7.1 复数的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第七章 复数 7.1复数的概念 重点和难点) 课标要求 1.通过方程的解认识复数。 重点：复数的概念、代数形式和几何意义 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解 难点：复数的扩充过程和向量表示， 两个复数相等的含义. 必备知识梳理 基础梳理 知识点（①数系的扩充与复数的概念 提个醒回 1.复数的引入 (1)2=-1,但并没有i= 为了解决x2十1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们 土√-1. (2)复数i满足2=-1， 设想引入一个新数i使得x=i,是方程x2+1=0的解，即使得 i3=一i,i=1,以4为一个周期 i2=一1.◆提个醒回 循环，即有i十+3+=0. 依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi;把实数a与 (3)这里只提加法与乘法运 bi相加，结果记作a十bi,注意到所有实数以及i都可以写成a十bi 算，没有提减法与除法运算，并 (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.◆拓视野 不是复数的运算对减法与除法 不成立，而是为了后面讲复数的 2.复数的概念 四则运算时，分别把减法与除法 我们把形如a十bi(a,b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数 定义为加法与乘法的逆运算. 单位.全体复数构成的集合C={a十bi训a,b∈R}叫作复数集.这 (4)方程x2+1=0的根有 样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=士i了. 两个，一个是i,一个是-i 3.复数的表示 拓视野包 复数通常用字母之表示，即之=a十bi(a,b∈R).以后不作特 数系逐步扩充的过程 殊说明时，复数之=a十bi都有a,b∈R,其中a与b分别叫作复数 数系的每一次扩充都与实 际需求密切相关.例如，计数的 之的实部与虚部。 (易错：虚部是b,而不是b) 需要→自然数（正整数和零） 4.复数的分类 表示相反意义的量 如解方程x十3=1 →负数 对于复数a十bi,当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a= 测量、分配中的等分 b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫作虚数；当a=0且b≠0时， →分数 如解方程3x=5 (注意虚数不能比较大小) 度量 它叫作纯虚数 如解方程x2=2→无理数 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC 负数的开方 如解方程x2=-1→复数。 复数z=a十bi可分类如下： 80 第七章复数进 实数(b=0), 复数之 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示」 虚数 复数集 纯虚数集 实数集 知识点(2复数相等 1.在复数集C={a+bia,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di 敲黑板) (a,b,c,d∈R),我们规定：a+bi与c十di相等当且仅当a=c且 1.应用复数相等的充要条 (当a=c和b=d有一个不成立时，就有a十bi≠c十di) 件时，应先将复数化为之 b=d,即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等 a十bi(a,b∈R)的形式，即分离 时，两个复数才相等.◆敲黑板 实部和虚部。 2.引入虚数单位i后，规定=一1，但i与0的大小关系不能 2.a+bi=0(a,b∈R)←→ 确定.理由如下： a=0且b=0 若>0，则2i>i,两边同乘i,得2>i2,即-2>一1，与实数 系中数的大小规定相矛盾；若i<0,则一2<一1→一2i>一i→ 2i·i<一i·→2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的. 故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分. 若两个复数用“>”或“<”连接，则必为实数。 知识点3复数的几何意义 1.复平面 根据复数相等的定义，可得复数：=a十b1一对应有序 实数对(a,b),而有序实数对(a,b)二一对应平面直角坐标系 中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一 一对应关系 一（用大写字母表示，注意与复数之的不同》 如图，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数之=a+bi可用点 防误区回 Z(a,b)表示，这个通过建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复 复数x=a十bi(a,b∈R)在 平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.