有三个条件：(1)直线a 果过该直线的平面与此平面相 allb 和平面a平行，即a;(2)直线 交，那么该直线与交线平行 a在平面B内，即aCB;(3)平面 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”◆划重点 a,B相交，即a∩B=b.三个条件 3.性质定理的作用 缺一不可. 作用 内容 划重点 当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于 1.要证明直线a∥平面a, 证明线线平行 一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已 只需在平面。内找到一条直线 知平面的交线，从而得到两条直线平行 b,使得b∥a即可. 画一条与已知直线平 如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条 2.直线a∥平面a,直线a 直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面 行的直线 和平面α内的无数条直线平行， 与已知平面相交，交线就是所要画的直线 但是不会和所有的直线都平行. 知识点(3平面与平面平行 平面a内凡是不与a平行的直 线，都与a异面. 1.判定定理◆敲黑板 自然语言 图形语言 符号语言 敲黑板⊙ 1,利用判定定理证明两个 如果一个平面内的两条相 a 交直线与另一个平面平行， aCa,bCa,a∩b=P, 平面平行时，必须具备两个条 a//B.b//B-a//B 件：(1)一个平面内有两条直线 那么这两个平面平行 平行于另一个平面；（2)这两条 直线必须为相交直线。 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行” 2.利用性质定理论证问题 2.判定定理的推论 时必须具备三个条件：a∥B,a∩ 自然语言 图形语言 符号语言 y=a,B∩y=b.这三个条件缺 一不可 如果一个平面内有两条相 aCa,bCa,a∩b=P， 交直线分别平行于另一个 a 划重点 平面内的两条相交直线，那 a'Cβ，b'Cβ，a'∩b'= b P',aa',bb'→aR 1.判定两个平面平行与判 么这两个平面平行 3ap六 定线面平行一样，应遵循“先找 3.性质定理 后作”的原则，即先在一个平面内 找到两条与另一个平面平行的相 自然语言 图形语言 符号语言 交直线，若找不到再作辅助线。 2.要证明面面平行，由平面 两个平面平行，如果另一个 与平面平行的判定定理知，需在 平面与这两个平面相交，那 aB,a∩y=a,Bny= 一平面内寻找两条相交且与另 b→a/b 么两条交线平行 一平面平行的直线.要证明线面 平行，又需根据直线与平面平行 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行” 的判定定理，在平面内找与已知 直线平行的直线，即： ◆划重点 146 第八章立体几何初步 4.两个平面平行的其他性质 线线平行 线面平行的，线面平行 判定定理 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于 面面平行的 判定定理 面面平行 另一个平面， (2)平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等。 3.已知两个平面平行，虽然 一个平面内的任意一条直线都 (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 平行于另一个平面，但是一个平 (4)两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. 面内的一条直线与另一个平面 (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互 内的一条直线不一定互相平行， 相平行， (面面平行的传递性) 它们可能是平行直线，也可能是 重难拓展 异面直线，但不可能是相交直 线。 重难点(1平行关系的相互转化及综合应用 4.性质定理提供了证明线 1.