8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第八章立体几何初步用 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 重点和难点 课标要求 1.初步理解平面的概念、三个基本事实和推 重点：平面基本性质（三个基本事实）及其推论，空间 论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个 直线、平面的位置关系 基本事实和推论。 难点：对三个基本事实刻画平面性质的理解，三种语 2.在探究三个基本事实的情境中，感悟立体 言（图形语言、文字语言、符号语言）及其相互 几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法， 转化. 提升直观想象和数学抽象素养. MIIEIIIIIIIBIIBIIBI1IILI111011011110B111011111 必备知识梳理 IIIBIABIIIIIAIBIB1IB01001B11111111111001101111 基础梳理 知识点（①平面的概念、画法及表示 1.平面的概念 (1)生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌 面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一 些物体中抽象出来的.（直观理解） (2)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不 能进行度量。 平面无厚薄、无大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向 四周无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分.、（抽象理解） 2.平面的画法 与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面 的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表 示平面.如图1，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 横向；如图2，当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向. 敲黑板⊙ 1.除了用平行四边形来表 示平面外，有时根据需要也可用 其他平面图形来表示平面，如 B 圆、三角形、梯形等。 图1 图2 2.如果一个平面被另一个 3.平面的表示◆敲黑板 平面遮挡住，为了增强它的立体 我们常用希腊字母α，B,y等表示平面，如平面a、平面B、平面 感，我们常把被遮挡部分用虚线 Y等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内，也可以用代 画出来，如图所示 133 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA, 表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英 文字母作为这个平面的名称.图1中的平面α，也可以表示为平面 ABCD、平面AC、平面BD、平面ABC或者平面BCD (可以用平面内不共线的三个点表示平面) 4.空间中点、线、面位置关系的符号语言 以点作为元素，直线、平面都是由点构成的集合.因此，我们可 以借用集合中的符号来表示空间中点、线、面的位置关系.点、直 提个醒回 线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：◆个醒 1.用集合语言描述位置关 位置关系 符号表示 位置关系 符号表示 系时，“∈，C,∩”等符号虽然来 点P在直线a上 P∈a 点Q不在直线a上 QFa 源于集合符号，但在读法上却用 几何语言，例如，A∈a读作“点 点A在平面a内 A∈a 点B不在平面a内 Ba A在平面a内”；aCa读作“直 直线a在平面a内 aCa 直线l不在平面a内 l中a 线a在平面a内”；a∩B=l读 直线a与b相交于点A a∩b=A 平面a,3相交于直线l a∩3=l 作“平面a,B相交于直线”. 2.几何符号的用法原则上 知识点（②平面的三个基本事实及其作用 与集合符号的用法一致，但个别 1.三个基本事实及其表示 地方与集合符号略有差异.例 如，不用a∩b={A}来表示直 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 线a,b相交于，点A,而是简记为 过不在一条直线上的 A,B,C三点不共线 a∩b=A,这里的A既可以理 基本事实1三个点，有且只有 B /a A·0 →存在唯一的平面 解为一个点，又可以理解为只含 个平面 a使A,B,C∈a 一个元素（点）的集合. 如果一条直线上的两 个点在一个平面内， A∈l,B∈L,且A∈ 基本事实2 那么这条直线在这个 B a,B∈a→lCa 敲黑板⊙ 平面内 1.对基本事实1的理解 (1)基本事实1的条件为 如果两个不重合的平 “过不在一条直线上的三个点”， 面有一个公共点，那 P∈a,且P∈B→ 基本事实3 如果改为“过三个点”，则可能存 么它们有且只有一条 a∩B=l,且P∈l 在无数个平面. 