8.1 基本立体图形-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第八章 立体几何初步 8.1基本立体图形 重点和难点 课标要求 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认 重点：多面体、旋转体及基本几何体的结构特征 识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运 难点：几何体结构特征的抽象概括。 用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 必备知识梳理 I 基础梳理 知识点（①空间几何体、多面体、旋转体的概念 1.空间几何体的概念 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他 记方法@ 因素，那么由物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体.◆记方法© 辨别空间几何体的两种方法 2.多面体的概念 紧扣定义，由已知构建几何模 一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体 型，在条件不变的情况下，变换 (判断是否为多面体的关键是青该几何体的各面是否均为平面多边形)/ 义模型中的线面关系或增加线、 (如图1).围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，如面ABCD, 面等基本要素，根据定义进行 判定 面BCC'B';相邻两个面的公共边叫作多面体的棱，如棱AB,棱 通过反例对结构特征进行辨 AA';棱与棱的公共点叫作多面体的顶点，如顶点A,顶点D'· 反例 析，要说明一个结论是错误的 法 ◆敲黑板的 只需举出一个反例即可 顶点 敲黑板⊙ 1.多面体由平面多边形围 成，这里的多边形包括它内部的 图 图2 平面部分 2.多面体至少有四个面. 3.旋转体的概念 3.常见的正多面体如图所示. 条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转 所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转 体（如图2）.这条定直线叫作旋转体的轴， 正四面体正六面体正八面体 (1)旋转的平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或其他 曲线 正十二面体 正二十面体 (2)常见的旋转体如图所示。 102 第八章立体几何初步进 7 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 圆柱 圆锥 圆台 球 知识点②棱柱、棱锥、棱台的结构特征 提个醒回 1.棱柱 有两个面平行，其余各面都 是平行四边形的多面体不一定 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边 是棱柱，如图。棱柱还需满足各 棱柱的定义 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱 侧棱互相平行且相等， ◆提个醒海 两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧 相关概念 面；相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶 点叫作棱柱的顶点◆划重点 D 图形 侧面 底面 划重点 侧棱 B顶点 棱柱的结构特征 A 1.两底面互相平行 ①棱柱按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六 2.各侧面都是平行四边形 棱柱… 分类及表示 3.各侧棱互相平行且相等 ②可以用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图所示的六棱 柱可表示为棱柱ABCDEF-A'B'C'DE'F 2.棱锥 划重点 棱锥的结构特征 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 棱锥的定义 1.仅有一个底面且是多边 由这些面所围成的多面体叫作棱锥◆划重点。◆拓视野。 形（三角形、四边形…）. 多边形面叫作棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫作 2.侧面都是三角形，且各侧 相关概念 棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点；相邻侧面的 面有且只有一个公共顶点 公共边叫作棱锥的侧棱 一顶点 拓视野⊙ 侧棱 正棱锥的定义 图形 侧面 底面是正多边形，且顶点与 低面 底面中心的连线垂直于底面，这 R 样的棱锥叫作正棱锥，其中，顶 ①棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥… 点与底面中心的连线叫作正棱 锥的高，侧面等腰三角形底边上 分类及表示 其中三棱锥又叫作四面体， ②可以用表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥，如图所示 的高叫作正棱锥的斜高. 