6.4 平面向量的应用-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA, 6.4平面向量的应用 重点和难点 课标要求 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、 重点：用向量方法解决简单的几何问题、实际问题的 力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数 方法与步骤，用向量方法证明余弦定理和正弦 学和实际问题中的作用. 定理，余弦定理和正弦定理的应用. 2.借助向量的运算探索三角形边长与角度 难点：如何把几何问题、实际问题转化为向量问题， 的关系，掌握余弦定理和正弦定理， 余弦定理和正弦定理的证明. 3.能用余弦定理和正弦定理解决简单的实 际问题. 1110I111101B111111011111111111111101111111911111111111111101111111111110111 ★ 必备知识梳理 IIEEEBIEABB111A01011110111111111101111011110111111111111011111111101111 基础梳理 知识点①平面几何中的向量方法 记方法网 1.平面向量应用问题的常见形式 用向量法解决平面几何 (1)证明线段相等：要证明AB=CD,只要证明|AB1=CD 问题的两种方法 (1)基底法：选取适当的基 即可. 底（尽量选取已知模或夹角的向 (2)证明直线或线段平行：要证明ABCD,其中AB=(x1, 量作为基底)，将题中涉及的向 y1),CD=(x2,y2),只要证明存在实数入，使得AB=λCD或 量用基底表示，利用向量的运算 法则、运算规律及相关结论探求 x1y2一x2y1=0,即利用向量共线定理或向量共线的坐标表示 几何关系 证明。 (2)坐标法：建立平面直角 (3)证明三点共线：要证明A,B,C三点共线，只要证明存在 坐标系，实现几何关系的向量 实数入，使得AB=λAC或AB=入BC或AC=BC,即利用向量 化、坐标化，从而将几何问题代 共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可.◆方法。 数化.一般地，存在坐标系或易 建坐标系的题目适合用坐标法， (4)证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形 是直角三角形等)：要证明AB⊥CD,其中AB=(x1,y1),CD= (x2y2),只要证明AB·CD=0或x1x2十y1y2=0. (5)求与夹角有关的问题：逆用向量的数量积公式c0sa= a·b a川b,或利用坐标表示为cosa= x1x2十y1y2 ，其中 √x十y·√x十y a=(x1,y1),b=(x2,y2). (6)求线段的长度：利用公式a=√a=√x2+y或公式 1a士b|=√(a士b)2=√a2士2a·b十b2,其中a=(x,y). 50 第六章平面向量及其应用 888888888 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算，研究几何元素之间的 运算 关系，如距离、夹角等问题 翻译 把运算结果“翻译”成几何关系 知识点(2向量在物理中的应用举例 作总结回 1.向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位移、力、速 数学中的两类物理背景问题 1.力：力是具有大小和方向 度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的数量积 的量，在不计作用点的情况下， 的物理背景.因此，向量可以解决一些物理问题.◆作稳结© 是数学中的向量，可用向量加法 (1)向量与力 的平行四边形法则求两个力的 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也 合力. 可以没有共同的作用点，但是力的三要素为大小、方向和作用点. 2.速度：速度是具有大小和 所以用向量的知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作 方向的量，因而可用向量加法的 平行四边形法则求两个速度的 用点上 合速度 (2)向量与速度、加速度及位移 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法 运算，用向量解决速度、加速度和位移等问题，所用的知识主要是 向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标来运算. (3)向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 敲黑板) 实质是力和位移两个向量的数量积，W=F·s=|F·s|·cos0 对余弦定理的理解 (0为F和s的夹角).动量mv实际上是数乘向量. 1.余弦定理对任意的三角 2.用向量方法解决物理问题的步骤 形都成立 (1)抽象出物理问题中的向量，将其转化为数学问题 2.在余弦定理中，每一个等 (2)建立以向量为主体的数学模型， 式都包含四个量，因此已知其中 (3)通过向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型. 