线线平行的判定或证明方法 线平行的一种方法，应用时要紧 利用平行四边形两组对边分别平行 扣“两个平行平面同时和第三个 利用线线平行的传递性，即平行于同一条直线的两条直线平行 平面相交”这个条件 x(a∥c,b∥c→a/b) 利用三角形、梯形的中位线，平行线分线段成比例证明平行 证明线 利用“线面平行→线线平行”，即根据直线与平面平行的性质 线平行 定理，一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平 x(a∥&，aCB,anB=b→a∥b) 面相交，那么该直线与交线平行 利用“面面平行→线线平行”，即根据平面与平面平行的性质 定理，两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那 (&∥B,ny=a,Bny=b→a∥b) 么两条交线平行 反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条 直线平行 2.线面平行的判定或证明方法 证明线面平行 利用定义 利用线线平行判定定 利用面面平行 反证法 理（一条线在平面内， 直线与平 一条线在平面外) 面没有公 共点 示例：作平行面 (过端点作平行 线，找两条相交直 线的平行线) 示例：作平行四边形 示例：作中位线（或 在同一三角形中与 中位线平行的直线) 147 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA, 3.面面平行的判定或证明方法 方法1（定义法）：证明两个平面没有公共点. 方法2：利用“线面平行→面面平行”，即根据平面与平面平行 的判定定理，证明平面α内的两条相交直线m,l分别平行于平面 3,如图1. 方法3：转化为线线平行，即转化为证明平面。内的两条相交 直线m,l与平面3内的两条相交直线m1,l1分别平行，如图2. 方法4：利用面面平行的传递性，即平行于同一个平面的两个 平面平行，也就是若ay,3∥y,则α3，如图3. m 图1 图2 图3 方法5：反证法.◆拓视野 拓视野) 例①(2025·江西九江一中月考)如图，在三棱柱ABC 三种空间平行关系之间的转化 A1BC1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与 线面平行 B1C1不重合). 判定定理 质 性质 定理 定定理 定理 H 线线判定定理的推论面面 平行 性质定理 平行 由上图可以看出三者之间 可以进行适当的转化，即由两条 相交直线和平面平行可以判定 两个平面平行；同样，由两个平 (1)求证：BC/GH; 面平行的性质也可以推出直线 (2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点，求证：平面 与平面平行、直线与直线平行. 直线与直线、直线与平面、平面 EFA1平面BCHG. 与平面平行的这种相互转化是 证明(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，平面A,B,C1∥平面ABC,平面 立体几何中的重要思想方法. BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH, 故BCGH.(此步骤不可省略) (2)在三棱柱ABCA1B1C1中，E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点， ∴A1GBE,A1G=BE,.四边形BGA1E是平行四边形， ∴.AEBG. BG中平面A1EF,A1EC平面AEF,.BG∥平面A1EF. 又EFBC,BC丈平面A1EF,FEC平面A1EF,.BC∥平面A1EF. 又.BG∩BC=B,BG,BCC平面BCHG, .平面EFA1∥平面BCHG. 148 第八章立体几何初步用 8888888888 111 关键能力提升 1Hi1111111 题型(1 D 基本事实4和等角定理的应用 A 1.利用基本事实4证明线线平行或判断 图形的形状 例☑(2025·湖南浏阳一中单元检测)如 图，设E,F,G,H分别是空间四边形ABCD 图1 图2 的边AB,BC,CD.DA上的点，日5思 (1)四边形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM=∠D1A1C1 CF CG 入CB=CD=.求证： 证明(1)如图2，连接AC.在△ACD中， M,N分别是CD,AD的中点， .MN是△ACD的中位线， ∴MN/AC,MN=合AC 由正方体的性质得ACA1C1,AC=A1C1， :MNA,C,且MN-AC,即MN≠A,C, (1)当入=4时，四边形EFGH是平行四 .四边形MNAC1是梯形， 边形； (2)由(1)可知MN∥AC1,又ND∥A1D1, (2)当入≠μ时，四边形EFGH是梯形 ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补 证明如图，连接BD, ,∠DNM与∠D1AC1均为锐角， 在△ABD中，铝-品- ∴∠DNM=∠D1A1C1. 