专题1 平面向量与三角形的“四心问题-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA, 专题1平面向量与 三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心） 是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质.在高考中，往往将向量作为载体，考 查三角形的“四心”问题.下面通过例题阐述利 用平面向量的几何意义解决三角形的“四心” 问题 一、平面向量与三角形的外心问题 三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点，如图，点O是△ABC的外心，三 角形的外心也是三角形外接圆的圆心，它到三 角形三个顶点的距离相等. 常用外心向量式： ①1OA1=|OB=10元10A2=OB=0心 ②(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC= (OA+0C)·AC=0.(oA+oi=20元，0市1AB) ③A0.A店-21A8,A0.AC-21AC, 根据向量拔影可知AO·AB=|AO1·|AB1·os∠OAB= 号A,其中A0cos∠0AB=1A店，南Aò在A店上 的报影向量的核为2A店创)】 Bd.BC-2B, Ad.A龙=11A店+11AC,B0.B (Aò.A证-Aò.号(A店+AC)-2AòA+240.AC A御+1AC） 46 三角形的“四心”问题 2+}Bc1,.元=C+ ACP: A0.BC-号AC-2AB,B0.AC (Aò.BC=A0.(AC-AB)=A0.AC-Aò.AB= 2AC-21A) -2Bc-2BA,00.A店-2Bc- 专AG ④设G是△ABC所在平面内一定点， 若平面内任一点P满足GP=GC+GB+ AB AC B leos B ACIcos C ,λ∈(0，+∞)， 则点P的轨迹一定经过△ABC的外心. 例①已知O是锐角三角形的外心，AB= 6,AC=2,则AO·(AB十AC)的值为 解析如图，过点O分别作OE⊥AB于点E,OF ⊥AC于点F,则E,F分别是AB,AC的中点 A EA B 在Rt△AOE中， COS∠OAE= IAEIABI IAOI 2AO 所以A弦.A0=AB·Aò1.AB=18. 2AO 同理可得Ad.A0=A.Aò.AC=2 2AOI 所以AO·(AB+AC)=AO·AB+AO·AC= 18+2=20. 答案20. 二、平面向量与三角形的内心问题 三角形的内心是三角形三条内角平分线 的交点，如图，△ABC的内心为O,O是 △ABC的内切圆圆心，它到△ABC三边的距 离相等。 B 常用内心向量式： ①aOA+bOB+cOC=0,OAsin,∠BAC+ OBsin,∠ABC+OCsin∠ACB=0. (其中∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c) ②0A· AB 、 AC =0: AABI LACI ③设P为△ABC所在平面内任意一点， AB AC 若AP=入 ,λ∈(0，十∞)，则点 P的轨迹一定经过三角形的内心 例2(2025·浙江金华外国语学校单元 检测)设O为△ABC的内心，AB=AC=5, BC=8,AO=mAB+nBC(m,n∈R),则m+ n 解析如图，取BC的中点D,连接AD,作OE⊥ AB,垂足为E. B D .AB=AC,∴.AD为∠BAC的平分线， .点O在AD上. 又AB=5,BD=2BC=4, is∠BAD=亏，m∠BAD- 4 .△ABC的周长L=5+5+8=18,面积S= ,第六章平面向量及其应用期 号BC·AD=3×8XV5-F=12. △ABC的内切圆半径r=OB=2S=244. D=183’ AE=an∠BAD-L 又0A=+F-号，aò-哥aò， :D=AB+BD-A店+2BC, :A0-智Ai-号a店+BC, 55 m=9,n=18 555 m+n=9118-61 答案吾 三、平面向量与三角形的重心问题 三角形的重心是三角形三条中线的交点， 如图，G为△ABC的重心，点G到△ABC各 顶点的距离是相应中线长的3，且有S△Mc= SABCG=S△AoG=3S△ABC F G D 常用重心向量式： QAG-jAB+jAC.GA+GB+CC-0. @GA:+GB:+GC*_AB*+AC+BC 3 ③设P是△ABC所在平面内的任意一 点，则Pi-Pi+P店+G. ④设O是△ABC所在平面内一定点，P 是△ABC所在平面内的任意一点，若AP= AB AC IAsnAC1mC或oi=oi+ 47 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, AB AC ABIsin B ACIsin C)∈(0，+o),则 点P的轨迹一定经过三角形的重心. (证明点P的款迹一定经过三角形的重心的实质是证明 点P在三角形的中线上) 例3(2025·淅江绍兴一中单元检测)已 知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB十 AC),则点P的轨迹一定过△ABC的( ) A外心B.