的四棱锥可表示为棱锥S-ABCD 103 重难点手册高中数学必修第三册RJA。 3.棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的 划重点 棱台的定义 那部分多面体叫作棱台（棱台侧面的梯形的腰延长后交于一点） 棱台的结构特征 1.上、下底面是互相平行且 原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面；其他 相似的多边形（三角形、四边 相关概念 各面叫作棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱 ◆划重点 形…). 2.各侧面都是梯形，且各梯 形的腰的延长线交于一点 C 图形 上底面 侧 B 侧面 棱 D y 下底面 ①由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫作三棱 分类及表示 台、四棱台、五棱台… ②可以用表示底面各顶点的字母表示棱台，如图所示的四棱 台可表示为棱台ABCD-A'B'C'D' 划重点 圆柱的结构特征 知识点(3 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 1.两底面是互相平行且全 1.圆柱 等的圆面 2.母线有无数条，都平行于轴. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的 圆柱的定义 3.轴截面为矩形. 面所围成的旋转体叫作圆柱 拓视野) 旋转轴叫作圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆 圆柱及其截面图 相关概念 柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面；无 论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫作圆柱侧面的母线 ◆划重点g 底面 横截面轴截面斜截面 A 其中过圆柱轴的截面叫作 图形 母线 轴 侧面 轴截面.由于轴截面能很好地表 底面 示原旋转体的主要几何量，所以 B 在研究旋转体时，我们常采用轴 圆柱一般用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆柱可表示 截面法，即将空间问题平面化 表示 为圆柱O'O◆拓视野) 划重点淘 2.圆锥 圆锥的结构特征 1.底面是圆面，平行于底面 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋 的横截面是比底面小的圆面， 圆锥的定义 转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥 2.圆锥的顶，点与底面圆周上 任一点的连线都是圆锥的母线。 旋转轴叫作圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆 3.母线有无数条，且长都相 相关概念 锥的底面；三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫作圆锥的侧 面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫作圆锥的母线 等，侧面由无数条母线组成.。 ◆划重点 4.轴截面为等腰三角形 104 第八章立体几何初步进 续表 图形 母线 侧面 A 底面 圆锥一般用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆锥可表示 表示 为圆锥SO 3.圆台 用平行于圆维底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台的定义 叫作圆台 圆台是由直角梯形以直角边所在直线为旋转轴，其余三边旋 转一周形成的面所围成的旋转体，旋转轴叫作圆台的轴（即 上、下底面圆心的连线)；截面和原圆锥的底面分别叫作圆台 相关概念 的上底面和下底面；直角梯形中不垂直于底边的腰旋转而成 的曲面叫作圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于底边 划重点 的腰都叫作圆台的母线◆划重点 圆台的结构特征 上底面 1.上、下底面是半径不相等 侧面 轴 且互相平行的圆面， 图形 母线 2.母线有无数条，且长都相 下底面 等，各条母线的延长线交于一点 B 3.轴截面为等腰梯形. 圆台一般用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆台可表示 表示 拓视野⊙ 为圆台010 从集合的观，点来看，球可看 4.球 作空间中与一个定点的距离小 于或等于定长的点的集合，这个 球的定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫作 定点就是球心，定长就是球的半 球面，球面所围成的旋转体叫作球体，简称球◆拓视野。 径，而球面可看作空间中与一个 半圆的圆心叫作球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段 定，点的距离等于定长的，点的 相关概念叫作球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的 集合 直径◆划重点。 