第6章 平面向量及其应用 单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 单元复习归纳 i1111111i1ii 知识体系构建 ii1i1iiii国 平面向量的表示。平面向量的几何表示 平面向量的概念 共线向量 平面向量的概念 相等向量 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 线性运算 数乘运算 平 平面向量的运算 向量夹角垂直 面 数量积运算 向量的模 及其 平面向量基本定理 平面向量基本定理 平面向量坐标表示 数乘坐标运算共线坐标表示 用 及坐标表示 平面向量坐标运算 夹角坐标表示 数量积坐标运算 模的坐标表示 垂直坐标表示 平面向量在物理中的应用 平面向量的应用 平面向量在几何中的应用 余弦定理 解三角形 余弦定理、正弦定理 正弦定理 余弦定理、正弦定理在实际生活中的应用 H1111111H11111iH1H11111111Hi 高考创新题型 1HHi1111HHH11HH114111HHH111111111H11 例①[新定义](2025·江苏扬州统考)给 请说明理由. 出定义：对于向量b=(sinx,cosx),若函数 解析(I)由题意得，g(x)=√3sinx十cosx= f(x)=a·b,则称向量a为函数f(x)的“伴 、 2sin(（e+), 随向量”，同时称函数f(x)为向量a的“伴随 函数”. 由ga)=2sin(e+若）=出8得sma+）= (1)设向量m=(√3,1)的“伴随函数”为 国为a∈(-，)，所以a+否∈(o,）: g),若ge)-1且a∈(-石，5），求osa 10 所以eose+)-√1-sim㎡(e+)号 的值 ▣ ■行 (2)已知A(-1,g》,B(1,3),函 视频微课 所以cosa=cos[（e+吾）-哥] 数h(x)的“伴随向量”为n=(0,1),函数h(x) =cos(a+)os石+sin(e+若)sin吾， 的图象上是否存在一点P,使得|AP+BP| AB?若存在，求出点P的坐标；若不存在， 即s×9是×12当 Γ26 76 ,第六章平面向量及其应用鼎 (2)由题意得，h(x)=cosx,设P(x,cosx), f)求当f(x)=号，且x∈（←晋，》时 因为A(-1,),B(1,3), sinx的值. 所以A=(+1,osx-》,B驴=(x-1, (3)已知点A(-3,3),B(3,11),设向量 c0sx-30,A店=(2,2)， 月一(2)的“特征函数"为，（女），函数 所以A正+B-(2x,2cosx一2） h(x)=4f3(x)一2.在函数h(x)的图象上是 否存在点Q,使得AQ⊥BQ？如果存在，求出 由a护+驴=A得√2)+(2sx-》 点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. =√2+(， 3 解析(1)因为f1(x)=sin(π-x)+sin2r一 x=sin x-cos x, 因为-1≤cosx≤1， 所以函数f(x)的“特征向量”p1=(1,一1). 所以≤sz一是≤号， (2)因为p2=(W3,1), 所以f2(x)=√3sinx十cosx, 又f2(x)=√3sinx+cosx 所以当且仅当x=0时，(cosx 9)2 4 =2sic+）-g 同时学于器。 所以m(+看）=是 因为x∈(-，》，所以x+若∈(0，)， 所以在函数h(x)的图象上存在一点P(0,1),使 得AP+BP1=AB1. 