6.2 平面向量的运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第六章平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 重点和难点 课标要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、 重点：向量加、减法运算的运算法则及 减法运算及运算法则，理解其几何意义 其几何意义，向量数乘运算的定 2通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算法则， 义及其几何意义，向量数量积的 理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义 概念与运算律. 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义 难点：对向量加法运算法则与减法运算 4.通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概 法则的定义的理解，对向量数量 念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 积的概念及运算律的理解，向量 5.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 数量积的应用. 6.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 1110111111111111110111111111111111110111119111110111111111111111111111110111 必备知识梳理 111111A10111111101111011011111111111111111111110110111110111110101011111111111 基础梳理 知识点1向量加法的定义与加法法则 划重点画 1.向量加法的定义 向量加法的三角形法则和平行 四边形法则的区别与联系 如图，已知非零向量a,b,在平面内任取一 (1)两个法则的使用条件不 点A,作AB=a,BC=b,则把向量AC叫作a 同.三角形法则适用于任意两个 与b的和，记作a十b,即a十b=AB+BC-AC. 非零向量的求和，平行四边形法 求两个向量和的运算叫作向量的加法 则只适用于两个不共线向量的 2.向量加法的三角形法则 求和 (1)根据向量加法的定义求向量和的方法叫作向量加法的三 (2)三角形法则强调的是 角形法则 “首尾相连”，平行四边形法则强 调的是“不共线，共起点” (2)利用三角形法则表示任意两个向量和的一般步骤： (3)当两个向量不共线时， ①固定一个向量，将另一个向量平移，使其起点与被固定的向 这两个法则是一致的 量的终点重合； 如图所示，AC=AB十AD ②以这两个向量为边，构造出三角形，则以被固定的向量的起 (平行四边形法则) 点为起点，被平移的向量的终点为终点的向量，即为所求的两个向 量的和.◆划重点 3.向量加法的平行四边形法则 B B (1)如图，以同一点A为起点的两个已 a+b 又因为BC=AD, 知向量a,b为邻边作□ABCD,则以点AA D 所以AC=AB+BC(三角 为起点的对角线AC就是a与b的和，即AC=a十b.我们把这种 形法则) 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则， (2)力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. (3)对于零向量与任一向量a,我们规定a十0=0十a=a. 4.向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律 a+b=b+a. 提个醒回 如图1，作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作□ABCD, 我们可以借助位移的物理 (当两个向量共线时向量的交换律和结合律也成立) 意义理解向量加法的交换律.一 则AC=AB+BC=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b= 质点从点A出发，方案①：先走 b十a.心提个醒回 过的位移为向量a,再走过的位 D 移为向量b.方案②：先走过的 0 位移为向量b,再走过的位移为 b h a+b /b+c 向量a.则方案①②中质点一定 a+b 会到达同一终点. a B B 图1 图2 (2)向量加法的结合律 (a+b)+c=a+(b+c). 如图2，作AB=a,BC=b,CD=c,因为AD=AC+CD= (AB+BC)十CD=(a+b)十c,AD=AB+BD=AB+(BC+ 敲黑板⊙ CD)=a十(b+c),所以(a十b)十c=a+(b十c), 对相反向量的理解 知识点2向量减法的定义与减法法则 1.