划重点 球的结构特征 9半径 1.球是旋转体，由球面及其 图形 所围成的空间部分构成。 今球心 直径 2.用一个平面去截球，截面 B 都是圆面，轴截面为面积最大的 截面. 表示 球常用表示球心的字母表示，如图所示的球可表示为球O 105 重难点手册高中数学必修第二册RJA。 知识点（④简单组合体的结构特征 1简单组合体的概念9收维与回镜和为维体 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等 简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这 些几何体称作简单组合体 敲黑板⊙ 2.简单组合体的两种基本组成形式 简单组合体的分类 一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去 (I)多面体与多面体的组合体 (2)多面体与旋转体的组合体， 或挖去一部分构成，如图所示.◆敲黑板) (3)旋转体与旋转体的组合体 3.常见的几种简单组合体 (1)多面体与多面体的组合体：图1中的几何体由一个四棱柱 挖去一个三棱柱得到 图1 图2 图3 (2)多面体与旋转体的组合体：图2中的几何体由一个三棱柱 挖去一个圆柱得到. (3)旋转体与旋转体的组合体：图3中的几何体由一个球和一 个圆柱组合而成 重难拓展 记方法回 ........... 如图，设球心为O,截面圆 重难点（① 球的截面圆及其应用 圆心为O1,如果分别用R和T (1)球的任何截面都是圆面，过球心的截面圆是大圆. 表示球的半径和截面圆的半径， (球心和载面圆心的连线与这个载面垂直) 用d表示球心到截面的距离， (2)求解球的有关问题时，一般要考虑球的大圆，用平面几何 则R2=r2+d,即球的半径、截 知识求解 面圆的半径与球心和截面圆心 的连线组成一个直角三角形.球 例①一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π， 的有关计算问题常归结为解这 则球的直径为 个直角三角形的问题， 解析设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,则d=1,πr2=π， .r=1. 设球的半径为R,则R=√d2十r7=√2，故球的直径为2√2.记方法@ 答案2W2. 106 第八章立体几何初步 重难点(2正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论： 拓视野⊙ (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形. 正方体不同的截面图形如 、(载面不可能是直角三角形、钝角三角形) 图所示， (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯 形、等腰梯形 (载面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行) 角一角 等腰三角形 等边三角形 (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的 边，同时有两个角相等。（我面五边形不可能是正五边形） (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边. 梯形 等腰梯形 平行四边形 (载面六边形可以是正六边形) ◆拓视野的 例②（多选）正方体截面的形状有可能为(). 方形 菱形 矩形 A.正三角形B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面ACD1为正三角形，平行 般五边形 一般六边形 正六边形 于底面的所有截面都是正方形，分别取AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A六 条棱的中点，顺次连接这六个，点所得的六边形为正六边形，所以选项A,B, D正确. 答案ABD M 关键能力提升 I1I1 题型(1 根据几何体结构特征的描述 全等的正方形，不是正方体；根据棱柱的相关概念可 判断几何体的形状问题 知D正确！ 1.根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断 几何体的形状问题 例B(2025·浙江杭州学军中学单元检 图」 图2 答案D 测)下列说法中正确的是( 2.根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征判 A.有两个面平行，其余各面都是四边形的 、 断几何体的形状问题 几何体叫作棱柱 例④（多选）下列判断正确的是(). B.有两个面平行，其余各面都是平行四边 A.由八个面围成，其中两个面是互相平行 形的几何体叫作棱柱 且全等的正六边形，其他各面都是矩形的几何 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正 体是正六棱柱 方体 B.一个等腰梯形绕着两底边中点的连线 D.