三个量，利用方程思想可以求得 (4)用数学模型中的数据解释物理问题. 未知的量， 3.余弦定理的变式是余弦 知识点(3余弦定理 定理的第二种形式，适用于已知 1.余弦定理及其证明 三角形三边来确定三角形的角 (1)余弦定理的表示◆敲黑板) 的问题，用余弦定理的推论还可 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两 以根据角的余弦值的符号来判 断三角形中的角是锐角还是 边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 钝角 、(利用三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边) 51 重难点手册高中数学必修第二册RJA a2=62+c2-2bccos A, 62-a2+c2-2accos B, c2=a2+62-2abcos C. (2)余弦定理的证明（利用向量法证明） 如图，在△ABC中，AB,BC,CA的长分别 提个醒回 为c,a,b. 用余弦定理判断三角形 A .AC=AB+BC, (1)如果a2+b2=c2,那么 ..AC.AC=(AB+BC).(AB+BC)=AB+2AB.BC 角C是直角； +BC2=AB2+2AB1·1BC1·cos(180°-B)+BC2=c2- (2)如果a2+b2<c2,那么 角C是钝角； 2cacos B+a2=b2,b2=a2+c2-2accos B. (3)如果a2十b2>c2,那么 同理可证a2=b2+c2-2 bccos A,c2=a2+b2-2 abcos C. 角C是锐角。 2.余弦定理的变式 由此可知，余弦定理是用准 (1)cos A 26c,cos B=a+c2-62 b2+c2-a2 确的量化关系去解决问题，即用 2ac cos C= 边长去判断三角形的形状 a2+b2-c2 2ab (2)62+c2-a2=2bccos A;a2+c2-62=2accos B;a2+62- c2=2 abcos C.,提个醒回 敲黑板⊙ 知识点4正弦定理 对正弦定理的理解 1正孩定里A品B b 1.正弦定理及其证明 (1)正弦定理的表示◆敲黑板。 sinC给出了任意三角形中三 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c,则各边和 条边与它们各自所对角的正弦 它所对角的正弦的比相等，即 之间的一个定量关系.已知三角 a b 形的任意两个角与一边可计算 sin A sin B sin C' 出另外两边和第三个角；已知三 (2)正弦定理的证明 (主要功能是实现三角形中边角关系的互化) 角形的任意两边和其中一边的 ①如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直 对角可计算出其他的边和角. 于AC,则j与AB的夹角为90°一A,j与CB的夹角为90°一C. 2.三角形的任何一条边与 由向量加法的三角形法则可得AC十CB=AB, 其对角正弦的比值都等于其外接 为了与图中有关角的三角函数建立联系，对AC+CB=AB 圆的直径，同时也可以把公式变 的两边同取与向量j的数量积运算，得到j·(AC十CB)=j· 形为a=2 Rsin A,b=2 Rsin B, c=2 Rsin C(R为△ABC的外 AB, 接圆的半径)，这为三角形的边 由分配律得j·AC+j·CB=j·AB, 角互化提供了更为直接的形式. .Ij||AC|cos90°+|j||CB|cos(90°-C)=|j||AB|· cos(90°-A). 设BC=a,CA=b,AB=c,则asin C=csin A, 52 第六章平面向量及其应用 “品Ac同理时得C行 b sin A sin B sin C' 图1 图2 ②如图2，△ABC为钝角三角形，过点A作单位向量j垂直 于AC,则j与AB的夹角为A-90°，j与CB的夹角为90°-C. 由AC+CB=AB,得j·AC+j·CB=j·AB. 设BC=a,CA=b,AB=c,则acos(90°-C)=ccos(A-90), =-C asin C=csin A,sin A=sin C b a b 同理可得inB一sin Csin A-sin B-sin C ③当△ABC是直角三角形时易得此结论， 综上所述，正弦定理对于任意三角形均成立 2.正弦定理的变式及简单应用(R为△ABC的外接圆的半径) 敲黑板⊙ 正弦定理在解三角形中的应用 边化角公式 a=2Rsin A,6=2Rsin B,c=2Rsin C b 公式 sin A sin B sin C 角化边公式 sinA=sin B-2泉sinC-2录 b C 反映了三角形的边角关系 由正弦定理的推导过程可 变式1 a:c=sin A sin B:sin C 变式2 a b a十b十c→（茅比定理） 知，该公式实际表示为：sinA sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C-2R b a sin B'sin B-sin C'sin A- 变式3 asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B inC上述的每一个等式都表 C 知识点⑤ 解三角形 示了三角形的两个角和它们的 1.