7.2 复数的四则运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA, 7.2复数的四则运算 重点和难点 课标要求 重点：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其 1.掌握复数代数形式的四则运算。 运算律，复数加、减运算的几何意义 2.了解复数加、减运算的几何意义 难点：复数减法、除法的运算法则 1A111111B111101111110111100111111111013110113111011011111111111161111111111 安必备知识梳理 1111111iH1111H11144ii11 基础梳理 ●一-一--一--------一一-一----- 知识点1】 复数的加法运算及其几何意义 敲黑板⊙ 1.复数的加法法则 对复数的加法法则的理解 设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那 1.两个复数相加，类似于两 么之1十之2=(a+bi)十(c十di)=(a十c)十(b十d)i.◆敲黑板 个多项式相加：实部与实部相 （实部与实部相加，虐部与虚部相加)) 加，虚部与虚部相加.很明显，两 2.复数的加法满足的运算律 个复数的和仍然是一个确定的 对任意1，z2,之3∈C,有 复数，但是两个虚数的和不一定 (1)交换律：21十z2=之2十z1: 是一个虚数，比如（一i)十i=0. 2.当之1，之2都是实数时，把 (2)结合律：(x1十之2)十3=1十(x2十3). 它们看作复数时的和就是这两 3.复数加法的几何意义 个实数的和， 在复平面内，设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)对应的 3.复数的加法可以推广到 向量分别为OZ1,OZ2,则OZ1=(a,b),OZ2=(c,d).以OZ1, 多个复数相加的情形：各复数的 OZ2对应的线段为邻边作平行四边形OZ1ZZ2(如图所示)，则由 实部分别相加，虚部分别相加」 平面向量的坐标运算，可得OZ=OZ1+OZ2=(a,b)十(c,d)= (a+c,b+d),即x=(a+c)+(b+d)i,即对角线OZ对应的向量 就是复数(a+c)+(b十d)i对应的向量， 这说明两个向量OZ1与OZ,的和就是与复数(a十c)+(b+ d)i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行， 这是复数加法的几何意义. 知识点②复数的减法运算及其几何意义 1.复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运 88 第七章复数 算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫作复数 a十bi减去复数c十di的差，记作(a+bi)一(c+di). 根据复数相等的定义，有c十x=a,d+y=b,因此x=a一c, 敲黑板⊙ y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即(a+bi)-(c+di)= 对复数的减法法则的理解 (a一c)十(b一d)i.这就是复数的减法法则.◆敲黑極 1.两个复数相减，类似于两 人、（实部与实部相减，虚部与虚部相减） 个多项式相减：把复数的代数形 2.复数减法的几何意义 式看成关于“”的多项式，则复 两个复数之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)在复平面内对 数的减法类似于多项式的减法， 只需要“合并同类项”就可以了. 应的向量分别是OZ1,OZ2,那么这两个复数的差之1一之2对应的 2.很明显，两个复数的差是 向量是OZ1一OZ2,即向量Z2Z1 一个确定的复数，但是两个虚数 (两个复数的差可对应两个向量的差，可利用三角形法则求解) 的差不一定是一个虚数，如(3十 2i)-2i=3. 如果作OZ=Z2Z1,那么点Z对应的复数 就是之1一之2（如图所示) 拓视野) 这说明两个向量OZ1与OZ2的差Z2Z1 与复数加、减的几何意义 就是与复数(a一c)+(b一d)i对应的向量.因此，复数的减法可以 有关的常用结论 按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.拓视野 设z1,z2在复平面内对应 知识点（③复数的乘法运算 的点分别为A,B,z1十z2在复 平面内对应的，点为C 1.复数的乘法法则 (1)若引z1十z2=|z1一z21, 设之1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那 则四边形OACB为矩形； 么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+ (2)若|之1|=之2，则四边 (ad+bc)i. 