8.2 立体图形的直观图-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA, 8.2 立体图形的直观图 重点和难点 课标要求 重点：斜二测画法 能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、 难点：养成规范画图的习惯和掌握规范画图的技能 球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图. 必备知识梳理 基础梳理 知识点(1直观图与水平放置的平面图形的直观图的画法 1.直观图 拓视野⊙ 用来表示空间几何体的平面图形叫作空间几何体的直观图. 常见平面图形的直观图 我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图. (斜二测画法是一种特殊的平行报影画法) 图 2.水平放置的平面图形的直观图的画法 等边 圆 正方形 三角形 用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点 平行 图 椭圆 四边形 般 三角形 O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O', 且使∠xO'y=45°（或135），它们确定的平面表示水平面： (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别 画成平行于x'轴或y轴的线段， (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 敲黑板⊙ 不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.◆拓视野。 空间几何体的直观图 知识点2空间几何体的直观图的画法 画法剖析 1.要根据图形的特征选取 1.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤◆敲黑板。 适当的坐标系，简化绘制步骤 (1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 2.平行于y轴的线段，绘 Ox,Oy,再作Oz轴使∠xO2=90°，且∠yOz=90° 制直观图时长度一定要变为原 (2)画直观图时，把它们画成对应的轴O'x',O'y',Oz',使 来的一半 ∠x'O'y=45(或135)，∠x'0z'=90°，x'0y所确定的平面表 3.对于图形中与x轴、 示水平平面： y轴、之轴不平行的线段，可先 (3)已知图形中平行于x轴、y轴或之轴的线段，在直观图中 确定其端点在直观图中的位置， 然后连线。 分别画成平行于x'轴、y'轴或之'轴的线段，并使它们和所画坐标轴 的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同， 巧提炼风 (4)已知图形中平行于x轴或之轴的线段，在直观图中保持 简记为“横不变，纵减半，平 行位置不改变” 长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.◆巧提炼 112 第八章立体几何初步 (5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴O'x',O'y和O'之'， 拓视野⊙ 并将被遮挡的部分改为虚线，就得到了空间图形的直观图. 1.将直观图还原成平面图 2.画空间几何体的直观图的原则 形的过程是斜二测画法的逆过 (1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点 程，画法步骤中的有关规则要逆 建在图形的对称中心处 向转换，如x轴、y轴的夹角要 (2)要先画出底面的直观图，再画出其余各面. 变为90°，还原与y轴平行的线 段时，长度要变为直观图上长度 (3)与之轴平行的线段在直观图中应与之'轴平行且长度保持 的2倍，且保持与y轴平行. 不变.◆拓视野为 2.常见空间几何体的直 重难拓展 观图如下图所示 重难点(1 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 √2 ① ② ⊙ (1)以三角形为例，则有S三角形直观图= S原三角影.如图所示， 日a日小 1 S△ABC= 2AB·CD,它的直观图的面积SARG=2A'B·CE. ④ ⑤ ⑥ ⑦ O(A)D B x (AD'E'B A'B'-AB,C'E'-CD'CD. .S△4'BC= Sa (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： Ssnag-7Sia 因为平面多边形可分割成若干个三角形，记其面积分别为 S1,S2,…,Sm,且这若干个三角形的直观图的面积分别为S1, S2,…,Sn,所以S原平面多边形=S1十S2十…十Sn=2√2S1十2√2S2 十…十2√2S,=2√2(S1十S2十…十Sx)=2√2S平面多边形直观图，故 S平面多边形直观图4S原平面多边形 即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的 直观图的面积为S,则有5一平SR Γ4 (由于画圆的直观图一般不用斜二测画法，因此圆的面积及其直观图的面积不满足此关系) 113 重难点手册高中数学必修第二册RJA 例①(2025·湖南师大附中单元检测)如图1，在△ABC中， AC=12cm,边AC上的高BD=12cm,则其水平放置的直观图 的面积为 图1 解析方法一画x轴、y轴，两轴交于点O',使∠x'Oy'=45°作 △ABC的直观图如图2所示，则AC'=AC=12cm,BD'-BD=6cm, 故在△ABC'中，边AC'上的高为号BD-32cm,所以5c=2× 12×3√2=18√2(cm),即△ABC水平放置的直观图的面积为18√2cm2. 记方法回 根据平面图形的直观图求 原图形面积的两种方法 图2 1.由直观图还原出原图形， 方法二△ABC的面积为号ACXBD=- 2×12×12=72(cm2),由平 进而知道相关的量，从而求出原 图形的面积。 面图形的面积与其直观图的面积间的关系可得△ABC水平放置的直观图 2.根据直观图的面积与原 的面积是X72=18/2(cm.+ 图形的面积的关系进行求解 4 答案18v2cm2. HH1111i11Hi1i11 关键能力提升 1IAIT11NNBIA11111111011101011111111111111111101110011111111111111010111111111 题型(1利用斜二测画法画直观图 D y D'EZC 1.