过该点的公共直线 (2)基本事实1的结论为 。敲黑板。 “有且只有一个平面”，“有”指存 2.三个基本事实的作用 在性，“只有”指唯一性 2.对基本事实2的理解 基本事实 作用 (1)直线是所在平面的真 基本事实1 ①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面 子集 ①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验 (2)只需要满足直线上有两 基本事实2 平面 个点在一个平面内，则直线上的 基本事实3 ①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点 所有点都在这个平面内 134 第八章立体几何初步 3.基本事实1、基本事实2的三个推论 3.对基本事实3的理解 (1)若两个相交平面有两个 推论 自然语言 图形语言 符号语言 公共点，则过这两点的直线就是 经过一条直线和这条直 点A庄a→a与A共 相交平面的交线， 推论1线外一点，有且只有 …A 面于平面a,且平面唯 a (2)若两个相交平面有三个 个平面 公共点，则这三点共线。 a∩b=P→a与b共 经过两条相交直线，有 (3)若两个平面相交，则一 推论2 面于平面α，且平面唯 且只有一个平面 个平面内的直线与另一个平面 的交点必在两个平面的交线上 直线a仍→直线a,b 推论3 经过两条平行直线，有 共面于平面a,且平面 且只有一个平面 唯一 知识点③ 空间中直线与直线的位置关系 1.三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.于 是，空间两条直线的位置关系有三种： 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 共面直线 平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 2.异面直线的画法广（异面直线既不湘交，也不平行） 拓视野⊙ 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个 异面直线判定定理：经过平 或两个平面衬托，如图所示。 面外一，点和平面内一点的直线 和平面内不经过该，点的直线是 异面直线 已知AB∩a=B,A在a, B∈a,mCa,Bm,如图所示. ◆拓视野。 知识点（④空间中直线与平面的位置关系 B 1.三种位置关系 m 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 则直线AB与m是异面直 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 线（此定理可用反证法证明）. 直线在平面内 aCa 有无数个公共点 直线与平面相交 A a∩a=A 有且只有一个公共点 直线与平面平行 alla 没有公共点 135 重难点手册高中数学必修第二册RJA 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在 平面外 2.用图形表示三种位置关系的技巧 一般地，直线a在平面a内，应把直线a画在表示平面a的平 行四边形内；直线a与平面a相交，应画成直线a与平面a有且只 有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平 面a平行，应画成直线a与表示平面a的平行四边形的一条边平 行，并画在表示平面α的平行四边形外.◆配方法。 记方法回 知识点5空间中平面与平面的位置关系 如何区别空间图形中的 实线与虚线？ 1.平面与平面位置关系的分类 我们知道，画空间图形时， 有公共点→平面与平面相交→有无数个公共点（交线） 看得见的线画成实线，看不见的 无公共点→平面与平面平行 线画成虚线或不画.如果所有的 2.平面与平面位置关系的表示 线都画成实线，则同一个图形可 以想象出不同的形状.如图1， 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 可以想象出两种不同的形状： (1)想象成，点A和我们的眼睛 两平面平行 a/B 没有公共点 分别位于平面BCD的两侧，我 们看不见点A:(2)想象成点A 和我们的眼睛在平面BCD的同 侧，我们能看见点A.这样，就得 (在交线上) 斜交 aNB=I 无数个少 到了两种不同的形状.而对图2 则不会产生上述感觉，同时也将 合人的视觉效果原理：近实远虚 两平面相交 D (在交线上) 垂直 aLB 无数个少 图1 图2 3.两个平行平面和两个相交平面的画法 (1)两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示 平面的平行四边形画成对应边平行，如图1. (2)两个相交平面的画法： ①先画出表示两个平面的平行四边形相交的两边，如图2； ②再画出表示两个平面交线的线段，如图3； ③过图2中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图3 中表示交线的线段，如图4； ④画出表示平面的平行四边形的第四边，如图5. 