形OACB为菱形； (3)若|z1|=之21，且之1十 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所 之21=|之1一之2，则四边形 得的结果中把换成一1，并且把实部与虚部分别合并即可， OACB为正方形， 2.复数乘法的运算律 对于任意之1，之2，之3∈C,有 敲黑板⊙ (1)交换律：之1之2=x2之1 实数集内乘法、乘方的一些 (2)结合律：（之122）z3=之1（之223). 重要结论和运算法则在复数集 (3)分配律：之1（之2十之3）=之1之2十之1之3， 内不一定成立，如： 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意 1.当z∈R时，有z2=x2; 复数之，之1，之2和正整数m,n,有之”m2”=之m+n,(之m)”=之m, 当之∈C时，有之|∈R,而x2∈ C,故z2和z2不能进行比较例 (之1之2)”=之引之公.◆敲黑板。 如，当之=1十i时，z|2=2,z2= 知识点（④复数的除法运算 2i,此时2和2i不能进行比较 1.定义 2.当m,n∈R时，有m2+ 我们规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c十di)(x n2=0台m=n=0;当1,之2∈C 89 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA,。 +yi)=a十bi(c+di≠0)的复数x+yi叫作复数a十bi除以复数 时，21十=0力z1=z2=0,但 c+di的商，记作(a+bi)÷(c+dD或a+bi 21=2=0→21十z2=0. c+di [注意]之1之2=0的充要 2.复数的除法法则 条件是之1=0或之2=0，依据复 (a+bi)--(c+di)-a+bi_(aHbiD)(c-di) 数的乘法运算可得之1之2=0→ c+di (c+di)(c-di) |z1之2=0台|211|x2|=0台 (分子分母同乘分母的共軛复数) 之1=0或之2=0. (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2 =ac+bd c2+d2 c2+d2i(c+di≠0. bc-ad 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定 的复数. 重难拓展 重难点(1 1一之2|（之1，之2∈C)的几何意义 1.设复数1=a十bi,之2=c十di(a,b,c,d∈R)在复平面内对 应的点分别是Z1(a,b),22(c,d),则「Z1Z2|= √(a-c)十(b-d),又复数1-之2=(a-c)+(b-d)i,则|z1 -x2=√(a-c)2+(b-d)2. 故Z1Z2|=必1一之2，即川之1一之2表示复数之1，之2在复平面 敲黑板。 内对应的点之间的距离。◆敲黑板 在复平面内，之1一之2表示 2.通过以下四种情况，我们可以把|之一之。（之，之o∈C)的几何 复数之1，之2在复平面内对应的 意义全概括出来 点之间的距离，利用数形结合的 (1)川之一之1=r(r>0)表示复数之在复平面内对应的点Z组 思想，根据复数的几何意义将条 成的集合是以复数之1在复平面内对应的点Z1为圆心，为半径 件转化为几何关系，再结合图形 的性质求解，即将复数问题坐标 的圆，如图1. 化、图形化. (2)川之一之1=之一之2|表示复数之在复平面内对应的点Z组 成的集合是以复数之，之2在复平面内对应的点乙，Z2为端点的线 段的垂直平分线，如图2 (3)x-之1+|z-x2|=2a(a>0),当2a=|Z1Z2|时，表示 复数之在复平面内对应的点Z组合的集合是以复数之1，之2在复平 面内对应的点Z1,Z2为端点的线段，如图3. 图1 图2 图3 90 第七章复数进 (4)|之-1|-|之-z2|=2a(a>0),当2a=|Z1Z2时，表 示复数之在复平面内对应的点Z组成的集合是以复数之1，之2在复 平面内对应的点Z1,Z2为端点的两条射线 (以乙1为端点的射线的方向与Z2Z方向相同，如图4；以Z2为端点的射线的方向与 Z1Z2方向相同，如图5) 图4 图5 例①(2025·西南大学附中单元检测)在复平面内，△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为之1，之2，之3，复数之满足 |之一之1|=|之一之2=|之一之3|，则复数之在复平面内对应的点是 △ABC的(). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析设复数之与复平面内的点Z对应.由△ABC的三个顶，点所对应 支妙招 的复数分别为之1，之2，之3及|之一之1=|之一之2|=|之-之3「可知，点Z到 解例1时要利用复数的几 △ABC的三个项，点的距离相等.由三角形外心的定义可知，点Z为△ABC 何意义，且要弄清三角形“四心” 的外心.◆支妙招 的定义 答案A 重难点(2复数范围内实系数一元二次方程的根 敲黑板。 