相反向量也是从两个方 1.相反向量 面来定义的，即“模长”与“方 向”，这是考虑向量问题的基本 我们把与向量a长度相等且方向相反的向量叫作a的相反向 量，记作一口.→题票题。（互为相友向量的两个共线向量必须互相平行）之 出发点 2.互为相反向量的两个向 规定零向量的相反向量仍为零向量，且有：(1)一（一a)=a; 量必为平行向量 (2)a十（一a)=(一a)+a=0;(3)若a,b互为相反向量，则a= -b,b=-a,a+b=0. 2.向量减法的定义 向量a加上向量b的相反向量，叫作a与b的差，即a一b= 划重点四 a十（一b),求两个向量差的运算，叫作向量的减法 向量减法的三角形法则中， 3.向量减法的几何意义 BA表示a-b,强调了差向量的 (1)非零不共线向量a,b的差为a一b. “箭头”指向被减向量.即作非零 如图，在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=OA 向量a,b的差向量a一b时，可 以简记为“共起点，连终点，指向 OB=a一b,即a一b可以表示为从向量b的终点指向向量a的 被减向量” 终点的向量，这是向量减法的几何意义.◆划重点 8 第六章平面向量及其应用 (2)非零共线向量a,b的差为a一b. ①当a,b反向时，a一b与a同向，且|a一b|=a+b|,如 图1所示. ②当a,b同向时，若|a|>|b|,则a一b与a同向，且|a一b =a|-|b,如图2所示； 若a<b|,则a一b与a反向，且|a-b|=|b|一|a|,如 敲黑板⊙ 图3所示； 1.向量数乘的结果依然是 若a=b1,则a-b=0,如图4所示. 向量，这个向量的长度、方向与 入和a有关，且与原来的向量共 a b b 线（平行），即λaa. b b a-b a-b a-b a-b=0 2.入是实数，a是向量，它 图1 图2 图3 图4 们的积入a仍然是向量.实数与 知识点③向量的数乘及向量共线定理 向量可以相乘，但是不能相加或 相减，如入十a,λ一a均没有意义. 1.向量数乘的定义 (运算结果为向量) 3.对于非零向量a,当λ= 规定实数入与向量α的积是一个向量，这种运算叫作向量的 a时，da表示a方向上的单位 数乘，记作λa,它的长度与方向规定如下： 向量 (1)λa=lλla. 4.一个向量的相反向量可 (2)当入>0时，入a的方向与a的方向相同；当入<0时，λa的 以看成一1与这个向量的积，即 方向与a的方向相反.·敲黑板。 当λ=-1时，（-1)a=-a. 由(1)可知，当入=0时，入a=0.(当入=0时，a=0;当a=0时，Aa=0. 拓视野) 注意结果是零向量，而非实数0) 线性运算的几何意义 2.向量数乘的运算律 以1>0,41>0,2>0为 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律. 例，解释如下： 将表示向量a的有向线段 设入，4为实数，那么： 伸长或缩短至原来的41倍，将 ①λ（μa)=(u)a; 表示向量b的有向线段伸长或 ②（入十）a=λa十ua; 缩短至原来的42倍，然后将表 ③λ(a+b)=Aa+λb. 示这两个新向量的有向线段相 加或相减后再伸长或缩短至原 特别地，有(-入)a=-(a)=λ(-a),λ(a-b)=λa-入b. 来的入倍，与先将表示向量a的 3.向量的线性运算 (向量线性运算的结果仍是向量) 有向线段伸长或缩短至原来的 (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 41倍，将表示向量b的有向线 (2)对于任意向量a,b以及任意实数入，μ142，恒有入（μ1a士 段伸长或缩短至原来的入μ2倍， 以2b)=入μ1a士入以2b.◆拓视野四 再将表示这两个新向量的有向 线段相加或相减所得的结果是 4.向量共线定理 相同的. (1)向量共线定理的含义 重难点手册高中数学必修第二册RJA。 向量a(a≠0)与b共线，有且仅有唯一一个实数入，使b=λa. ◆敲黑板。 敲黑板⊙ (2)向量共线定理的应用 向量共线定理中规定 向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题， a≠0的原因 通过向量共线定理可把两条直线平行、三点共线这样的几何问题 (1)若将条件a≠0去掉，则 转化为寻找实数入的代数问题. 当a=0时，显然a与b共线； (2)当a=0时，若b≠0，则 (3)向量共线定理的一般形式 不存在实数入，使b=入a,但此时 若存在不全为0的一对实数t,s,使ta十sb=0,则a与b 向量a与b共线； 共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta十sb=0,则必有 (3)当a=0时，若b=0,则 t=S=0.◆提个腿回 对任意实数入，都有b=λa,与存 知识点(4向量的数量积 在唯一一个实数入矛盾。 1.