解三角形的概念 对边的关系.从方程角度来看， 正弦定理其实描述的是三组方 一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫作三角 程，对于每一个方程，都可“知三 形的元素.任何一个三角形都有六个元素：三条边(a,b,c)和三个 求一”，于是正弦定理可以用来 角(A,B,C).在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的 解决两类解三角形的问题： 过程叫作解三角形 (1)已知两角和任意一边， 2.余弦定理在解三角形中的应用敲黑板。 求其他的边和角； 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (2)已知两边和其中一边的 (1)已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 对角，求其他的边和角。 53 重难点手册高中数学必修第二册RJA (2)已知三边，求三角形的三个角.提个醒四 提个醒@ 3.解三角形的一般思路 余弦函数y=cosx在(0， 已知条件 应用定理 一般解法 x)上单调递减，此时，由cosa= m(a∈(0，π)，-1<m<1)来确 两角一边 先由A十B十C=180°求出第三个角，再用正 正弦定理 定的α是唯一的，因此用余弦定 (如a,B,C) 弦定理求出另外两边 理求解三角形的内角时不必分 先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理求出 类讨论 两边及夹角 余弦定理， 小边的对角，再由A十B+C=180°求出另外 (如a,b,C) 正弦定理 角，在有解时只有一解 两边及其中 先由正弦定理求出角B(可能有一解或两解或 边的对角 正弦定理 无解)，再由A+B+C=180°求出角C,再用 (如a,b,A) 正弦定理求出第三边 先用余弦定理求出较小的两边所对的角，再由 三边 余弦定理 A+B+C=180°求出第三个角 知识点6 余弦定理、正弦定理的应用举例 实际应用问题中的相关术语如下表所示.◆敲黑板。 敲黑板⊙ 术语名称 术语意义 图示 1.仰角与俯角都是目标视 线与水平视线的夹角，但仰角在 当目标视线在水平视线上方时，目 目标 /视线 水平视线之上，俯角在水平视线 标视线与水平视线形成的角叫作仰 仰角与 铅 仰角水平 之下 俯角 角；当目标视线在水平视线下方时， 又俯角视线 2.方向角的其他表示 目标视线与水平视线形成的角叫作 线 目标 俯角 视线 (1)正南方向：从原点O出 发的经过目标的射线与正南的 方位角是从某点的正北方向线起依 方向线重合，即目标在正南方向 方位角 顺时针方向至目标方向线间的水平 135°东 线上.依次可类推正北方向、正 夹角，方位角的范围是[0°，360) 东方向和正西方向： (2)东南方向：经过目标的 正北或正南方向线与目标方向线所 北偏东m 射线是正东和正南的方向线的 成的锐角，通常表示为北（南）偏东 夹角的平分线。 方向角 (西)多少度；方向角是方位角的另 (3)北偏东a:以正北方向 个常用的表示形式 为始边，按顺时针方向旋转α (4)南偏西B:以正南方向 设坡角为α，坡度为i,则 坡角 坡面与水平面的夹角 为始边，按顺时针方向旋转B. h =tan a 坡面的垂直高度h和水平宽度l的 坡度 比值 54 第六章平面向量及其应用 重难拓展 重难点①对三角形解的个数的探究 拓视野⊙ 例①[回归教材P47例8]在△ABC中，已知B=30°，b= 常见特殊角的正、余弦值 √2，c=2,解这个三角形. sin15°=6-V2 4 解析由正弦定理， (已知三角形两边及其一边的对角解三角形，可利用正弦定理) cos15°-=V6+V2 4 得sinC=csin B_2sin30°V2 b 2 2 sin75°=v6+2 41 ,c>b,B=30°， cos75°-V6-√2 4 .30°<C<180°. 于是C=45°或C=135°. sin105°-6+2 41 ①当C=45°时，A=105° bsin A√2sin105° √2sin(60°+45）◆跖野 cos105°=2-6 4 此时a= sin B sin 30 sin 30 =√2(sin60°·cos45°+cos60°.sin45) sin30° 1 =√3+1. 2 ②当C=135时，A=15°. 此时a=bsinA-V2sin15°_V2sin(45°-30) sin B sin30° sin30° √2X(sin45°·cos30°-cos45°·sin30) sin 30 2x2× 、1 222 =3-1. 1 2 由三角函数的性质可知，在区间(0，π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦 定理求角，只有一解；正弦函数在区间(0，）内单调递增，在区间（受，）内单调 递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解。 