◆防误区。 复平面内对应点的坐标为(a, (虚轴)y b),而不是(a,bi),也就是说，复 b---·Z:a+bi 除原点外，虚 平面内虚轴上的单位长度是1， 轴上的点都表← 而不是i 示纯虚数 (实轴) O业a 实轴上的点都表示实数 例如，复平面内的点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示 81 潮重难点手册高中数学必修第二册RJA, 实数2，虚轴上的点(0，一1)表示纯虚数一i,点（一2,3）表示虚数 一2+3i等. 2.复数的几何意义一与点对应 每一个复数，在复平面内有唯一的一个点和它对应；反过来，复 平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数 和复平面内的点是一一对应的，即复数之=4十i←一一对应复 平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 3.复数的几何意义一与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实 数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平 面向量来表示复数， 如图，设复平面内的点Z表示复数之=a十 y 巧归纳地 bi,连接OZ,显然向量OZ由点Z唯一确定；反 Z:a+bi 根据复数与复平面内的点 一一对应，复数与平面向量一一 过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ 对应，可知复数之=a十bi、复平 唯一确定 面内的，点Z(a,b)和平面向量 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一 O2之间的关系可用如图所示 一对应的（实数0与零向量对应），即复数之=a十bi一对应， 表示， 平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义.◆巧 复数 z=a+bi 为了方便，常把复数z=a十bi说成点Z(a,b)或向量OZ,并 对应 对应 且规定相等的向量表示同一个复数.要确定一个向量对应的复数， 复平面 平面向量 内的点 就必须找到起点为坐标原点且与此向量相等的向量. Z(a,b) 对应 oZ 知识点④复数的模和共轭复数 1.复数的模 一（复数的模可以比较大小） 拓视野) 向量OZ的模r叫作复数之=a十bi的模或绝对值，记作|之 复数模的性质： 或a+bi.如果b=0,那么之=a十bi是一个实数a,它的模等于 (1)川z12=212=之·z; |a|(a的绝对值).由模的定义可知，|之=|a十bi=r=√a2+b2 (2)川z11-1之211≤|z1士 z2≤z1|+x2: (r≥0，r∈R).◆拓视野) (3)之1x2=|z1l·|z2； 2.共轭复数 (1)定义 w=0 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个 (5)|zn|=zn(n∈N*). 复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共 巧归纳 轭虚数.通常记复数之的共轭复数为之，若之=a十bi,则之=a 复数x=a十bi(a,b∈R)及 bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.·巧归纳o 其共轭复数乏的常用结论： (利用这个性质可以证明一个复数为实数) ①z十z=2a; 82 第七章复数进 (2)几何意义 y ②z-z=2bi; Z:a+bi b 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应 ③1z=x|； 的点关于实轴对称（如图）.特别地，实数和它的共 a ④(2)=z； 轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上， ⑤若之=之，则之为实数； Z2:a-bi ⑥若之=一之且之≠0，则之 重难拓展 为纯虚数 重难点(1复数的模的几何意义 (1)复数之=a十bi(a,b∈R)的模|x|就是复数之=a十bi在复 平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模的几 何意义 (2)复数之在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常 数，则满足条件|z=x的点Z组成的集合是以原点为圆心，x为 半径的圆，之<r表示圆的内部，之>r表示圆的外部 例①(2025·西北工大附中单元检测)复数之=a+bi(a,b∈ R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z≤1，则满足条件的点Z 记方法网 的集合是( ) 求复数在复平面内的对应 点的集合表示的图形时，常用的 A.直线 B.线段 方法是通过化简得到关于复数 C.圆 D.