九棱柱有9条侧棱、9个侧面，侧面为平：所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成 行四边形 的几何体是圆台 解析A,B错误，反例如图1；C错误，反例如 C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个 图2，上、下底面是全等的非正方形的菱形，各侧面是：点，则这两点的连线是圆柱的母线 107 重难点手册高中数学必修第二册RJA D.一个圆绕其一条直径所在的直线旋转 方案三如图4所示，此几何体可由一个三棱柱 180°形成的封闭曲面围成的几何体是球 和两个四棱锥拼接而成， 解析八个面中有两个面是互相平行且全等的正 六边形，其他各面都是矩形，满足相邻两个矩形的公 共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱，A正确.等 腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 图2 图3 形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何 E 体为圆台，B正确.当上、下底面圆周上两点的连线与 轴平行时才是母线，C错误.D显然正确。 答案ABD M N B 图4 题型2简单组合体的识别及其应用 问题 3.组合体的截面图形的判断问题 1.简单组合体的构成分析问题 有关球内切或外接于棱柱、棱锥的组合体 例⑤如图所示，该组合体可 的问题比较复杂，解决这类问题的关键是画出 以看作由一个 一个适当的球的截面，这个截面中能够包含 和一个 球、多面体的各种元素并能体现这些元素之间 组合而成的简单组合 的关系。 体，也可以看作由一个 例7(2025·重庆一中月考)一个正方体 去掉一个 形成的组合体， 内接于一个球，过球心作任一截面，则截面图 解析该组合体既可以看作由一个长方体和一个 形可能是下列图中的( 长方体组成的组合体，又可以看作由一个长方体挖去 一个长方体构成的组合体。 答案长方体；长方体；长方体；长方体 2.不规则几何体的构成分析问题 ② ③ 例6(2025·江西临川一中周练)如图1， A.①③ B.②④ 四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB,且EF< C.①②③ D.②③④ AB,试说明这个简单组合体的结构特征， 解析过球心任意作一个截面，不可能得到圆内 接正方形，故④不可能.当截面与正方体的一面平行 时，截面图形形如③；当截面与正方体任意面都不平 行时，截面图形形如①②.故选C 答案C 图 视野拓展 与球有关的截、切、接示意图 解析（解答此类问题的关镀是作出辅助线来分析几何体 与简单几何体的关系) 方案一如图2所示，此几何体可由一个三棱柱 和一个四棱锥拼接而成. 7 方案二如图3所示，此几何体可由一个三棱锥 B 和一个四棱锥拼接而成。 球与平面ABC 正方体与内切球 108 第八章立体几何初步甜 关系对解决有关正棱锥的各种问题很有用处. 正方体与外接球 正四棱锥与外接球 2.圆柱、圆锥、圆台中相关元素关系的探 题型(3简单几何体中的计算问题 求问题 1.棱柱、棱锥、棱台中相关元素关系的探 例⑨(2025·江苏苏州中学月考)轴截面 求问题 图形为正方形的圆柱叫作等边圆柱.已知某等 例⑧已知正四棱锥的高为√3，侧棱长为 边圆柱的轴截面面积为16cm,则该等边圆柱 √7，则其斜高为 的底面周长为 cm 解析如图，在正四棱锥S-ABCD中，高SO= 解析（作出圆柱的轴截面，建立轴载面的边长和圆柱的 √3，侧棱SA=SB=SC=SD=√7. 底面半径之间的关系印可求解.） 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD,由题 意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为 r,则AB=AD=2r.轴截面ABCD的面积S=ABX AD=2r×2r=4r2=16(cm2),解得r=2cm.故该等 边圆柱的底面周长C=2rr=4π(cm). 在Rt△SOA中， OA=√SA2-S02=W(W7)2-(W3)2=2, .AC=2OA=4. ∴.AB=BC=CD=DA=2W2. 作OE⊥AB于点E,则点E为AB的中点. 连接SE,则SE即为斜高 答案4π. 在Rt△SOE中，OE= 2BC=/2,S0=V3, 3.简单组合体中的计算问题 例10已知一个棱长为6cm的正方体塑 .SE=√2+3=√5，即斜高为√5】 料盒子（无上盖）的上口放着一个半径为5cm 答案√5 的钢球，则球心到盒底的距离为 cm. 解题通法 解析如图所示，球心到盒底的距离可以看作一个 在解决正棱锥的有关问题时，要注意利用四 组合体的上顶，点到下底面的距离，这个组合体可以看 个直角三角形.如图，O为底面正多边形的中心，E 作下面是棱长为6cm的正方体，上面是以球心为顶 为AB的中，点，四个直角三角形为Rt△VOA、 点，正方体上底面截钢球所得的圆面为底面的圆锥， Rt△AEO、Rt△VEA和Rt△VOE,它们包含了棱 圆锥底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的高为 锥的高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形 √52-3=4cm,所以球心到盒底的距离为6十4= 的外接圆半径和内切圆半径.