深挖教材 三角形解的个数 (1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时第三个角 已知，进而三角形被唯一确定，故解是唯一的 (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可 能出现一解、两解或无解的情况，三角形不一定能被唯一确定 不妨设已知△ABC的两边a,b和角A,作图步骤如下：①先把未知 55 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA, 边c画为水平的，作出已知角A,角A的另一条边为已知边b;②以边b 的端点C为圆心，a为半径作圆；③观察圆C与边c交点的个数，便可得 此三角形解的个数.如下表所示 解的 记方法网 图形 关系式 个数 根据分析可知，由于a,b长 度关系的不同，三角形有不同个 数的解.若A为锐角，只有当 b ①a=CH=bsin A; a≥bsin A时才有解，并且随着 A H BB. ②a≥b 一解 a的增大，得到的解的个数也是 H 不同的.若A为钝角或直角，只 图① 图② 有当a>b时才有解.对于此类 A为 问题，我们有两种解法： 锐角 CH=bsin A<a<b 两解 (1)正弦定理法（也称代数 Aa a 法或三角形中大边对大角法)： BHB 不妨设已知△ABC的两边a,b C 和角A,根据正弦定理得nA a b a a<CH=bsin A 无解 H sinB,可得sinB=bsinA b 若sinB>l,则三角形无解；若 sinB=1,则三角形有且只有一 ab 解 解；若0<sinB<1,则先根据 A a,b的长短关系确定A,B的大 B B 或 小关系，再求出B,从而确定三 直角 角形解的个数. a≤b 无解 (2)公式法：不妨设已知 △ABC的两边a,b和角A,通 过前面的探究可得三角形解的 ◆记方法过 个数. 变式①（多选）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,则下列对三角形解的个数的判断，正确的是( ). A.a=7,b=14,A=30°，有两解 B.a=30,b=25,A=150°，有一解 C.a=√3，b=√6，A=60°，无解 D.a=6,b=9,A=45°，有两解 重难点(2三角形的面积公式 1.常用的三角形的面积计算公式 （①Sa0·元，=b6=k:（ahh:分别为 56 第六章平面向量及其应用 边a,b,c上的高). (2)将ha=bsin C,hb=csin A,hc=asin B代入上式，可得 SAABC- 2 absinC=-siA=2 acsin B,即三角形的面积等于 1 任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 2.三角形的其他面积公式 划重点 (1)SaAc-27a+b+c)=2l,其中，l分别为△ABC的 1 对于左边三角形的其他面 积公式中公式(2)(3)(4)的证明： 内切圆半径及△ABC的周长， 1 2 sin Bsin C a sin Asin C (2)的证明：因为6=asin B (2)SAABC= sin A' a sin A,SAANC- sin B ,S△ABC =12 sin Asin B 所以SAAI= 1 asin B 2a sin A ·sinC ，小划重点为 sin C 边如 ,同理可证其 sin A (3)SAc=2 sinsin Bsin C-资(R为△ABC外接圆 他两个等式 (3)的证明：将a=2 Rsin A 的半径) 代入S△ABC= 可 (0S度=p(p-a)p-O,其中p=2a十b十 :血C sin A 得S△Ac=2 R2sin Asin Bsin C, c),这个公式叫作海伦公式. a=2Rsin A,6=2Rsin B,c= ,(三角形面积公式的向量形式) (5)SA=号aPTb-a·b,其中6-CA,a-C店. 2 Rsin C代入Sac=2R2sinA· abc sin Bsin C可得SAc=4R 1 (6)SAAc=2ab2-azb1,其中AB=(a,a),AC-= (4)的证明：根据余弦定理 (b1,b2). (三角形面积公式的向量坐标形式) 的推论可得cosC=Q2十b-c2 2ab 例②(2025·陕西西安铁一中单元检测)已知三角形的三边 1 所以Sac=2 absin C 长分别为a=5,b=7,c=8,则该三角形的面积S为(). A.15√3 B.10√3 C.53 D.10 2ab√1-cos'C 解析方法-令p=2a+b+c)=2×(5+7+8)=10, 1 1 =- a2+b2-c2 2ab 则S=√p(p一a)(p-b)(p-c) 令p=2a十+b十c),整理得 =10×(10-5)×(10-7)×(10-8) S△Ac=V√p(p一a)D一b)中一c). =103. 方法二设边a,b,c所对的角分别为A,B,C,则依据余弦定理的推论 可得0sC=a2+b2-c2_25+49-641 2ab 2X5×77 从而s血C--cC-5,所以三角形的面积S-2hsnC=10wg. 答案B 57 重难点手册高中数学必修第二册RJA, 111 关键能力提升 1Hi1111111 题型（①用向量方法处理平面几何问题 又D成-Di+A正=-a+台，A-A店+B脉 1.