、(被遮住的部分线段可画成虚线，也可不画) 136 第八章立体几何初步_排 写十长 图1 图2图3 图4 图5 重难拓展 重难点（① 平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢？三个平面呢？ (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图1； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图2. 图1 图2 (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图1； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六 部分，如图2； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如 图3； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时， 将空间分成八部分，如图4； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空 间分成七部分，如图5. a 拓视野⊙ 一个平面将空间分成两部 分，两个平面最多将空间分成四 图1 图2 图3 部分，三个平面最多将空间分成 八部分…由此猜测n(n∈ N)个平面最多将空间分成 图4 图5 。拓视野的 n3十5n+1部分。 6 例①(2025·浙江瑞安中学单元检测)三个平面最多能把空 间分成 部分，最少能把空间分成 部分 解析因为三个平面能把空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少能 把空间分成4部分，最多能把空间分成8部分 答案8；4. 137 重难点手册高中数学必修第二册RJA 培优突破 突破点(1 多面体的截面问题 用一个平面截多面体时，该平面与多面体表面的交线所围成 的平面图形是多面体的截面.截面是平面多边形.顶点在多面体的 棱上，边即平面与多面体表面的交线，也称为截线。 1.正方体中的基本截面类型◆划重点 划重点衡 我们先总结正方体的几种截面类型（如图），以此探究截面的 1.正方体截面的形状 性质。 ①截面可以是三角形：等边 三角形、等腰三角形、锐角三角 形.截面不可能是直角三角形、 钝角三角形. 锐角三角形 等腰三角形 等边三角形 梯形 平行四边形 ②截面可以是四边形：平行 (1) (2) (3) (4) (5) ,(对角面) 四边形、矩形、菱形、正方形、梯 (载面平行于一组对面时)4 形、等腰梯形.截面为四边形 时，这个四边形中至少有一组对 菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形 边平行. (6) (7) (8) (9) (10) 2.补全截面的方法一扩大已知面 ③截面可以是五边形，且此 时五边形必有两组分别平行的 (1)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在几何 边，同时有两个角相等.截面五 体的面与点所在几何体的一个面平行，过点作（找）直线的平行线 边形不可能是正五边形. 即截线 ④截面可以是六边形，且此 (2)延长线法：有时作已知线的平行线会发现其并不在几何体 时六边形必有三组分别平行的 的表面上，此时我们可以考虑用延长线法，以此找到截面与几何体 边.截面六边形可以是正六边形， (顶，点是正方体棱的中点时) 另一个面的交点。（若我面与一个平面有两个交点，可以速线并延 2.截面的特点 长，直至与其他平面相交) 3.作出截面的方法一辅助平面法（投影法） ①截线均在几何体的表面， 若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，在作截面时则需 而不是内部 要作一个辅助平面.作辅助平面一般需要先确定斜线在平面上的 (判定栽面完整的标准) ②如果两个平行的对面均有 射影，有两种常见形式.→（①连接斜足和垂足；②连接两个垂足） 截线，那么截线一定是平行的. 例2(2025·湖北黄冈中学单元检测)如图1，在棱长为4的 ③截线与几何体一个面中 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱AB,B1C1的中 的棱最多只有两个交点 点，过C,M,N三点作正方体的截面，则以点B为顶点，以该截面 有时题目给出的截面上的 为底面的棱锥的体积为( 线段在几何体的内部，它们围成 D 的图形并不是完整的截面，此时 就需要我们利用这三个特点，将 B 5 截面补全 M M M 图1 图2 图3 138 第八章立体几何初步 163 B.8 C83 3 D 3 解析确定截面有两种方法： 方法一如图2，连接CM,CN,过，点N在平面A1B1C1D1上作NP∥ CM,交A1B1于，点P,连接MP, 则四边形MCNP为过C,M,N三点的平面截正方体所得的截面， 方法二如图3，取A1B1的中，点Q,连接MQ,C1Q,CM,得到四边形 CC1QM为平行四边形，则C1Q∥CM.取B1Q的中点P,连接NP,可得 (Q是点M在平面A1B1C1D1上的射影，平面CC1QM是辅助面) NPC1Q,则NP/CM. 连接MP,CN,四边形MCNP为过C,M,N三点的平面截正方体所得 的截面。 