变式①(2025·福建三明一中月考)（多 .EH∥BD,且EH=λBD. 选)下列说法中，正确的结论有( CF CG 在△CBD中，CB-CD=H, A.如果一个角的两边与另一个角的两边 .FGBD,且FG=BD..EH∥FG, 分别平行，那么这两个角相等 ∴点E,F,G,H在由EH和FG确定的平面内. B.如果两条相交直线和另两条相交直线 (1)当A=4时，EH=FG, 分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直 故四边形EFGH是平行四边形， 角)相等 (2)当λ≠μ时，EH≠FG, C.如果一个角的两边和另一个角的两边 故四边形EFGH是梯形. 分别垂直，那么这两个角相等或互补 2.利用等角定理证明角相等或求角 D.如果两条直线同时平行于第三条直线， 例3(2025·浙江义鸟中学单元检测)如 那么这两条直线互相平行 图1，已知在棱长为a的正方体ABCD- 题型②直线与平面平行的判定及证明 A1B1C1D1中，M,N分别是棱CD,AD的中 1.借助线线平行的传递性判定线面平行 点.求证： 例④(2024·江西九江一中月考)如图， 149 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA 在长方体ABCD-A1BC1D1中，E,H分别是 题型(3平面与平面平行的判定及证明 棱A1B1,D1C1上的点（点E与点B1不重合）， 1.直接利用判定定理判定面面平行 且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1,CC1相 例6(2025·浙江慈溪中学单元检测)若 交，交点分别为F,G.求证：AD平面EFGH. D H 下列四个正方体中，A,B,C分别为其所在棱 的中点，D,E,F为正方体的三个顶点，则能得 D 出平面ABC∥平面DEF的是( B C 证明在长方体ABCD-A1B1CD1中，ADAD1. 又：EH∥AD1,ADEH. ,ADt平面EFGH,EHC平面EFGH, ∴.AD∥平面EFGH. B 2.借助三角形的中位线或重心特征判定 线面平行 例⑤如图，已知四面体ABCD,点P,Q 分别是△ABC和△BCD的重心.求证：PQ∥ 平面ACD. D 解析对于A选项，若平面ABC∥平面DEF,BCC 平面ABC,则BC∥平面DEF,由题图可知BC与平面 DEF相交，故平面ABC与平面DEF不平行，A错误. D 对于B选项，如图1，连接NG. M B 证明如图，取BC的中点E,连接AE,DE ,点P是△ABC的重心， AE过点P,AE:PE=3:1, (使心特中我分成2：1，南站8品-） 图1 点Q为△BCD的重心， 因为A,C分别为PN,PG的中点，所以ACNG, DE过点Q,DE:QE=3:1. 在正方体EHDG-MFNP中，FN∥EG且FN= ∴.在△AED中，PQ∥AD. EG,故四边形EFNG为平行四边形，所以NG∥EF, 又，'ADC平面ACD,PQ中平面ACD, 所以AC∥EF,因为AC士平面DEF,EFC平面 .PQ∥平面ACD. DEF,所以AC∥平面DEF, 思维过程.. 同理可证BC∥平面DEF,因为AC,BCC平面 本题中构造直线PQ与AD平行，是充分借助 ABC,AC∩BC=C,所以平面ABC/∥平面DEF,B正确. 题目中的条件“点P,Q分别是△ABC和△BCD (证明面面平行的关键是证明一个平面内的两条相交直线与另 的重心”，借助线段成比例证明PQ∥AD.这种方法 一个平面平行，即两个线面平行) 经常会用到，要注意掌握 对于C选项，如图2， 150 第八章立体几何初步用 88888888889 证明(1)如图， B .EF//B D,B D//BD, .EF∥BD E,F,B,D四点共面 D 图2 D 在正方体PHDG-MNFE中，若平面ABC∥平面 DEF,且平面DEF∥平面MNHP, 则平面ABC∥平面MNHP,但这与平面ABC 与平面MNHP相交矛盾， (2)易证MNEF, (由图可知平面ABC与平面MNHP有公共点C) 设A1C1∩MN=P,A1C1∩EF=Q,AC∩BD=O. 因此平面ABC与平面DEF不平行，C错误. .PQILAO,∴.PAOQ: 对于D选项，在正方体PDHG-FNEM中，连接 又.MN/EF,MN∩AP=P,EF∩OQ=Q, PH,PM,MH,如图3. .平面AMN∥平面EFDB. 题型（④线面、面面平行的性质定理的 应用 1.