例②[回归教材P79例6]在复数范围内解下列方程 复系数一元二次方程的解法 (1)x2十2=0； 若一元二次方程ax2十 bx十c=0(a≠0)为复系数（至 (2)ax2+bx+c=0,其中a,b,c∈R,且a≠0，△=b2-4ac<0. 少有一个系数为虚数)方程，则 解析(1)因为(W2i)2=(-√2i)2=一2， 不能用△=b2一4ac来判断方程 所以方程x2十2=0的根为x=士√2i. 的根的情况.一般解法为： (2)将方程ax2+bz十c=0的二次项系教化为1，得x2+ 2x+8=0, (1)求判别式△=b2-4ac 的值（一般为虚数） 配方+2)-。，c+}- (2)求“△的平方根”，依据 (2a)2 由40，->0 复数相等的充要条件来求 (2a)2 (3)由求根公式x1,2= 一b士“△的平方根”求得原方程 类似1D,可得x+6=士6。二4ac 1 2a 2a 的根.其中x1,x2不一定呈共轭 所以原方程的根为x=一力土√6-4ac -i,◆敲黑板 形式，但满足根与系数的关系. 2a 2a 91 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA, 深挖教材 复数范围内实系数一元二次方程的根 若一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0，且a,b,c∈R),则当 4>0时，方程有两个不相等的实数根4=b十=4如 2a ,x2= -b-v√62-4ac b 当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2= 2a 2a 当△<0时，方程有两个虚数根x1= -b+iv4ac-b2 2a ,x2= -b-iv4ac-b2 2a ,且两个虚数根互为共轭复数 培优突破 突破点(1 ”的周期性与 1+3 211 的周期性 2 (1)”的周期性(n∈N*) 提个醒g i=in除以4余1， 由于告所以() i2=-1,n除以4余2， 易得”三 则”的周期为4， .1-i i3=-i,n除以4余3， 的周期性及取值同，而1十 i4=1,n被4整除， -i,则（ 且①n=l,n+1=i,in+2=一1，in+3=一i;◆提个遥@ ) 的周期也为4，但取值与 ②对于4个连续的正整数都有im十i4n+1十in+2十in+3=0. 不同. (2-2±)”的周期性a∈N) +=9(2+°=（日(-2+ , （-+日-(-分 = t的周期3--1 例B(2025·山西大同期末)若复数之 -6则x十2+ 6+5i 之3十…十之99= 92 第七章复数 解析对：连行化商一侣十十榴-叶器 25+36 因为=-1，i3=-i,4=1,且i计2+8+4=0， (涉及复数的高次方运算，考虑常见复数的周期性) 所以之十之2+之3十…十之9 =i+2+3+i4+…+i93+i94+95+i96+7十98+i9 =(i+2+i3+i)+…+(i3+14+i5+0)+7+98+9 =i4X24+1十i×24+2+1×24+3 =i++3=-1. 答案-1. 例④复数的乘方：实数集R中正整数指数幂的运算律在复 数集C中仍然成立，只不过是要把运算的结果写成复数的代数形 式.即若之，之1，之2∈C,m,n是正整数，则①之m·之”=之m+”;②zm÷ 之”=之m-”;③（之m)”=之mm;④（之1·之2）”=z1·之2. (1)利用上述性质计算：(1一i)5= ②若w=日+心计第 ;1+ω+w2= 1 ②证明：w2=0= 妙总结 记住下列复数的常见运算 解析（1)因为(1-i)2=一2i, 计算1一i的高次暴的值时，常利用此结论降次计算 小结论，进行复杂复数运算时可 所以将(1-i)5表示成(1一i)4(1-i), 简化过程」 而(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2, .1 所以(1-i)5=(1-i)4(1-i)=(-2i)2(1-i)=-4(1-i)=-4+4i. -i,(1+iD2=2i,(1-i02=-2i, 2)①w2=(+=1.1+w+。2=1+(+别+ (1+i)(1-i)=2. (2)若w= 1√3 (-+到-+9+(-}-a 2土，则 w3-=1,1+w十w2=0w2-=0=1 。 碰到方程之3=1或x2十 之十1=0，可快速想到方程的虚 13 -2-21 =-1_3 ，◆妙总结回 核根无：=一号土得 93 重难点手册高中数学必修第二册RJA】 11 关键能力提升 1H11i11 题型（复数的加、减运算及其几何意 所以四边形OACB是矩形，则OA LOB. 义的应用问题 答案C 1.复数的加、减运算问题 方法总结 例⑤(2025·江西九江一中月考)若复数 任何一个复数之与复平面内对应的点Z以及 满足(a+3i)+(2-i)=5+bi,则a+b= 以原点O为起点，点Z为终，点的向量OZ具有一一 (). 对应关系，所以复数的加、减运算可应用平面向量 A.-4 B.7 C.-8 D.5 加、减运算的平行四边形法则和三角形法则. 解析由(a+3i)+(2-i)=5+bi得a+2+2i=5 题型(2复数的乘、除运算及其应用问题 1a+2=5, a=3, +bi,则 解得 则a+b=3+2=5. b=2, b=2, 1.