如图3，连接BP,BN,NM,,正方体的棱长为4， C所求棱维的体积VVNB+VNMc-子SA·NB1十}SAMc B,B=号X2x2X1X2+3×2× 3×2×4X2×4=8. 答案B 例③(2025·浙江五校联考)四面体ABCD的所有棱长都是 3,点M,N,P分别在棱AB,AD,CD上，AM=2MB,AN=2ND, CP=2PD,平面MNP交BC于点Q,则BQ的长为( A号 R司 c时 ▣▣ D.1 解析如图1，因为四面体ABCD的所有棱长都是3，AM= 视频微课 2MB,AN-2ND,CP-2PD, 所以AM=2,BM=1,AN=1,CP=2,PD=1, 连接NM并延长，交DB的延长线于点T,连接TP,交BC于点Q. 在侧面ABD中，过，点N作NEBD交AB于，点E, T B F D M Q D M D T B D 图1 图2 图3 如图2，△AEN是边长为1的等边三角形， 故BM=ME,所以△ENM≌△BTM, 所以EN=BT=1,所以DT=BT+BD=4, 在底面BCD中，过点P作PFBC交BD于，点F, 139 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 如图3，△PDF是边长为1的等边三角形， 所以PF=DF=1,所以TF=3,BF=2, 周为PFBC所以部跟p日贸，所以BQ号 答案C 关键能力提升 题型（①平面的基本性质的应用问题 又平面ADD1A1∩平面ABCD=AD, 所以O∈AD,即A,O,D三点共线. 1.多点共线问题 2.多线共点问题 例④(2025·浙江富阳中学月考)如图1， 例5(2025·云南昆 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是 明一中单元检测)如图，在 AB,AA1上的点，且A1F=2FA,BE=2AE. 三棱锥S-ABC的边SA, D B SC,AB,BC上分别取点 E,F,G,H,若EF∩GH= P,求证：EF,GH,AC三条直线交于一点. 证明，E∈SA,SAC平面SAC,F∈SC,SCC E 图1 平面SAC, (1)求证：E,C,D1,F四点共面； ,∴.EFC平面SAC (2)设D1F∩CE=O,证明：A,O,D三点 ,G∈AB,ABC平面ABC,H∈BC,BCC平面 共线 ABC, 证明(1)如图2，连接EF,A1B,D1C. ∴.GHC平面ABC. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1F=2FA, 又.EF∩GH=P, BE=2AE,所以EF∥A1B. ∴.P∈平面SAC,P∈平面ABC. 因为BC∥A1D1,且BC=A1D1, ,平面SAC∩平面ABC=AC, 所以四边形BCDA1是平行四边形，所以A1B/D1C, ∴.P∈AC. 所以EF∥DC, 即直线EF,GH,AC共，点于点P. 所以E,C,D1,F四点共面. 3.点线共面问题 例6(2025·湖北黄冈中学单元检测)求 A 证：两两相交且不共点的三条直线在同一平 面内. 证明（先选取两条直线构造一个平面，然后证明另一条 直线也在这个平面内》 图2 已知：如图，l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C (2)由D1F∩CE=O,所以O∈D1F. 、A 因为D1FC平面ADD1A1,所以O∈平面 ADD A1, C B 同理，O∈平面ABCD. 求证：直线L1,l2,l3在同一平面内. 140 第八章立体几何初步用 方法一（纳入平面法） l1∩l2=A, l1和l2确定一个平面α. ,l2∩l3=B,.B∈l2. 又.l2Ca,∴.B∈a. 图1 图2 同理可证C∈a,.BCCa. :B∈l3,C∈l3,∴.l3Ca. 解析如图2，在平面AA1D1D内，D1F与DA .直线11，l2,l3在同一平面内. 不平行，分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相 交，设交点为M 方法二（辅助平面法） 因为M∈D1F,M∈DA,D1FC平面BED1F, .l1∩l2=A,.l1,l2确定一个平面a. DAC平面ABCD, (推论2) 所以M∈平面BED1F∩平面ABCD, ,l2∩l3=B,l2,l3确定一个平面B. 又B∈平面BED1F∩平面ABCD, A∈l2,l2Ca,A∈a. 连接MB,则平面BED,F∩平面ABCD=MB. A∈l2,l2CB,.A∈B. 故直线MB即为所求两平面的交线， 同理可证B∈a,B∈B,C∈a,C∈B. 变式①(2025·浙江富阳中学单元检测) .不共线的三个点A,B,C既在平面α内，又在 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4， 平面β内， M,N分别是A1B1和CC1的中点. ∴.平面a和B重合，即直线L1,l2,l3在同一平 面内。 