线面平行的性质定理的应用 H 例⑧(2025·天津南开中学单元检测)如 图3 图1，P是平行四边形ABCD所在平面外的一 因为DHFM且DH=FM,所以四边形DHMF 点，M是PC的中点，在DM上取一点G,过点 为平行四边形，所以DFMH, G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证： 因为DF在平面PHM,MHC平面PHM,所以 AP//GH. DF∥平面PHM. 同理可证EF∥平面PHM,又因为DF∩EF=F, DF,EFC平面DEF,所以平面DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC和平面PHM相交矛盾，故平面 图1 图2 ABC与平面DEF不平行，D错误， 证明如图2，连接AC,交BD于点O,连接MO. 答案B ,四边形ABCD是平行四边形， 2.作辅助线利用判定定理判定面面平行 ∴.O是AC的中点. 例7(2025·辽宁沈阳二中月考)在正方 又M是PC的中，点， 体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱 .AP/∥OM. 而AP达平面BDM,OMC平面BDM, A1B1,A1D1的中点，E,F分别为棱B1C1, ∴.AP∥平面BDM. CD1的中点.求证： ,平面PAHG∩平面BDM=GH,APC平面 (1)E,F,B,D四点共面； PAHG, (2)平面AMN平面EFDB. ..AP//GH. 151 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 方法总结 又因为△ADB为正三角形，所以∠DBA=60° 利用线面平行的性质定理解题的步骤 又F为AB的中点，所以DF⊥AB. 1.确定（或寻找）一条直线平行于一个平面. 又△BCD为等腰三角形，∠BCD=120°， 2.确定（或寻找）过这条直线且与这个平行平 所以∠DBC=30°， 面相交的平面 所以∠ABC=∠DBA+∠DBC=90°，即BC⊥ 3.确定交线. AB,所以DFBC, 4.由定理得出结论. 又DF中平面EBC,BCC平面EBC, 2.面面平行的性质定理的应用 所以DF∥平面EBC. 例9(2025·湖北黄冈中学期中)在通用 又DF∩MF=F,DFC平面DMF,MFC平面 DMF 技术课上，老师给同学们提供了一个如图1所 所以平面DMF∥平面EBC, 示的木质四棱锥模型E-ABCD,△ABD为正 又因为DMC平面DMF, 三角形，BC=CD=2,∠BCD=120°，M为线 故DM∥平面BCE, 段AE的中点. (面面平行的性质：两平面平行，一个平面内的所有直线都与另 ▣ 一个平面平行) ▣ (2)①如图3，延长DC,AB交于点P,连接PM 视频微课 交BE于点N,点N即为所求，理由如下： 连接CN,过，点N作NQ∥AE交AB于点Q,如 图1 图，因为DM∥平面ECB,DMC平面PDM,平面 PDM∩平面ECB=CN, (1)求证：DM平面BCE. 所以DMCN,所以D,M,N,C四点共面 (2)过点M,D,C的平面a交EB于点N, ①作图，确定N点的位置（在图上画线要 保留辅助线，并写出作图步骤)； M ②球的值 Q B 解析(1)记F为AB的中点，连接DF,MF,如 图3 图2. ②由BC=CD=2,∠PCB=180°-∠BCD= 60°，CB⊥BP, 得∠CPB=30,所以PC=4, k别-8器--号 又因为NQ∥AE, 图2 所以8PN2 因为F,M分别为AB,AE的中点，所以MF为 AM PM3 △ABE的中位线，所以MFEB. 则Ne-NQ=1×21 A22AM2×3-3 因为MF在平面EBC,EBC平面EBC, BN NQ 1 所以MF∥平面EBC. 故BE-AE3 152 第八章立体几何初步用 方法总结 利用面面平行的性质定理解题的步骤 1.先找两个平面，使这两个平面分别经过要证 的两条直线中的一条。 2.判定这两个平面平行（此条件有时题目会直 图2 接给出). 因为AO1C平面AB1D1, 3.再找一个平面，使这两条直线都在这个平 所以，点E也在平面AB1D1内， 面上. 所以，点E就是A1C与平面AB1D1的交点. 4.由定理得出结论. 同理，连接AC交BD于点O,连接CO,CO与 A1C交于点F,则，点F就是A1C与平面C1BD的交点. 题型⑤平行关系的综合问题 下面证明A1E=EF=FC. 1.平行关系的相互转化 因为平面A1C1CA∩平面AB1D1=EO1,平面 例10如图1所示，已知正方体ABCD- A1C1CA∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面 C BD, A B C D1. 