利用向量的基底法证明平行问题 a 例3(2025·重庆黔江中学月考)已知在 2 直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB=2AD= 所以A.Di=b+)·(a+)=-2a 2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中 ab+-1a1+号lb1=0 3 点，用向量的方法证明： (1)DE//BC; 故AF⊥DE,即AF⊥DE、 (2)D,M,B三点共线. 3.利用向量的坐标证明平行问题 证明由已知得四边形AECD为正方形，设A正 例⑤(2025·浙江宁波效实中学单元检 a,AD=b. 测)已知O为坐标原点，点A,B的坐标分别是 (1).DE=AE-AD=a-b,CB=EB-EC= (-4,3),(2,5),并且OC=3OA,OD=3OB, a-b, :DE=CB,DECB,即DEBC 求证：AB/CD. 证明因为0元=30A,0D=30B, (2)连接DM,MB,DM-DC+CM=a-2b, 所以C(-12,9),D(6,15). 所以AB=(6,2),CD=(18,6). M店-M成+M城=-2b+a, 所以CD=3AB, :.DM-MB. 又A,B,C,D四点不共线，所以ABCD 又DM与MB有公共，点M, 4.利用向量的坐标证明垂直问题 M,D,B三，点共线. 例⑥(2025·湖北襄阳四中单元检测)如 方法总结 图1，在边长为1的正方形ABCD中，P为对角 证明图形中线段平行且相等的步骤 线AC上任一点，PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别 (1)选择一组适当的基底。 为点E,F,连接DP,EF.求证：DP⊥EF (2)把未知向量逐步往基底方向进行分解 (3)利用向量相等来证明图形中线段的平行与 相等」 ◇ 2.利用向量的基底法证明垂直问题 例④如图所示，在正方形ABCD中，E,F E B E B a 图1 图2 分别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE. C 证明如图2，以点A为原点，分别以AB,AD所在 直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D(0,1), (在建立平面直角坐标系时，要尽可能使更多的，点落在坐标轴上， 使更多的线与x轴或y轴平行) A E B B(1,0),C(1,1). 证明设AD=a,AB=b,则|a=|b|,a·b=0, 设P(x,x),则E(x,0),F(1,x). (选取基底AB,AD,证明AF⊥D正E) 所以DP=(x,x-1),EF=(1-x,x). 58 第六章平面向量及其应用 所以DP.EF=x(1-x)+(x-1)x=x-x2+ (1)利用图形特点选择基底，将其转化为向量 x2一x=0. 的数量积，用a2=a2求解. 所以DP⊥E,故DP⊥EF. (2)建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐 5.利用平面向量求线段长度或线段长度 标，代入公式.若a=(x,y),则a=√x2十y. 关系 例☑(2025·江西师大附中单元检测)如 题型(2平面向量在物理中的应用问题 图1，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB 1.利用向量求解受力与做功问题 上的一点，E,F分别在边BC,DC上，且四边 例8(2025·江西临川一中单元检测)如 形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF. 图1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受 重力为G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角为 0,绳子受到的拉力为F1. (1)求F|,F2随角0的变化而变化的 情况； F C 图1 图2 (2)当|F1≤2G引时，求角0的取值范围. 证明易知点P,E,F都不在端，点处，建立如图2 F tittlttltlt☑ 所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP=入 0 0<,则Ao,10.P慢号)，E(1,号刘， F停0， G G 图1 图2 Pi-(1),萨-（停-1，） 解析(1)如图2，由力的平衡及向量加法的平行 四边形法则得 Pi=√A)+-A】 G--F+F)IFFG =√2-√2λ+1 当0从0°逐渐增大并接近90°时，|F1|,F2都逐 √-+() 渐增大。 (2)令F1= =√2-2λ+1， 21G,得ms0≥ 0°≤0<90°， PA=EFI,..PA=EF. .0°≤0≤60°. 方法总结 点评 1.用向量求线段长度关系的方法有两种. 解决此类问题必须用向量的知识将力学问题转 (1)待定系数法，结合向量共线定理和平面向 化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数 量基本定理求解线段的比例关系， 学模型，再利用建立的数学模型解释相关物理现象 (2)建立平面直角坐标系，设定端点坐标，利用 向量坐标表示求解线段关系。 例⑨(2025·浙江嘉兴一中单元检测)如 2.用向量法求解平面几何中的长度问题的方 图，重力G引=19.6N的物体，在平行于斜面向 法有两种. 上的拉力|F=10N的作用下，沿斜面角0= 59