复数的乘、除运算问题 答案D 例⑦已知i为虚数单位，则复数之=1一2 归纳总结 1+i 1.复数的加、减运算类似于合并同类项，实部 +2i可化简为( 与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错，点。 A.1+i B.-1-i 2.复数的加、减运算的结果仍是复数 2 2 3.两个复数的加法（或减法）可以推广到多个 1-i D.2 复数相加（或相减）的运算。 e号 4.实数的加法交换律和结合律在复数中仍适用. 解析复说=岸+2 1-2)(1-0+2i= (1+)(1-i) 2.复数的加、减运算的几何意义的应用问题 -1-3i +2i=-1+i 例6(2025·浙江金华一中单元检测)非 2 2· 零复数之1，之2分别对应复平面内的向量OA, 答案A 方法总结 OB,若1x1十x2=x1-之2，则( 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数， A.OA=OB B.IOA|=10B1 如(a+bi)(a-bi)=a2十b2,(a十bi)2=a2+2abi十 C.OA⊥OB D.OA,OB共线 b2i2=a2-b2+2abi,(a+bi)3=a*+3a2bi+3ab2i2+ 解析如图，由向量的加法及减法法则可知，O℃ b3i3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i. =OA十OB,BA=OA-OB. 2.i的周期性的应用问题 y 例8(2025·湖南雅礼中学月考)已知之= B 1+ai 1十子a∈R,若x为纯虚数，则2=(. A.1 B.√3 C.2 D.√2 由复数加法及减法的几何意义可知，|之1十之2对 1+ai_1+ai_(1+ai)(1+i) 解析由题意得，之=1+平运=1一i=①-01叶D 应OC的模，z1一x2对应BA的模， (1-a)+(1+a)i 因为|z1十z21=|之1一之2， 2 94 第七章复数进 1一a=0, 因为之为纯虚数，所以 -+2=0,即a=-2 1+a≠0， 故a=1,所以之=i,故|之=1. 方法总结 答案A 1.复数的乘法运算法则的记忆：可以把i看作 3.复数的乘、除运算与复数概念的综合问题 字母，类比多项式的乘法进行运算，注意要把化 例⑨(2025·江西临川一中单元检测)求 为一1，进行最后结果的化简。 2.复数的除法运算法则的记忆：复数的除法一 解下列问题： 般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母 (1)设复数x= 1十G是虚数单位)，求z; 同乘分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同 乘i. (2)若复数之=1+2i,其中i是虚数单位， 求(e+)2: 题型(3 复数方程的求解 1.含复数之，之，之的方程的求解 (3)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚 例10(2025·浙江天台中学单元检测)已 数单位)，求a2十b2,ab； 知复数之，乏为之的共轭复数，解方程之·之 (④已知a∈Ri为虚数单位，若8十为实 3i·之=1十3i,可得之= 数，求a的值， 解析设之=a十bi(a,b∈R),则之=a-bi, 解析(1)复教之-1中-1-i, .x·z-3i·乏=(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)= a2+b2-3b-3ai=1+3i, ∴.x=1+1=√2 |a2+b2-3b=1, 2(e+)z=1+2i+2)1-2m -3a=3, (利用复数相等的充要条件.转化为方程组) =(1+2D(1-2D+1-2i a=-1,a=-1, 解得 1+2i b=0 b=3, =5+1-2)2 .之=-1或之=-1十3i. 5 答案一1或-1十3i. -5+3-4i 5 2.实系数一元二次方程的求解 =224, 例☐(2025·重庆三模)设之1，之2是关于 55i x的方程x2十px十q=0的两根，其中p,q∈ (3)(a+bi)2=3+4i, 1a2-b2=3, R,若x1=一1+/2i(为虚数单位)，则1+1= ∴.(a2-b2)+2abi=3+4i,. 之1 之2 2ab=4, ) a=2,.fa=-2, 解得 或{ 2 b=1b=-1. A.- C.-2 D.2 .a2+b2=5,ab=2. 解析因为关于x的方程x2十px十g=0(p,9∈ 4gg88号-a二4 R)的一个根为之1=一1十√2i,所以另一个根之2=-1 22一2 2i,所以1十1= 1 1 2a-a+i-2aa子为安截， 之1 之2-1十√2i -1-√2i 5 (方程的一个根为虚数，则另一个根为此根的共轭虚数) 95 重难点手册高中数学必修第二册RJA 、2 -1-√2i-1+√2i 上述结论2推导运算， (-1+√2i)(-1-√2i)3 4.