单位圆以及圆内的部分 的模的最简等式或不等式，然后 解析z≤1，∴.a2十b≤1， 根据复数的模的几何意义直接 ,点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部.◆记方法@ 判断图形的形状」 答案D 重难点(2共轭复数的性质 (1)(⑦)=之.《利用这个性质可证明一个复数为实数) (2)实数的共轭复数是它本身，即之=乏台→z∈R, (3)之=一乏（之≠0）曰之为纯虚数 (4)共轭复数的模相等，即之=之. 例2(2025·浙江舟山中学单元检测)若复数x= m2+m-6 m (m2一2m)i满足z≠0且之十之=0，则实数m的值为 解析：z≠0且2十2=0，“复教之-m+m-6+m2-2mi为统 记方法过 求解像例2这类问题时，通 m≠0， 常利用共轭复数的性质进行条 虚数，同时注意到m≠0， m2十m一6=0，解得m=一3.+方 件转化，最终化为实数方程或不 m 等式来求解 m2一2m≠0， 答案-3. 83 重难点手册高中数学必修第二册RJA 1000100011000101101 关键能力提升 110101100010110011011111101010111111111101010010001001110011001011001000111011 题型（①对复数概念的理解及应用 题型②复数的几何意义及其应用 1.复数及其相关概念的理解问题 1.复平面内的点与复数的关系问题 例Bm∈R,复数之= m2-m-6 例5(2025·湖北武汉二中月考)ex= m+3 +(m2 cosx十isin x被称为欧拉公式.我们运用欧拉 2m一15)i.求m取何值时，(1)之是实数；(2)z 公式，可以推导出倍角公式.如：cos2x+ 是纯虚数： isin 2x=e.2z=(ei)2=(cos x+isin x)2= m2-2m-15=0,1m=5或m=-3, 解析(1)当 即 cos2x-sinx+i·2 sin xcos x.类比方法，我 m十3≠0， m≠3 们可以得到sin3x=」 (用含有sinx (要保证代数式有意义) 时2是实数， 的式子表示)， .当m=5时，之是实数. 解析.'cos3x十isin3x=e·3r=(e)3=(cosx十 isin )3, m2-m-6=0, (m=3或m=-2, (cos x+isin )3=cosx+3cos2x.isin x+ (2)当m+3≠0， 即m≠-3， 时， m2-2m-15≠0， 3(isin x)2cos x+i3 sin'x m≠5且m≠-3 =cos3x+3icos2xsin x-3sin2xcos x-isin3x 之是纯虚数， =cosx-3sin2xcos x+i(3cos2xsin x-sinx), ∴.当m=3或m=一2时，之是纯虚数 .'sin 3x=3cos2xsin x-sin3x. 思维过程 又cos2x=1-sin2x, 处理有关复数的基本概念问题时，首先将复数 .sin 3x=3(1-sin )sin x-sin'x 化为标准形式a十bi(a,b∈R),然后从定义出发， --4sinx+3sin x. 利用复数的实部和虚部把复数问题转化为实数问 答案-4sin3x十3sinx. 题处理， 2.平面向量与复数的关系问题 2.复数相等的条件的应用问题 例6(2025·浙江萧山中学单元检测)在 例④若x1=(m2+m十1)+(m-4)i(m∈ 复平面内，A,B,C三点对应的复数分别为1， R),之2=3-3i,则m=1是之1=z2的(). 2+i,-1+2i. A.充分不必要条件 (1)求向量AB,AC,BC对应的复数； B.必要不充分条件 (2)判断△ABC的形状 解析(1)由复数的几何意义知OA=(1,0),OB= C.充要条件 (2,1),0C=(-1,2), D.既不充分也不必要条件 :AB=OB-0A=(1,1),AC=0元-OA= 解析若m=1,则之1=3-3i=之2 (-2,2),BC=OC-OB=(-3,1), /m2+m+1=3, 若之1=之2，则 解得m=1. 向量AB,AC,BC对应的复数分别为1+i, m-4=-3, 2+2i,-3+i. 综上所述，m=1是之1=之2的充要条件. (2)由(1)得AB=(1,1),AC=(-2,2),BC= 答案C (-3,1), 84 第七章复数 ∴AB=√2，|AC1=22,|BC=√10， A.若|z|=1,则x=士1或之=士i ∴.AB2+AC12=|BC12, B.复数6+5i与一3十4i分别对应向量 .△ABC是以BC为斜边的直角三角形， OA与OB,则向量BA对应的复数为9+i 方法总结 C.若点Z的坐标为（一1,1），则乏对应的 根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面 点在第三象限 向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为 D.若复数之满足1≤|之≤√2，则复数之 向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原 点引出的指向该，点的有向线段所表示的向量，即为 对应的点所构成的图形面积为π 复数对应的平面向量 解析令号侣满足1=1，做A倍溪， 题型3 复数的模及其应用 ,复数6十5i与-3十4i分别对应向量OA与 OB, 1.