所以EO1C1F (1)求证：平面AB1D1平面C1BD; 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1 所以E是A1F的中，点，即A1E=EF 和平面C1BD的交点E,F,并证明：A1E=EF 同理可证OF∥AE, =FC. 所以F是CE的中点，即CF=FE 所以A1E=EF=FC. 变式2(2025·湖北黄冈中学月考)如图 所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D 中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动， 图1 D1M=DN=a(0<a<√2)，连接MN. 解析(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中， D AD ILB C, B M 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D D 又因为C1DC平面C1BD,AB1吐平面C1BD, B 所以AB1∥平面C1BD. (1)求证：对任意的a∈(0，W2),总有MN∥ 同理，B1D1∥平面C1BD. 平面DCC1D1; 又因为AB1∩B1D1=B1,AB1C平面AB1D1, (2)当a为何值时，MN的长度最小？ B1D1C平面AB1D1, 2.平行关系中的探索性问题 所以平面AB1D1∥平面C1BD 例1☐(2025·山东青岛二中单元检测)如 (2)如图2，连接A1C1交B1D1于点O1, 图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G 连接AO1,AO1与A1C交于点E. 分别为所在棱的中点，H,Q分别为AC,AD 153 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 的中点，连接EF,EG,FG,DQ,CQ,D1H. 证明如下：如图3，取CD上靠近D点的三等分，点 为点P,连接PD1,连接PH并延长交AB于点M,连 接DM,则平面D1PH与平面D1PM为同一平面. B D 图1 (1)求证：平面EFG平面ACQ, (2)在线段CD上是否存在点P,使得DQ∥ 图3 平面D1PH?若存在，求出点P的位置；若不 取线段D1M的中点N,连接QN,NP. 由平行关系及H为AC的中，点得△AMH≌ 存在，请说明理由， 解析(1)如图2，连接A1C1,BC1. △CPH,则AM-号AB-CD, 因为E,F,G分别为所在棱的中点， 因为Q,N分别为AD1,D1M的中点， 所以A1C1GF,EFBC1. 所以QN=2AM=专AB=3DC且QN/AM, 因为AD1∥BC1,所以AD1EF 又因为AD1C平面ACQ,EF寸平面ACQ, 又周为DP/AM且DP-号DC,即QN/DP且 所以EF∥平面ACQ. QN=DP, 同理可证GF∥平面ACQ. 所以四边形QDPN为平行四边形， 又因为GF∩EF=F, 故QDNP. 所以平面EFG∥平面ACQ. 又因为QD中平面D1PH,NPC平面D1PH, D 所以DQ∥平面DPH. A 方法总结 探索性问题具有开放性和发散性，此类题目的 条件和结论都不完备，需要自己去探索，结合已有 条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论.本题 图2 可用线面平行的判定定理确定点的存在规律，从而 (2)线段CD上存在点P,当DP= 1 3 DC时，满 得到，点P满足的条件.常见的位置为中点、三等分 点，可以先假设存在，再进行推理论证。 足DQ∥平面D1PH. 1A1A111111111011111111111001111111110111111111111111011111111111101111111111 核心素养聚焦 1111B1111111111111111111011111111111111111111111110111111111111111011110111111 考向（①￥ 线面平行的判定与证明 接PN,PM,因为N为AC的中，点， B B 例12（经典·北京卷节选）如图1，在三 棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方 形，M,N分别为A1B1,AC的中点. 求证：MN平面BCC1B1. 证明方法一如图2，设，点P为AB的中点，连 图】 图2 154