专题2 解三角形中的定理-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA, 专题2解 1.角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条 线段与这个角的两边对应成比例.如图1，在 △ABC中，AD为∠BAC的平分线，则： 34 B D 图1 (1)面积性质：S△ABC=S△ABD十S△ADC, 即AB·AC sin(2∠BAD)=AB·AD· sin∠BAD+AD·ACsin∠DAC 也可根据二倍角公式sin(2∠BAD)=2sin∠BAD cos∠BAD 得到2AB·AC cos∠BAD=AB·AD+AD·AC （②比例性质部品政瓷品 证明方法一在△ABD和△ACD中由 AB_sin∠3 AC sin∠4 正弦定理得BD sin /1'CD sin/2易知 sn∠I=sin∠2，sin∠3=sin∠4，所以AB (两角五补，正弦值相等) 或80 AC 方法二如图2，过点B作BE∥AC交 AD的延长线于点E,则∠E=∠BAD,BE= AB,根据△ADC∽△EDB可得AC：BE= CD:BD,即A5_BD 7 12 34 B E 图2 72 角形中的定理 (3)斯库顿定理 D E 图3 图4 如图3，在△ABC中，AD为∠BAC的平 分线，则AD2=AB·AC-BD·CD. 记忆口诀：中方=上积一下积. 证明作△ABC的外接圆，延长AD交圆 于点E,连接BE,如图4.因为∠E=∠C,∠1= (同孤所对圆周角相等) ∠2，所以△ABE△ADC,所以A8铝， AD·AE=AB·AC,则AD·(AD十DE)= AB·AC,所以AD2+AD·DE=AB·AC, 由相交弦定理得，BD·DC=AD·DE,所以 AD2+BD·DC=AB·AC,可得AD2=AB· AC-BD·CD. 例①在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别是a,b,c,∠ABC=120°，∠ABC的平分 线交AC于点D,且BD=1,则二+1的值为 解析.BD平分∠ABC, 六ZABD=∠CBD-2∠ABC=60 :S△ABC=S△ABD+S△BDC, ∴2BD·AB·sin∠ABD+2BD·BC· sin∠DBC-2AB·BC·sin∠ABC, 即2·c· 31。,31。3 2f2·a· 22ac· 21 得ac=a十c. a,c>0, +-1 c a 答案1. 2.张角定理 如图，在△ABC中，内角B,C所对的边分 别为b,c,D为BC边上一点，设AD=I, ∠BAD=a,∠CAD=B,则-定有sin(a+B)_ sin a sin B 6 A a B B D 证明：SAABC=S△ABD十S△ACD, esin(insinB 两边同除以bl得，sne十D_sine十 b sin B 逆定理：由点A引出三条射线AB,AC, AD,如果满足sin<BAD+sin∠CAD AC AB sin∠BAC AD ，那么B,D,C三点共线。 推论：若在上述条件中∠BAD=∠CAD, 即AD平分∠BAC,则有2=方+日 (二倍角公式化简)女 例②在非直角△ABC中，角A,B,C的对 边分别为a,b,c,已知CD是角C的平分线且 CD=b,asin A+bsin B-csin∠ACB=4 bsin B· cos∠ACB,则cos∠ACB= 解析根据正弦定理得 第六章平面向量及其应用雠 asin A+bsin B-csin∠ACB=4 bsin B·cos∠ACB a2+62-c2=462cos /ACB, ① 根据余弦定理得 a2+62-c2=2abcos /ACB. ② 联立①②得a=2b. 如图，.CD平分∠BCA,设∠ACD=∠BCD= 1 9=2∠ACB. C 6 2b b A B D 由张角定理得sin20_sin0+sin0 CD BC AC, p2sin Ocos sin o sin 26 6 得c0s0=2×(侵+1)=星， ∴c0s∠ACB=2c0s0-1=8 首案 3.三角形射影定理 如图，在△ABC中，设内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,则有a=bcos C十ccos B,b= ccos A+acos C,c=acos B+bcos A. (也可利用正弦定理证明) B 人 人 ccos B bcos C -ccos B bcos C a=CD+BD= a=CD-BD=bcos C- bcos C+ccos B (-ccos B)=bcos C+ccos B A B(D) C bcos C a=BC=bcos C+0=bcos C+ccos B 73 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA,。 例3△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若2 bcos B=acos C十ccos A,则B 解析在解三角形中（遇到三个内角余弦值的关 系式时，可考虑用射影定理解题)， 由射影定理知acos C十ccos A=b, '.'2bcos B=acos C+ccos A, ∴.2 bcos B=b. .b>0, ∴asB=2 :B∈(0，π)，故B= 3 答案子 4.中线定理 如图，设△ABC的边BC =a,CA=b,AB=c,边BC 上的中线为AD,则b2十c2= B 立+2An,即AD=号 √2(b2+c2)-a2.用向量表示即AD2 AC+A+21AC1A店1·cos∠BAC). 证明设∠ADC=P,则在△ADC和 △ADB中， 利用余弦定理得62-(2a)°+4D-2. 2a·AD·cosp, c2-(3)°+AD2-22a·AD cos(x p). 相加得b2+c2= 2Q2+2AD,即AD= 2√2(62+c)-a. 记方法 双余弦法 在△ABC中，D是线段BC上一点，连接AD :（如图)，则有下列结论： 74 D (1)利用△ABD和△ADC“共边”，可得 ∠ADB+∠ADC=π， 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, AD+BD:-ABAD'+CD:-AC BD CD 三0； (2)利用△ABD和△ABC“同角”，可得 coS∠ABD=Os∠ABC,即AB2+BD2-AD2 BD AB2+BC2-AC2 BC 双余弦法的应用 当题目中出现五边两角的结构，且出现BD, CD的比例关系时考虑用AD+BD-AB BD X AD2+CD2-AC2 =0构建AD,BD,CD,AB,AC CD 之间的等量关系求解 例④(2025·浙江杭州外国语学校月考) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, 且2cosC·sin(B+8)+cosA=0. (1)求角C的大小； 视频微课 (2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且 CD=2,BD=2AD,求△ABC的面积. 3. 1 解析(1)由已知可得2asC·(乞smB+2osB -cos(B++C)=0, 3 sin Bcos C+cos Bcos C-(cos Bcos C- sin Bsin C)=0, 整理得sinB(W3cosC+sinC)=0. 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以W3cosC+sinC=0,即tanC=-√3， 因为C∈(0，)，所以C=2 3 ②向慈毒C品专甲片- a 2, 所以a=2b.（角平分线定理) 2x sin 3 方法-（张角定理）由张角定理得CD sin 3 sin 3 AC+BC,且BC=2AC, 由张角定理的得D-。+ 则明-及+原3 4-2AC十4AC=AC,解得AC=3, 则BC=6,所以Sar=2 bsin∠ACB=9 1 2· 方法二（双余弦法）因为∠ADC十∠CDB=π， 所以coS∠ADC+coS∠CDB=0, 第六章平面向量及其应用期 即AD+4AC+BD+4-BC 2X2AD 2X2BD =0,由BC= 2AC,BD=2AD,整理得AD2=AC2-2, ① 在△ACD中，由余弦定理得AD2=AC2+4一 2X2ACc0s AD-AC-2AC+4. ② 联立①②得AC=3,故BC=6, 所以SAA= 2 absin∠ACB=9v3 2 方法三（面积法）因为SACD十SABD=S△AB, 所以号×2sin+号×2asin号-ahsn经， 2π 1 所以b十a=2ab. 因为a=2b,所以b=3,a=6, 所以SaAc=2 absin∠ACB=9y 1 75