复数的模的计算问题 ∴.BA=OA-OB=6+5i-(-3+4i)=9+i,故 例7已知=(x|一1)+5i,求复数之. B正确； 解析方法一设x=a十bi(a,b∈R), 点Z的坐标为(-1,1)， 则z=a-bi,lz|=√a2+b .之对应的点（一1，一1）在第三象限，故C正确； .z=(|x|-1)+5i 设之=a+bi,a,b∈R, ∴.a-bi=(Wa2+b2-1)+5i .复数之满足1≤之≤√2， a5a2+6-1, .1≤a2+b2≤2， -b=5, ∴.复数之对应的点所构成的图形面积为πX (根据复数相等的充要条件得到) a=12, (W2)2-πX12=π，故D正确. 解得 ..z=12-5i 6=-5, 答案BCD 方法二，之∈R,复数乏的实部为之一1，虚 方法总结 部为5 求复数在复平面内的对应点的轨迹时，常用以 .x=(x|-1)-5i,|z|=√(z-1)2+(-5)2, 下方法： 即x|2=(|z-1)2+25,得|z=13. 1.根据复数的模的几何意义直接判断图形的 ∴.x=(z|-1)-5i=12-5i. 形状， 方法总结 2.设复数之=x十yi(x,y∈R),则其对应的点 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚 为Z(x,y),根据已知条件找出x,y满足的方程， 部，再利用模的公式进行计算.两个复数不能比较 最后由方程判断图形的形状，这种方法称为“虚化 大小，但它们的模可以比较大小 实法”.解题时，注意题中参数的限定条件 2.复数的模的几何意义问题 3.复数的模的最值问题 例⑧（多选）18世纪末期，挪威测量学家威 例⑨(2025·江苏启东中学单元检测)已 塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使 知复数x=2,则复数1+√3i+之的模的最大 复数及其运算有了几何意义.例如x|=|OZ引， 值为 最小值为 即复数之的模的几何意义为之对应的点Z到原 解析由题意知，复数之对应的，点Z在复平面内 点O的距离.下列说法正确的是(). 以原，点为圆心，2为半径的圆上， 85 重难点手册高中数学必修第二册RJA 设w=1十√3i+之，则之=w-1-√3i, 时，无论A为何值，之总是虚数， 所以|x|=w-(1+√3i)|=2. 变式①(2025·浙江富阳中学单元检测) 所以复数®对应的点在复平面内以(1，√3)为圆 复数之满足|之|=1，求|之一(3+4i)的最大值 心，2为半径的圆上，如图.此时圆上的点A对应的复 与最小值. 数心A的模有最大值，圆上的，点B对应的复数wB的模 2.复数的几何意义与三角函数的交汇问题 有最小值，故|1十√3i十之mx=4,|1十√3i+之m=0. 例11(2025·湖南长郡中学单元检测)在 复平面内，点A,P所对应的复数分别为， cos(2-）+isin(2-)(i为虚数单位)，则 3 (BO 当t由多连续变到时，向量A户所扫过的图 答案4；0. 形区域的面积是 点评求解复数的模的最值问题时，要充分利用 解析由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐 复数的模的几何意义，尤其是要挖掘题设条件中的模 标为0，以如国，当1-5时，成P的业标为P(停， 的几何属性，借助数形结合的思想来处理 题型（④复数与三角函数的交汇问题 》当=景时，点P的坐标为P,停》，肉王 1.复数的概念与三角函数的交汇问题 AP所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与 例10已知z=sinA+(ksin A+cosA 弓形的面积之和， 1)i,A为△ABC的一个内角.若不论A为何 y 值，之总是虚数，求实数的取值范围 解析之总是虚数， .∴ksin A+cosA-1≠0. 又A为△ABC的一个内角， ∴.sinA≠0. k≠1-c0sA sin A .1-cos A 2r合 由于点P1,P2关于实轴对称，所以△AP1P2的 A sin A A。A =tan 面积等于△OP1P2的面积（因为这两个三角形同底且 2sin 2cos2 等高)，故向量AP所扫过的图形区域的面积是扇形 又Ae0,,含∈(0，》， POP2的面积. tan会∈o,+o. 国为∠P,0P:=2X答-百， :1-COS AE(0,+o∞). sin A 所以扇形P,0P:的西积等于号×否×12=日 6 :当≤0时，k≠1二c0sA恒成立，即当≤0 sin A 答案 86 第七章复数田 H141Hi1111111111HHi 肉核心素养聚焦 E1AB111101111111101 考向①复数的几何意义的有关问题 考向(2 复数的模的有关问题 例12（经典·课标全国Ⅱ卷）设之 例13(2023·全国乙卷)|2++23|= 一3+2i,则在复平面内乏对应的点位于( . A.第一象限 B.第二象限 A.1 B.2 C.√5 D.5 C.第三象限 D.第四象限 解析因为2+i+2的=2-1-2i=1一2i, 解析依题意得之=一3一2i,故对应的，点（一3， 所以2++23「=|1-2|=√12+(-2)2 一2)位于第三象限 5. 答案C 答案C 考查内容 核心素养 试题难度 考查内容 核心素养 试题难度 考查共轭复数的概念、复数 直观想象 ★☆☆☆☆ 考查模的计算以及运算求 的几何意义 数学运算 ★☆☆☆☆ 解的能力 87