已知含参实系数一元二次方程的一个虚数 答案A 根，求参数的值 3.复系数一元二次方程的求解 解题思路：将虚数根直接代入方程，根据复数 例12(2025·山东省实验中学单元检测) 相等的充要条件列方程组求解， 已知关于x的方程x2十(k十2i)x十2十ki=0 有实数根，则实数k的值为 题型(4 复数的综合应用问题 解析设x。是方程的实数根，代入方程并整理得 1.之1一之2（之1，之2∈C)的几何意义的应 (x8+kx0十2)+(2x0+k)i=0, 用问题 :6+红+2=0， 例13求解下列问题： 5T▣ 2x0+k=0, (1)复数之满足之十3十4i=2,求 现频微课 x0=√2， x0=-√/2， 之的最大值和最小值； 解得 k=-2√2 k=22, a b (2)定义 ad-bc,若之1= .实数k的值为士2√2. 答案士2√2. 2 2018 (为虚数单位)且复数之满足方程 方法总结 对于一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0，a, |之一之1|=4，求复数之在复平面内对应的点P b,c∈R)我们有以下两个结论： 组成的图形的轨迹方程. (1)若a.x2十bx十c=0的两个解为虚数，则这 解析(1)由题意可知之一（-3-4i)川=2，即复数 两个解互为共轭复数； 之在复平面内对应的，点与复数一3一4i在复平面内对 (2)对于任意一元二次方程ax2十bx十c=0, 应的点的距离为2，复数之在复平面内对应的点在复 其解都满足一元二次方程根与系数的关系，即 平面内的轨迹为以（一3，一4）为圆心，2为半径的圆Q x1十x2=- 6 工1x=台，结合复数范围内实系教 (如图所示).数形结合可知之的最大值在，点A处取 一元二次方程的根的结论（见本节重难，点2）我们可 得，为√(-3)2十(-4)2十2=7；最小值在点B处取 以对复数范围内一元二次方程求解作出以下归纳： 得，为W√(-3)2十(-4)2一2=3. 1.解实系数一元二次方程 y 解题思路：代入公式求解即可， 2.解虚系数一元二次方程 -6-5-4-3-2-1 012 解题思路：先设出方程的解，再代入原方程，根 B 据复数相等的充要条件列方程组求解。 变式：已知含参虚系数一元二次方程有实数 6 解，求参数问题，解题思路与上述思路一致 3.已知实系数一元二次方程的一个虚数根，求 (2)设之=x十yi,x,y∈R, 另外一个虚数根或求两个虚数根的代数运算结果 由题意得之1=i218-2i=-1-2i, 解题思路：①若求另外一个虚数根，则直接运 则由之-21=4得|(x十1)十(y+2)i=4, 用上述结论1即可； 即(x+1)2+(y十2)2=42， ②若求两个虚数根的代数运算结果，则需运用： 即复数之在复平面内对应的，点P组成的图形是 96 第七章复数进 以(-1，一2)为圆心，4为半径的圆，轨迹方程为(x十（x,zi)=1一i,则复数之为( 1)2+(y+2)2=16. A.2+i B.2-i C.i D.-i 2.复数的新定义问题 解析因为(a,b)*(c,d)=ad-bc, 例1④(2025·浙江杭州外国语学校单元 又(1，-1)*（之，zi)=1-i,所以zi+x=1-i. 1-i_(1-i)2 检测)对于任意的两个数对(a,b)和(c,d),定 所以z=1+i2 =-i 义运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,若(1，-1)* 答案D mmMnIAmAImmmnmmnnnm 核心素养聚焦 IMMMNMMMMMMIMMM 考向（① 复数的四则运算与复数的概 2 所以m=1 念的综合应用 1+622. 例15(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部 方法二由十2 m得x2-mz十2=0，解得之 为( =m±√8-m A.-1 B.0 C.1 D.6 2 ,依题意得%-1，解得m=2。 解析，(1+5i)i=i-5,虚部为1. 答案2. 答案C 考查内容 核心素养 试题难度 例16(2025·全国二卷)已知x=1+i, 考查复数的概念和四则运算 数学运算 ★★★☆☆ 则，( 考向②复数的四则运算与复数的模 的综合应用 A.-i B.i C.-1 D.1 例18（经典·北京卷）若复数之满足i· 解桥=1+ 之=3一4i,则川之=(). A.1 B.5 C.7 D.25 答案A 例1☑(2024·上海卷)已知虚数之，其实 解析方法一依题意可得之=34_3-4)i i 2 部为1，且之十2 =m(m∈R),则实数m为 =-4-3i,所以z=√(-4)2+(-3)2=5. 方法二依题意可得2·之=(3一4i)i, 所以之=-4-3i,则|之|=√(-4)2十（-3)=5. 解析方法一设之=1十bi(b∈R且b≠0)，则 答案B +至-1++1++20-1+。 1+62 例19（经典·全国甲卷）若x=1十i,则 |iz+3z=( ). A.45 B.4√2 因为m∈R, C.2W5 D.2√2 2b 所以61十6=0，得6=1， 解析因为之=1十i, 97