所以cos(x+)-√1-sime+石)-台 例2[新定义]若函数f(x)=asin x+ 所以血x=m[(e+）-一】 bcos x,则称向量p=(a,b)为函数f(x)的“特 征向量”，函数f(x)为向量p的“特征函数”. =snx+晋）oas吾-cos(e+看）sin晋 (1)若函数f1(x)=sin(元-x)+sin(2r 3 一x,求f1(x)的“特征向量”p1 3W3-4 视频微课 10 (2)若向量p2=(W3,1)的“特征函数”为 (3)不存在，理由如下： 77 重难点手册高中数学必修第二册RJA 由向圣n-(号》的特征品数为得 例B[创新探究](2025·北京海 淀区竞赛)对于给定的正整数n,记集 视频微课 f(x)=- m+s=女+》， 合R"={ma=(x1,x2,x3,…,xn),xj∈R, 所以h(x)=4f号(x)-2 j=1,2,3,…,n},其中元素a称为一个n维向 =22cas(x+）-1] 量.特别地，0=(0,0，…，0)称为零向量.设k∈ R,a=(a1,a2,…,an)∈R",B=(b1,b2,…, =2cos(2x+5）片 bn)∈R”,定义加法和数乘：ka=(ka1,a2,…, kam),a十B=(a1十b1,a2+b2,…,am十bm）.对 设函数h(x)的图象上任一点Q(x,2cos(2x十 -组向量a1,a2,…,a,(s∈N+,s≥2)，若存在 》 组不全为零的实数1,2，…，k,使得1a1 十k2a2十…十k,a,=0,则称这组向量线性相 则AQ-(+3,2cos2x+5)-3,Bd-(x 关.否则，称为线性无关 3,2cos(2x+）-1: (1)对n=3,判断下列各组向量是线性相 关还是线性无关，并说明理由， 所以AQ·BQ=(x+3)(x-3)十 ①a=(1,1,1),B=(2,2,2)； 2cos(2x+）-3][2cas2x+)-1] ②a=(1,1,1),B=(2,2,2),Y=(5,1,4). =r+4[osx+）-]-25 (2)已知a,B,Y线性无关，判断α+B,B+ Y,+Y是线性相关还是线性无关，并说明 因为-1≤c0s(2x+5)≤1， 理由. (3)已知m(m≥2)个向量a1,a2,…,am 线性相关，但其中任意m一1个都线性无关， 所以≤[osz+)-]< 证明： 所以4[os(2z+》-名]≥25， ①如果存在等式k1a1十k2a2十…十kmam =0(k:∈R,i=1,2,3,…,m),则这些系数k1, 当且仅当x=k元一石，b∈Z时取等号。 k2,…,km或者全为零，或者全不为零； 所以A0·B=2+4[o2x+）-号] ②如果两个等式1a1十k2a2十…十kmam =0,l1a1十l2a2+…+lmam=0(k:∈R,l:∈ 25>0. R,i=1,2,3,…,m)同时成立，其中l1≠0，则 所以函数h(x)的图象上任一点Q,都不能使得 k1_k=…一 km AQ IBQ. 即函数h(x)的图象上不存在，点Q,使得AQ⊥ 解析(1)对于①，设k1a十k2B=0,则可得k1十 BQ. 2k2=0,所以a,B线性相关. 78 第六章平面向量及其应用雠 对于②，设k1a十k2B+k3Y=0, 因为其中任意m一1个都线性无关， k1+2k2+5k3=0, 所以k1,k2,…,k-1,k+1,…,km都等于0， 则k1十2k2十k3=0, 所以这些系数k1,k2,…,km或者全为零，或者全 k1十2k2+4k3=0, 不为零 所以1十2k2=0,k3=0,所以a,B,Y线性相关. ②因为l1≠0，所以11，l2,…,lm全不为零， (2)设k1(a+B)+k2(B+y)+k3(a+y)=0, 所以由l1a1十l2a2十…十lmam=0可得a1= 则(k1+k3)a十(k1十2)B+(k2十k3)y=0. l2 因为向量a,B,Y线性无关， 代入k1a1十k2a2十…十kmam=0可得 k1十k3=0, 所以k1十k2=0,解得k1=k2=k3=0, k2十k3=0, 所以（一光1+g)a+…+(会+6）a.=0, 所以向量a十B,B十y,a十y线性无关. (3)①k1a1十k2a2十…十kmam=0,如果某个： 所以一 =0,i=1,2,…,m,则k1a1十k2a2+…十k:-1a:-1十 k+1a+1十…十kman=0. 所以,2 79