理解这些元素之间的 10cm. 109 重难点手册高中数学必修第二册RJA 同 A B C D 解析在这个正方体的展开图中，与有圆的面相 邻的三个面中都有一条直线，当展开图变成正方体 答案10. 后，这三条直线应该相互平行，故A,C错误；又D中 4.与空间几何体的截面相关的计算问题 正方体的三个面内都没有图形，与展开图矛盾，故 D错误. 例11(2025·浙江余姚中学单元检测)从 答案B 一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个 2.空间几何体的展开问题 以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆 例13(2025·湖北黄冈中学月考)如图1， 锥，得到如图1所示的几何体.如果用一个与 在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2, 圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面 ∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从 去截这个几何体，则截面面积为 点A出发，沿三棱锥的表面绕一周再回到点 A,则蚂蚁经过的最短路程是 2R 图1 解析图1中的几何体的轴截面如图2所示，OA 图1 =AB=R,所以△AOB是等腰直角三角形.又CD∥ 解析将三棱锥P-ABC的侧面沿PA剪开，再展 OA,则CD=BC.设O1D=x,则CD=R-x.又BC 开，得到五边形PABCA',如图2.，在三棱锥P =R一L,故x=l,所以所求截面面积S=πR2一πl2= ABC中，PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC= π(R2-12), ∠APC=30°，∴.图2中∠APA=3×30°=90°.连 接AA',分别交PB,PC于点D,E,在Rt△AA'P中， AA'=√PA2+PA2=2√2. 2R 图2 答案π(R2一l2). B 题型（④折叠与展开问题 图2 图3 如图3，再将此展开图围成三棱锥PABC的侧 1.空间几何体的折叠问题 面，得到折线AD-DE-EA. 例12(2025·浙江温州五校联考)如图是 ,AA'=AD十DE+EA',∴.蚂蚁从点A出 一个正方体的展开图，将其折叠起来变成正方 发，沿AD-DE-EA的路线行走，即为回到，点A的最 体后的图形是( 短路线。 因此，蚂蚁从，点A出发，回到点A的最短路程为 2√2. 答案2W2. 110 第八章立体几何初步甜 888888888 111 核心素养聚焦 110101000000110010101011010101111111111101110010010011110111010111001000111011 考向(1判断几何体的结构特征 EF,PF(先算出侧面两个等腰三角形的高，再转化到中心三 角形中求解). 例14（经典·福建卷）如图，若Ω是长方 体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几 何体EB,F-HC1G后得到的几何体，其中E为 线段AB1上异于B1的点，F为线段BB1上 异于B1的点，且EH∥A1D1,则下列结论中不 图2 正确的是(). .PA=PB,PE⊥AB. D A.EH∥FG B 又PA=4,AE=AB=2, B.四边形EFGH是矩形 ∴PE=√PA2-AE2=√42-2=2√5， C.2是棱柱 D D.2是棱台 同理可得，PF⊥CD,PF=√PC2-CF2= A B 解析根据棱台的性质（侧棱延长之后必交于一点，即 √(2√2)2-22=2. 棱台可以还原成棱锥)可知，几何体不是棱台. E,F分别是AB,CD的中点， 答案D BELLCF,.四边形BCFE是平行四边形. 又AB⊥BC,∴.四边形BCFE是矩形， 考查内容 核心素养 试题难度 .EF=BC,EF⊥AB. 考查空间几何体的结构特征 直观想象 ★☆☆☆☆ 又AB⊥PE,EF∩PE=E,EF,PEC平面PEF, 及判断空间几何体的形状 逻辑思维 .AB⊥平面PEF. 考向2 几何体的结构特征探求与特征 又ABC平面ABCD. 量的计算 ∴.平面PEF⊥平面ABCD, 例15(2024·北京卷)如图1，在四棱锥 过，点P作PH⊥EF于点H. P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方 又平面PEF∩平面ABCD=EF, 形，PA=PB=4,PC=PD=2√2，该棱锥的高 ∴.PH⊥平面ABCD,即PH为四棱锥P-ABCD 为(). 的高. .PE2+PF2=EF2,..PEPF, Se=PE·PF=PH·ER, 1 ..PH= PE.PF_23X2-/3. EF 4 图1 答案D A.1B.2 C.√2 D.3 考查内容 核心素养 试题难度 解析四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方 形，且AB=4,PC=PD=2N2,PA=PB=4. 考查四棱锥的结构特征及相 直观想象 ★★☆☆☆ (四棱锥底面是正方形，但并不一定是正四棱锥) 关特征量的计算 数学运算 如图2，分别取AB,CD的中，点E,F,连接PE, 111