向量数量积的物理背景 提个醒回 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的 若将向量共线定理中的条 作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由公式W= 件a≠0去掉，则当a=0时，显 1F|scos0来计算，其中0是F与s的夹角.我们知道力和位移 然a与b共线.若b≠0，则不存 都是矢量（向量），而功是一个标量（数量）.这说明两个矢量也可以 在实数入，使b=λa;若b=0,则 进行运算，并且这个运算明显不同于实数与向量的数乘运算，因为 对任意实数入，都有b=入a. 数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是一个数量， 2.向量的夹角与垂直 (1)向量的夹角 已知两个非零向量a和b(如图)，O是平面上的任意一点，作 OA=a,OB=b,则∠AOB=0(0≤0≤π)叫作向量a与b的夹角. B 敲黑板⊙ b 1.两个向量的数量积的结 果是数量，而不是向量，它的值 a A 为两个向量的模与两个向量夹 显然，当0=0时，a与b同向；当0=π时，a与b反向.因此， 角的余弦的乘积，其符号由夹角 两个非零向量的夹角在区间[0，元]内.◆敲黑板。 的余弦值决定， (2)向量垂直 2.两个向量的数量积是两 个向量之间的一种乘法，与以前 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 学过的数的乘法是有区别的，在 3.平面向量数量积的定义 书写时一定要把它们严格区分 开来，绝不可混淆」 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把数量a· 3.在运用数量积公式解题 |bcos0叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b= 时，一定要注意两个向量夹角的 la bcos 0. (两个向量的数量积的结果是数量) 范围是0≤0≤元 (a·b不能表示为a×b或ab) 10 第六章平面向量及其应用 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0. 4.我们规定了0与任意向 4.投影与投影向量 量的数量积为0，但由a·b=0 设a,b都是非零向量，则由a·b=a|bcos0得，当0为锐 不能推出a或b一定是零向量. 这是因为当两个向量垂直时，其 角时，a·b>0,且a·b≠|a|lb|;当0为钝角时，a·b<0,且a· b≠一|alb|;当0=0时，a·b=|a||b；当0=π时，a·b= 夫角为2，此时c02=0,也有 -alb1;当0=5时，a·b=0. a·b=0.同时，我们也应注意 0·a=0,但0a=0. 如图1，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如 下变换：过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线， 垂足分别为A1,B1,得到A1B1,我们称上述变换为向量a向向 量b投影，A1B1叫作向量a在向量b上的投影向量。 B M b b MN CA, 图1 图2 如图2，我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b. 划重点 过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则OM1就是向量a在向 平面向量数量积与实数 乘法的区别 量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹 向量a,b的数量积a·b 角为0，那么对于任意的0∈[0，π]，都有OM1=acos0e. 与实数a,b的乘积a·b既有联 (@i还可表示为acs0) 系又有区别 5.平面向量数量积的性质 “乘法结合律：(ab)c= 设a,b是非零向量，0是a与b的夹角，e是与b方向相同的 a(bc)”在向量运算中不成立，也 单位向量，则： 就是说向量的数量积不满足结 (1)a·e=e·a=|acos0. 合律，即 (2)a⊥b→a·b=0. (a·b)·c≠a·(b·c). 在(a·b)·c与a·(b· (3)若a,b同向，则a·b=|ab|;若a,b反向，则a·b= c)中，由于a·b与b·c都是实 -ab.特别地，a·a=|a|2或a=√a·a. 数，设a·b=入1，b·c=入2，则 (4)a·b1≤al|b. (a·b)·c=λ1c,a·(b·c)= (5)cos0-]ab]' a·b 入2a,它们分别表示与c共线以 6.平面向量数量积的运算律 及与a共线的向量.由于a与c 不一定共线，那么入1c与入2a的 设a,b,c是向量，入是实数，则： 方向不一定相同，故在一般情况 (1)交换律：a·b=b·a. 