方法总结 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明，点或线共面：①首先由所给条件中的 (1)画出过点D,M,N的平面与平面 部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线 BB1C1C及平面AA1B1B的两条交线； (或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分， (2)设过D,M,N的平面与B,C1交于点 然后分别确定平面，再证两平面重合 P,求PM+PN的值. (2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再 方法总结 证其他点都在这条直线上；②直接证明这些点都在 基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面 同一条特定的直线上. 有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只 (3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点， 要找出这两个平面的两个公共，点，就找到了它们的 再证其他直线经过该点。 交线.因此找两个平面的交线的突破口是找到这两 4.平面的交线问题 个平面的两个公共点。 例7(2025·湖南长沙一中月考)如图1， 题型(2 空间线线、线面、面面关系的判 E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 定问题 CC1,AA1的中点，试画出平面BED1F与平面 1.异面直线的判定问题 ABCD的交线. 例⑧(2025·浙江温州中学单元检测)如 141 重难点手册高中数学必修第二册RJA 图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分 5.借助模型（如正方体、长方体）举反例也是解 别是A1B1,B1C1的中点.问： 决这类问题的有效方法， (1)AM和CN是否是 2.空间两直线位置关系的判定 异面直线？请说明理由. 例⑨(2025·浙江杭州外国语学校单元 (2)D1B和CC1是否 检测)如图，若P是△ABC所在平面外一点， 是异面直线？请判断并说 PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M为AB的 明理由 中点，求证：PN与MC为异面直线. 解析（由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明 MNAC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知 D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用及证法) (1)不是异面直线.理由如下： .M,N分别是A1B1,B1C1的中点， M ∴.MN∥AC. B 又A1ALC1C, 证明方法一因为PA≠PB,PN⊥AB,N为 .四边形A1ACC1为平行四边形. 垂足，M是AB的中，点，所以点N与，点M不重合 ∴.A1C1∥AC,得到MN∥AC, 因为N∈平面ABC,P￠平面ABC,CMC平面 点A,M,N,C在同一个平面内， ABC,NCM, 故AM和CN不是异面直线. (利用异面直线的判定定理证明) (2)是异面直线.理由如下： 所以直线PN与MC为异面直线. 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内，则 方法二假设PN与MC不是异面直线，则存在 B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D (利用及证法证明) 一个平面a,使得PNCa,MCCa, ∴.BCC平面CC1D1D, 于是P∈a,C∈a,N∈a,M∈a. 这与ABCD-A1B1C1D1是正方体相矛盾. 因为PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足，M是AB .假设不成立，故D1B与CC1是异面直线 的中点， 方法总结-- 所以，点M与点N不重合 判定两直线异面的常用方法 因为M∈a,N∈a,所以直线MNCa. 1.定义法：不同在任一平面内的两条直线是异 因为A∈MN,B∈MN, 面直线. 所以A∈a,B∈a,即A,B,C,P四，点均在平面a内， 2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直 线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。 这与，点P在平面ABC外相矛盾. 所以假设不成立， 3推论法：一条直线上的两点与另一条与它异 面的直线上的两，点分别连成的两条直线为异面 故PN与MC为异面直线. 直线. 方法总结 4.证明立体几何问题的一种重要方法（反证 1.判定两条直线的位置关系时，若要判定直线 法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此 平行或相交，可用平面几何中的定义和方法处理； 假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一 若要判定直线异面，往往用定义法或反证法处理 已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推 2.借助几何模型判定两直线的位置关系，也是 翻假设，从而证明原结论是正确的. 常用的一种更直观的处理方法. 142