画水平放置的平面图形的直观图 D' C 例②(2025·西北工大附中周练)用斜二 /O'B A A B 测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观 图1 图2 图3 图（尺寸自定）. (2)在图2中以，点O'为线段A'B的中点，在x轴 解析(1)如图1，在等腰梯形ABCD中，以AB 上取AB'=AB,在y轴上取0E=OE,以点E 所在直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，OE(E (原图形中平行于y轴（或在y轴上）的线段在斜三测画法中 长度减半) 为DC的中点)所在的直线为y轴，建立平面直角坐 为线段D'C的中点，过点E作D'C'平行于x'轴，并 标系xOy.在图2中画出相应的坐标系x'Oy',并使 使D'C'=DC. ∠x'0'y'=45°. (3)连接A'D',B'C',并擦去辅助线x轴和y√轴， 114 第八章立体几何初步进 88888888 得到梯形A'B'CD',梯形A'BC'D'就是等腰梯形 (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点，使 ABCD水平放置的直观图，如图3所示， AB的长度等于俯视图中圆的直径3cm,且OA= 2.画常见的简单几何体的直观图 OB.在y轴上取C,D两点，使CD的长度等于俯视 例③用斜二测画法画一个上底面边长为 图中圆的直径的一半，即等于号cm,且0C=OD,然 1cm,下底面边长为2cm,高（两底面之间的距 后用一条光滑曲线连接A,C,B,D,这个椭圆即为圆 离，即两底面中心连线的长度)为2cm的正四 柱的下底面. 棱台. (3)画圆柱的上底面.在之轴上取点O',使OO等 解析(1)画轴.如图1所示，画x轴、y轴、之轴，三 于圆柱的高3cm,过点O'作平行于x轴的x'轴和平 轴相交于，点O,使/Oy=45°，∠O2=90°，∠yO2=90°. 行于y轴的y'轴，用圆柱下底面的作法作出圆柱的上 底面. D (4)画圆锥的顶，点.在之轴上取一，点P,使PO'等 于3cm. D (5)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',擦去辅助 B 图 图2 线，并且将被遮住的部分改为虚线，得到此几何体的 直观图，如图2所示. (机器部件) (2)画下底面.以点O为中，点，在x轴上截取线段 MN=2cm,在y轴上截取线段PQ=1cm.分别过点 M,N作y轴的平行线，过点P,Q作x轴的平行线， 设它们的交点分别为A,B,C,D,那么四边形ABCD 就是正四棱台的下底面. (3)画高.在Oz上截取OO'=2cm,过，点O'分别 图1 图2 作平行于x轴、y轴的直线Ox',O'y' (4)画上底面.在平面x'O'y′上用画正四棱台下 题型(2 直观图画法的综合应用 底面的方法画出边长为1cm的正四棱台的上底面的 1.由直观图还原出平面图 直观图A'BCD'. 例5(2025·四川成都七中单元检测)如 (5)成图.顺次连接AA',BB',CC',DD,整理得 图1，△A'BC'是水平放置的平面图形的斜二 (去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) 测直观图，请将其恢复成原图形 到正四棱台的直观图，如图2所示， 3.画简单组合体的直观图 C 例④(2025·江西临川一中单元检测)有 A 图1 个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是 解析(1)在已知图形中画坐标系x'O'y',使 一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重 ∠x'O'y'=45°，C'A'在x'轴上，C'与O'重合，如图2 合，圆柱的底面直径为3cm,高为3cm,圆锥 所示 的高为3cm,画出此器部件的直观图， B 解析（可以先画出下面的圆柱的直观图，再画出上面的 圆锥的直观图)】 (1)画轴.如图1所示，画x轴、y轴、之轴，使∠xOy (C) O'D' A (C) A =45°，∠xOz=90°，∠y0z=90°. 图2 图3 115 重难点手册高中数学必修第二册RJA (2)画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA', 点C与点O重合，即CA=C'A' 等荣皇 (3)在图2中，过点B作B'D'∥y轴，交x'轴于 3.由直观图的特征求原图形的面积 点D',在图3中的x轴上取OD=OD',过，点D作 例7如图1，梯形A1B1C1D1是平面图形 DB轴，并使DB=2DB' ABCD的直观图.若A1D1平行于y轴，AB1∥ (4)连接AB,BC,则△ABC即为△A'B'C'原来 的图形，如图3所示. CD1,A1B1=3CD1=2,AD1=OD1=1. 思维过程 由直观图还原平面图形的两个关键点： 请画出原来的平面几何图形，并求出原图形的 (1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴 面积 的线段长度扩大为原来的2倍， (2)对于相邻两边不与x'轴、y'轴平行的顶，点， 可通过作x'轴、y轴的平行线确定其在直角坐标系 xOy中的位置. 图1 2.由原平面图的特征进行直观图的相关 解析如图2，建立直角坐标系xOy,在x轴上截 计算 OD=0'D=1,0C=0'C=2. 例6(2025·浙江天台中学单元检测)如 B 图1所示的正方形ABCO中点B的坐标为(2， 2),则在由斜二测画法画出的正方形ABCO的 直观图A'B'CO中，顶点B到x'轴的距离为 D O 图2 B2,2) 过点D作y轴的平行线，并截取DA=2D1A1=2. 过点A作x轴的平行线，并截取AB=A1B1=2. 连接BC,即可得到原图形. 方法一由作法可知，原四边形ABCD是直角 图1 梯形，上、下底长分别为AB=2,CD=3,高AD=2. 解析如图2，用斜二测画法作出正方形ABCO 所以面积为S-23×2=5 2 的直观图，在斜坐标系x'Oy中，B'C=1,∠x'CB= 45°，过，点B'作x'轴的垂线，垂足为点D.在Rt△B'D'C 方法二图为AB-号CD,=2,AD,=0D, 中，BD=B'C'sin45=1X号-9 2 =1,A1D1/Oy',也即∠A1D1C1=45°. y 所以蒂形AB,CD,的高为号， A B 故S桥形A1B,CD,= 2 X(2+3)=52 C'D' 图2 所以S梯形ABD=2√2S梯形A1B1C1D,=5. 116