下，(a·b)·c≠a·(b·c). (2)数乘结合律：（λa)·b=λ(a·b)=a·(b). (3)分配律：(a十b)·c=a·c十b·c.◆划重点。 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 重难拓展 重难点（①向量形式的三角不等式 (1)当向量a,b不共线时，作OA=a,AB=b,则a十b=OB,如 图1，根据三角形的三边关系，有|a-|b1|<|a十b|<a|+|b. (在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边) 0 b a+b Oa A Oa A bB 图1 图2 图3 (2)当a与b同向共线或a,b中至少有一个为零向量时，作法 同上，如图2，此时|a十b|=a|+b|; 当a与b反向共线或a,b中至少有一个为零向量时，不妨设 1a>b,作法同上，如图3，此时|a十b1=a-b. 故对于任意向量a,b,总有|la-b1|≤a十b1≤|a+b1.① 由于|a-b|=|a+(-b)l, 所以|la|-|-b1|≤|a-b|≤a|十|-b|, 即|la|-|b||≤a-b|≤|a|+|b. ② 将①②两式结合起来，即a一bl≤a士b≤a十b, (应用不等式时，必须验证等号成立的条件) 我们称之为向量形式的三角不等式。◆提个醒。 提个醒回 例D已知AB=6,AD1=9,则1AB-AD的取值范围是 利用向量形式的三角不等 式可以解决有关向量的大小 解析IIAB|-AD1I≤1AB-AD≤AB1十|AD1且AB=6, (模)的取值范围或最值问题.但 AD|=9, 要注意运用此性质时，必须验证 当AD与AB同向时，AB-AD1=3; 等号成立的条件，即当a与b同 当AD与AB反向时，|AB-AD|=15; 向时，a十b|=a+|b|,a- 当AD与AB不共线时，3<|AB-AD<15. b|=|a|-|b11;当a与b反 向时，|a+b|=|a-|b|1, 综上可得，AB-AD的取值范围是[3,15]. a-b=a+bl. 答案[3,15]. 变述0已知a=3,1b=4,则“|a十b|=7”是“a与b共 线”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 重难点2三点共线定理 1.三点共线的判定 (1)以A,B,C三点中的任意两点为端点构造两个向量，如 AB,BC,先证明AB∥BC,再由AB与BC有共同的端点B,可以 得到A,B,C三点共线。 12 第六章平面向量及其应用 (2)已知A,B,C为平面内任意三点，O为平面内不在A,B 敲黑板⊙ 所在直线上的任意一点，设OC=入OA十4OB.若实数入，4满足 对于OB=λOA+OC(a+ 入十以=1，则A,B,C三点共线.敲黑板 =1)来说， 2.三点共线的性质 如图，当点B在线段AC上 若平面内A,B,C三点共线，O为平面内不在A,B,C所在直 时，λ>0，以>0； 线上的任意一点，则存在实数入，4，使得OC=OA+OB,且入+ 当点B在线段AC的延长 线上时，λ<0,4>1； 4=1. 当，点B在线段CA的延长 例2(2025·广东阳江一中单元检测)求解下列问题： 线上时，λ>1,4<0. (1)已知A,B,P三点共线，O为直线外任意一点，若OP= O xOA+yOB,求x十y的值； (2)已知点P分有向线段AB的定比为λ（入≠一1），即AP= B PB,0为平面内任意一点，求证.OP_0A+A08 ◆支妙招 1+λ 支妙招 解析(1)方法一由于A,B,P三，点共线，所以向量AB,AP在同一 对于例2第(2)问中的结论， 直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数入，使得AP=AB,即OP一 OA=A(OB-OA),所以OP=(1-A)OA+λOB,故x=1-入，y=入，即x+ 速-步特化可得0-中·0耐 y=1. 入OB,不难发现、十 十1十入 方法二由三点共线的性质定理可知，x十y=1. 入 (2)对于AP=PB,有O驴-OA=λ(OB-OP), 1+λ =1,这意味着A,P,B三 点共线， 则(1十λ)OP=OA+OB, 因为入≠-1，所以OP_0A+AO店 1+λ 培优突破 拓视野) 突破点（①三点共线定理的延伸 等和线 与等和线相关的结论 (1)当等和线A1B1恰为直 等和线：如图，OA,OB不共线，则直线AB和A1B1(A1B1∥ 线AB时，k=1. AB)均为等和线 (2)当等和线A1B1在点O 和直线AB之间时，k∈(0,1). (3)当直线AB在点O和等 B 和线A1B1之间时，k∈(1，十∞). (4)当等和线A1B1过点O A A 时，k=0. “等和”的含义：P在直线AB上任意位置，连接OP,则OP= (5)若直线AB与等和线 入1OA十41OB,基向量OA,OB的系数和恒为1. A1B1关于O点对称，则=一1. (6)定值k与点O到等和线 Q在直线AB1上任意位置，连接OQ,则OQ=入，OA+u,OB, 的距离有关，k1=OA-_0B 基向量OA,OB的系数和恒为k.