内心C.重心D.垂心 解析如图，以AB,AC为邻边构造平行四边形 ABDC,E为AD与BC的交点，根据向量的平行四边 形法则得AB+AC=AD 因为AD=2AE, 所以OP=OA+A(AB+AC)可化为AP= 2xA正， 所以点P在直线AE上. 因为AE为△ABC的中线， 所以点P的轨迹一定过△ABC的重心. C B 答案C 四、平面向量与三角形的垂心问题 三角形的垂心是三角形三条高的交点，如 图，H是△ABC的垂心. 常用垂心向量式： ①HA·HB=HB.HC=HC.HA. 2HA tan A++HB tan B+HC tan C=0. ③1HA12+1BC12=|IB12+1CAI2= 1HC12+|AB|2. ④设O是△ABC所在平面内一定点，P 48 为平面内任意一点，若AP=入( AB ABI cos B AC AC cos C 该-i+(B AB AC )，入∈(0，十∞)，则点P的轨迹一 AC|cos C 定经过△ABC的垂心. 例④(2025·湖南长郡中学单元检测)P是 △ABC所在平面内一点，若PA·PB=PB. PC=PC·PA,则P是△ABC的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心 解析由PA.PB=PB.P心，得PA.PB- PB.PC=0,PB.(PA-PC)=0, 所以PB·CA=O,则PB⊥CA. 同理可得PA⊥BC,PC⊥AB, 所以P为△ABC的垂心. 答案D 五、向量中的“奔驰定理” 1.如图1，若点O是△ABC内一点，则 SABc·OA+SAAc·OB+SAAc·OC=-0. A B 图1 证明：如图2，延长AO与BC边相交于点 D,则BD S△ABD S△BOD_S△ABD-SABOD= C SAACD SACOD SAACD-SACOD SAAOB SAAOC 元0B+BD OD. S△A0C BC0C-SAA0c十SA4OB S△AOB-OC. OBSSAO B D 图2 :OD_SABOD_SACOD=SAD十S△cD ·OAS△A0B S△A0cSAA0c+S△AOB SABOC =SAA0C+S△AOB ..OD=- SAB0c—OA, SAAOC+S△AOB SAOA-SSACB .一SAAc+SAAB S△A0C OB+ SA0B一OC, SAA0C+S△AOB ∴.SABc·OA+SA0c·OB+S△40B· OC=0. (用“奔驰定理”解题时，在大题中要给出注 明步骤，在小题中可直接使用) 2.“奔驰定理”和三角形的“四心”(“四心” 在三角形内部时)： (1)当O是△ABC的重心时，S△Boc· SAC:SAOB=1:1:10A+OB+OC=0. (2)当O是△ABC的内心时，SAB0c· SAAOC SAAOB=a b:caOA+60B+cOC (其中a,b,c分别是A,B,C的对边) =0. (3)当O是△ABC的外心时，S△B0c· S△Aoc：S△AoB=sin2A:sin2B:sin2C台 sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C.OC=0. (4)当O是△ABC的垂心时，S△B0c· S△Aoc：S△AoB=tanA：tanB：tanC台 tanA·OA+tanB·OB+tanC.OC=0. ,第六章平面向量及其应用 例5已知在△ABC中，O为内心，AC= 2,BC=3,AB=4,则AO=xAB十yAC,则 x十y的值为 解析由“奔驰定理”知，当O为△ABC的内心 时，SAB0c:S△A0c:S△AoB=BC:AC:AB=3:2:4, 且3OA+20B+40C=0, 故A0-号oi+0d 视频微课 又：AO=xAB+AC =x(AO+OB)+x(AO+OC) =(x十y)A0+xOB+yOC, ∴a0-1-2-0i+1--0d -号o+0, 2 1-(x+y)3’ 可得 y 4 1-(x+y)=3' {zg 解得 4 y= 9 2,42 .x+y=9+93 答案子 49