◆药视野 OA OB 13 重难点手册高中数学必修第二册RJA, 例3(2025·宁夏银川第二中学期中)如图1，边长为2的等 边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点，若AP=xAB+ yAC,则2x十2y的最大值为( ) 视频微课 图1 A号 B.2 c D.1 解析如图2，作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于，点 E,与直线AC相交于点F. 0 B E 图2 设AP=XA正+AF,则入+u=1. 'BC//EF, 设铝-船=则c引 ..AE=kAB,AF-kAC,AP-AAE+uAF-xkAB+ukAC, ∴x=λk,y=k, 2z+2y=2+w)k=2k≤号 答案A 突破点(2极化恒等及其拓展 1.极化恒等式 几何解释1（平行四边形模型）如图1，以AB,AD为一组邻 边构造平行四边形ABCD,AB=a,AD=b,则AC=a十b,BD b-a,由ab-[a+b2-(a-b],得A店.Ai-(4C2- BD).即从平行四边形一个顶点出发的两个边对应向量的数量积 是和对角线长与差对角线长平方差的4： 14 第六章平面向量及其应用 M 图1 图2 几何解释2（三角形模型）如图2，在平行四边形模型结论的 基础上，若设M为对角线的交点，则由AB·AD=寻(AC2一 BD)变形为A店.Ad-(4AMF-4BM),得A店.Ad=AM 一BM2,该等式就是极化恒等式在三角形中的体现，该模型也是 我们最常用的极化恒等式的几何模型.◆题黑板 敲黑板) 例④(2025·浙江杭州统考)如图1，在△ABC中，P。是边 1.三角形模型是平面向量 AB上一定点，请足P,B-AB,且对于边AB上任意一点P,恒有 极化恒等式的终极模式，几乎所 有的问题都能用它解决 PB.PC≥PoB·PC,则( 2.记忆规律：向量的数量积 A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° 等于第三边上的中线长与第三 边长的一半的平方差 C.AB=AC D.AC=BC P 图1 图2 解析如图2，取BC的中点D,连接PD,PD. 由极化恒等式可得PB·PC=PD-BD, 同理，PB.P,C-PD-BD,由于PB.P心≥PB.PC, 则PD≥|PDI,所以PD⊥AB. 因为P,B=AB,D是BC的中点，过点C作CELAB-于点E,CE/ DPo,所以P。为BE的中点，则E为AB的中，点，于是AC=BC. 答案D 划重点海 2.极化恒等式拓展之矩形大法 两个重要向量关系的证明 在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O,P为平面 证明：①如图，要证PA2十 内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①PA2+PC2=PB2+ P=P+P市，只需证PA PD2;②PA·PC-PB.PD.+重点 PB+P心-P市=0，即证 例固在平面内，AB1⊥AB2,|OB11=|OB2I=1,AP=AB1 (PA+PB)·PA-PB)+ +AB,若O妒<2，则OA的取值范围为 (PC+PD)·(PC-PD)=0. 15 重难点手册高中数学必修第二册RJA 解析如图，作矩形AB1PB2,根据向量矩形大法公式可知OB十OB 只需证(PA+PB)·BA+ (由AB,⊥AB2,AP=AB,+AB,确定矩形) =0A2+0P2, (PC+PD)·DC=0,即证(PA 八(DC--BA 所以OA2+OP2=2,则|OA|≤√2 +PB-PC-PD)·BA=0,从 而证(CA+DB).BA=0,只需 证CA.BA+DB.BA=0,即 证AC.AB-BD.BA=0,由 (根据数量积的几何意义，可知AC AB=AB1·AC·cOS∠BAC IAB) 因为0<2所以0i:>?,则0A> AB2-BA2=0,得证 2 ②如图，连接PO,根据极化 上所花，复<Oi≤2， 恒等式可知PA.P心=PO2 答案停2] AC,i.P防-0 4 在矩形ABCD中，AC=BD, 突破点3 平面向量的鸡爪模型 得证。 形式一已知线段P1P2,点O为直线PP2外的任一点，若 P为线段PP2上一点，且PP1:PP,=入，则OP= OP+OP2 1+入 =十O丽+产OP特别地，P为PA的中点台O (中点向量定理：P为线段PP2的中点的充要条 OP+OP2 2 件是O币-0P+0卫 2 证明：如图1，P户=入PP,兮OP-OP=入(OP-OP)台 11x0-0r10Po-+0r10P. a+b a+b 图1 图2 形式二如图2，已知线段P1P2,点O为直线PP2外的任 一点，若点P为线段PP2上一点，且PP1:PP2=a:b,则OP OPOP 、b 16